1.4 概率的性质与公式

小题

1. 【1987-4-2 分】 若两事件 A 和 B 同时出现的概率 $P(AB)=0$, 则( )

A. A 和 B 互不相容(互斥)    B. $AB$ 是不可能事件

C. $AB$ 未必是不可能事件    D. $P(A)=0$ 或 $P(B)=0$

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答案： C。

解析： $P(AB)=0$ 只说明交事件是零概率事件，不一定说明集合 $AB$ 为空，因此 $AB$ 未必是不可能事件。

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2. 【1992-45-3 分】 设当事件 A 与 B 同时发生时, 事件 C 必发生, 则( )

A. $P(C)\le P(A)+P(B)-1$    B. $P(C)\ge P(A)+P(B)-1$

C. $P(C)=P(AB)$    D. $P(C)=P(A\cup B)$

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答案： B。

解析： 由 $AB\subset C$ 得 $P(C)\ge P(AB)$，又 $P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\ge P(A)+P(B)-1$。

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3. 【2015-13-4 分】 A, B 为任意两个事件, 则( )

A. $P(AB)\le P(A)P(B)$    B. $P(AB)\ge P(A)P(B)$

C. $P(AB)\le \frac{P(A)+P(B)}{2}$    D. $P(AB)\ge \frac{P(A)+P(B)}{2}$

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答案： C。

解析： $P(AB)\le \min \{P(A),P(B)\}\le \frac{P(A)+P(B)}{2}$。

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4. 【1987-1-2 分】 三个箱子, 第一个箱子有4 个黑球1 个白球, 第二个箱子中有3 个白球3 个黑球, 第三个箱子中有3 个黑球5 个白球, 现随机取一个箱子, 再从这个箱子中取一个球, 这个球为白球的概率为_____;已知取出的是白球, 此球属于第二箱的概率为

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答案： $\frac{53}{120}$；$\frac{20}{53}$。

解析： 白球概率为 $\frac{1}{3}(\frac{1}{5}+\frac{3}{6}+\frac{5}{8})=53/120$。由贝叶斯公式，来自第二箱的后验概率为 $(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2})/(53/120)=20/53$。

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5. 【1987-5-2 分】 对于任意两事件 A 和 B 有 $P(A-B)=$( ).

A. $P(A)-P(B)$    B. $P(A)-P(B)+P(AB)$    C. $P(A)-P(AB)$    D. $P(A)-P(\bar{B})-P(A\bar{B})$

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答案： C。

解析： $A-B=A\bar{B}$，且 $A=AB\cup A\bar{B}$ 为互不相容并，因此 $P(A-B)=P(A)-P(AB)$。

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6. 【1988-45-2 分】 假设 $P(A)=0.4$, $P(A\cup B)=0.7$, 那么 (1)若 A 与 B 互不相容, 则 $P(B)=$ (2)若 A 与 B 相互独立, 则 $P(B)=$

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答案： $0.3$；$0.5$。

解析： 互不相容时 $P(B)=0.7-0.4=0.3$。独立时 $0.7=0.4+P(B)-0.4P(B)$，解得 $P(B)=0.5$。

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7. 【1989-1-2 分】 已知随机事件 A 的概率 $P(A)=0.5$, 随机事件 B 的概率 $P(B)=0.6$ 及条件概率 $P(B|A)=0.8$, 则和事件 $A\cup B$ 的概率 $P(A\cup B)=$

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答案： $0.7$。

解析： $P(AB)=P(A)P(B\mid A)=0.5\times 0.8=0.4$，故 $P(A\cup B)=0.5+0.6-0.4=0.7$。

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8. 【1990-1-2 分】 设随机事件 A, B 及其和事件 $A\cup B$ 的概率分别为0.4, 0.3 和0.6, 若 $\bar{B}$ 表示 B 的对立事件, 那么积事件 $A\bar{B}$ 的概率 $P(A\bar{B})=$

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答案： $0.3$。

解析： $P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.1$，所以 $P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)=0.3$。

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9. 【1990-4-3 分】 设 A, B 为两个随机事件, 且 $B\subset A$, 则下列式子正确的是( )

A. $P(A+B)=P(A)$    B. $P(AB)=P(A)$

C. $P(B|A)=P(B)$    D. $P(B-A)=P(B)-P(A)$

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答案： A。

解析： 由 $B\subset A$，有 $A\cup B=A$，故 $P(A+B)=P(A)$。

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10. 【1991-5-3 分】 设 A, B 为随机事件, $P(A)=0.7$, $P(A-B)=0.3$, 则 $P(\overline{AB})=$

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答案： $0.6$。

解析： $P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.4$，故 $P(\overline{AB})=1-0.4=0.6$。

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11. 【1992-1-3 分】 已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(AB)=0$, $P(AC)=P(BC)=\frac{1}{6}$, 则事件 A, B, C 全不发生的概率为

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答案： $\frac{7}{12}$。

解析： 因 $AB=0$，三重交也为0。容斥得 $P(A\cup B\cup C)=3/4-1/6-1/6=5/12$，故全不发生的概率为 $1-5/12=7/12$。

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12. 【1992-5-3 分】 设对于事件 A, B, C, 有 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(AB)=P(BC)=0$, $P(AC)=\frac{1}{8}$, 则 A, B, C 三个事件中至少出现一个的概率为

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答案： $\frac{5}{8}$。

解析： 三重交为0，容斥公式给出 $P(A\cup B\cup C)=3/4-1/8=5/8$。

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13. 【1994-1-3 分】 已知 $P(AB)=P(\bar{A}\bar{B})$, $P(A)=p$, 则 $P(B)=$

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答案： $1-p$。

解析： 由 $P(AB)=P(\bar{A}\bar{B})$，即 $P(AB)=1-P(A\cup B)$，展开得 $P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，故 $P(B)=1-p$。

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14. 【1995-1-3 分】 设 X 和 Y 为两个随机变量, 且 $P\{X\ge 0,Y\ge 0\}=\frac{3}{7}$, $P\{X\ge 0\}=P\{Y\ge 0\}=\frac{4}{7}$, 则 $P\{\max (X,Y)\ge 0\}=$

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答案： $\frac{5}{7}$。

解析： $\{\max (X,Y)\ge 0\}=\{X\ge 0\}\cup \{Y\ge 0\}$，故概率为 $4/7+4/7-3/7=5/7$。

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15. 【1996-1-3 分】 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为1% 和2%, 现从由 A 和 B 的产品分别占60% 和40% 的一批产品中随机抽取一件, 发现是次品, 则该次品是 A 厂生产的概率是

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答案： $\frac{3}{7}$。

解析： 由贝叶斯公式，$P(A\text{厂}\mid \text{次品})=\frac{0.6\times 0.01}{0.6\times 0.01+0.4\times 0.02}=3/7$。

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16. 【1996-5-3 分】 一实习生用同一台机器接连独立地制造3 个同种零件, 第i 个零件是不合格品的概率 $p_i=\frac{1}{i+1}(i=1,2,3)$, 以X 表示3 个零件中合格品的个数, 则 $P\{X=2\}=$

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答案： $\frac{11}{24}$。

解析： 恰有两个合格品即恰有一个不合格品。分别令第1、2、3件不合格并求和：$\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{1}{4}=11/24$。

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17. 【1997-1-3 分】 袋中有50 个乒乓球, 其中20 个是黄球, 30 个是白球. 今有两人依次随机地从袋中各取一球, 取后不放回, 则第二个人取得黄球的概率是

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答案： $\frac{2}{5}$。

解析： 不放回抽样中任一抽取位置上为黄球的边缘概率均为总体黄球比例，故第二人取到黄球的概率为 $20/50=2/5$。

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18. 【1999-1-3 分】 设两两相互独立的三事件 A, B 和 C 满足条件: $ABC=\varnothing$, $P(A)=P(B)=P(C)<\frac{1}{2}$, 且已知 $P(A\cup B\cup C)=\frac{9}{16}$, 则 $P(A)=$

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答案： $\frac{1}{4}$。

解析： 设公共概率为 $p$。两两独立且三重交为空，容斥得 $3p-3p^2=9/16$，解得 $p=1/4$ 或 $3/4$；由 $p<1/2$ 取 $p=1/4$。

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19. 【2000-1-3 分】 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 $\frac{1}{9}$, A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等, 则 $P(A)=$

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答案： $\frac{2}{3}$。

解析： 设 $P(A)=p,P(B)=q$。两种“仅发生一个”的概率相等给出 $p(1-q)=q(1-p)$，故 $p=q$。又 $(1-p{)}^2=1/9$，所以 $p=2/3$。

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20. 【2005-134-4 分】 从数1, 2, 3, 4 中任取一个数, 记为 X, 再从 $1,\cdots ,X$ 中任取一个数, 记为 Y, 则 $P\{Y=2\}=$

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答案： $\frac{13}{48}$。

解析： 按 X 的取值使用全概率公式：$P(Y=2)=\frac{1}{4}(0+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=13/48$。

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21. 【2006-14-4 分】 设 A, B 为随机事件, 且 $P(B)>0$, $P(A|B)=1$, 则必有( )

A. $P(A\cup B)>P(A)$    B. $P(A\cup B)>P(B)$    C. $P(A\cup B)=P(A)$    D. $P(A\cup B)=P(B)$

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答案： C。

解析： $P(A\mid B)=1$ 表明 $B\subset A$（按概率意义），因此 $A\cup B=A$，故两者概率相等。

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22. 【2014-13-4 分】 设随机事件 A, B 相互独立, 且 $P(B)=0.5$, $P(A-B)=0.3$ 则 $P(B-A)=$( )

A. $0.1$    B. $0.2$    C. $0.3$    D. $0.4$

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答案： B。

解析： 独立性给出 $P(A-B)=P(A)(1-P(B))=P(A)/2=0.3$，故 $P(A)=0.6$；于是 $P(B-A)=0.5(1-0.6)=0.2$。

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23. 【2018-3-4 分】 随机事件 A, B, C 相互独立, 且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$, 则 $P(AC|A\cup B)=$

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答案： $\frac{1}{3}$。

解析： $P(AC)=1/4$，而 $P(A\cup B)=1/2+1/2-1/4=3/4$，且 $AC\subset A\cup B$，故条件概率为 $(1/4)/(3/4)=1/3$。

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24. 【2018-1-4 分】 设随机事件 A 与 B 相互独立, A 与 C 相互独立, $BC=\varnothing$, 若 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$, $P(AC|AB\cup C)=\frac{1}{4}$, 则 $P(C)=$

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答案： $\frac{1}{4}$。

解析： 设 $P(C)=c$。由 A 与 B、C 分别独立，$P(AB)=1/4$，$P(AC)=c/2$；又 $BC=\varnothing$，从而 $ABC=\varnothing$。题设给出 $(c/2)/(1/4+c)=1/4$，解得 $c=1/4$。

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25. 【2019-13-4 分】 设 A, B 为随机事件, 则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是( )

A. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$    B. $P(AB)=P(A)P(B)$

C. $P(A\bar{B})=P(B\bar{A})$    D. $P(AB)=P(\overline{AB})$

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答案： C。

解析： $P(A)=P(AB)+P(A\bar{B})$，$P(B)=P(AB)+P(B\bar{A})$，故两者相等当且仅当 $P(A\bar{B})=P(B\bar{A})$。

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26. 【2020-13-4 分】 设 A, B, C 为三个随机事件且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(AC)=P(BC)=\frac{1}{12}$, $P(AB)=0$, 则 A, B, C 中恰有一个事件发生的概率为( ).

A. $\frac{3}{4}$    B. $\frac{2}{3}$    C. $\frac{1}{2}$    D. $\frac{5}{12}$

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答案： D。

解析： 因 $AB=\varnothing$，三重交为0。恰有一个事件发生的概率为 $(1/4-1/12)+(1/4-1/12)+(1/4-1/12-1/12)=5/12$。

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27. 【2022-13-5 分】 设 A, B, C 为三个随机事件, A 与 B 互不相容, A 与 C 互不相容, B 与 C 相互独立, 且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$ 则 $P(B\cup C|A\cup B\cup C)=$

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答案： $\frac{5}{8}$。

解析： $P(B\cup C)=1/3+1/3-1/9=5/9$。A 与 B、C 均互不相容，故 $P(A\cup B\cup C)=1/3+5/9=8/9$，条件概率为 $5/8$。

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28. 【2024-13-5 分】 设随机试验每次成功的概率为 p, 现进行三次独立重复试验, 在至少成功一次的条件下, 三次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$, 则 $p=$

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答案： $\frac{2}{3}$。

解析： 题设为 $\frac{p^3}{1-(1-p{)}^3}=4/13$。化简并结合 $0<p<1$，解得 $p=2/3$。

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29. 【2025-3-5 分】 设 A, B, C 为三个随机事件, 且 A 与 B 相互独立, B 与 C 相互独立, A 与 C 互不相容, 已知 $P(A)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(B)=\frac{1}{2}$, 则在事件 A, B, C 至少有一个发生的情况下, A, B, C 中恰有一个发生的概率为

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答案： $\frac{2}{3}$。

解析： $P(AB)=P(BC)=1/8$，而 $AC=ABC=0$。至少一个发生的概率为 $1/4+1/2+1/4-1/8-1/8=3/4$；恰有一个发生的概率为 $1/8+1/4+1/8=1/2$，故条件概率为 $2/3$。

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30. 【2025-1-5 分】 设 A, B 为两个不同随机事件, 且相互独立, 已知 $P(A)=2P(B)$, $P(A\cup B)=\frac{5}{8}$, 则 A, B 中至少有一个发生的条件下, A, B 中恰好有一个发生的概率为

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答案： $\frac{4}{5}$。

解析： 设 $P(B)=x$，则 $P(A)=2x$。独立性与并事件概率给出 $3x-2x^2=5/8$，在概率范围内得 $x=1/4$，故 $P(A)=1/2$。恰有一个发生的概率为 $\frac{1}{2}\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\frac{1}{2}=1/2$，除以 $5/8$ 得 $4/5$。

大题

1. 【1987-45-8 分】 设有两箱同种零件.第一箱内装50 件, 其中10 件一等品;第二箱内装有30 件, 其中18 件一等品. 现从两箱中随机挑出一箱, 然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回), 试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率 p; (2) 在先取出的零件是一等品的条件下, 第二次取出的零件仍是一等品的条件概率 q.

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答案： $p=\frac{2}{5},q=\frac{690}{1421}$。

解析： 第一问由全概率公式：$p=\frac{1}{2}\frac{10}{50}+\frac{1}{2}\frac{18}{30}=2/5$。两次均为一等品的概率为 $\frac{1}{2}\frac{10}{50}\frac{9}{49}+\frac{1}{2}\frac{18}{30}\frac{17}{29}=276/1421$，故 $q=P(\text{第二次一等}\mid \text{第一次一等})=(276/1421)/(2/5)=690/1421$。

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2. 【1988-45-7 分】 玻璃杯成箱出售, 每箱20 只, 假设各箱含0, 1, 2 只残次品的概率是0.8, 0.1 和0.1, 一顾客欲购买一箱玻璃杯, 在购买时, 售货员随意取一箱, 而顾客开箱随机观察4 只, 若无残次品, 则购买下该玻璃杯, 否则退回.试求: (1) 顾客买下该箱的概率 $\alpha$; (2) 在顾客买下的一箱中, 确实没有残次品的概率 $\beta$.

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答案： $\alpha =\frac{448}{475},\beta =\frac{95}{112}$。

解析： 箱内有0、1、2只残次品时，抽4只均为正品的概率分别为 $1,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{4}\right)/\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{4}\right)=4/5,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{4}\right)/\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{4}\right)=12/19$。故 $\alpha =0.8+0.1\cdot 4/5+0.1\cdot 12/19=448/475$；再由贝叶斯公式 $\beta =0.8/\alpha =95/112$。

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3. 【1998-3-8 分】 设有来自三个地区的各10 名、15 名和25 名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3 份、7 份和5 份.随机地取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p; (2) 已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份是女生表的概率 q.

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答案： $p=\frac{29}{90},q=\frac{20}{61}$。

解析： 按地区等概率选择，$p=\frac{1}{3}(3/10+7/15+5/25)=29/90$。先女后男的概率为 $\frac{1}{3}(\frac{3}{10}\frac{7}{9}+\frac{7}{15}\frac{8}{14}+\frac{5}{25}\frac{20}{24})=2/9$；第二份为男生表的概率为 $\frac{1}{3}(7/10+8/15+20/25)=61/90$，故 $q=(2/9)/(61/90)=20/61$。

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4. 【2000-4-8 分】 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的密度函数为 $f(x,y)=\frac{1}{2}[{\phi }_1(x,y)+{\phi }_2(x,y)]$, 其中 ${\phi }_1(x,y)$ 和 ${\phi }_2(x,y)$ 都是二维正态密度函数, 且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$, 它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零, 方差都是1. (1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(y)$ 及 X 和 Y 的相关系数 $\rho$(可以直接利用二维正态密度的性质); (2) 问 X 和 Y 是否独立?为什么?

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答案： $f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},f_2(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-y^2/2},\rho =0$；X、Y 不独立。

解析： 两个二维正态分量的边缘分布均为标准正态，混合后边缘仍为标准正态。协方差为两个分量协方差的平均，即 $(1/3-1/3)/2=0$，故相关系数为0。但对相关系数为 $r$ 的标准二维正态变量，$E(X^2{Y}^2)=1+2r^2$；本题混合分布中该值为 $11/9$，而 $E(X^2)E(Y^2)=1$，所以不独立。