1.3 条件概率与独立性

小题

1. 【1989-1-2 分】 甲, 乙两人独立的对同一目标射击一次, 其命中率分别为0.6 和0.5, 现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率是

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答案： $\frac{3}{4}$。

解析： 设甲、乙命中事件分别为 $A,B$，则 $P(A\cup B)=1-(1-0.6)(1-0.5)=0.8$，故 $P(A\mid A\cup B)=0.6/0.8=3/4$。

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2. 【1993-5-3 分】 设10 件产品有4 件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为

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答案： $\frac{1}{5}$。

解析： “至少有一件不合格”的组合数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=30$，其中两件均不合格的组合数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$，故条件概率为 $6/30=1/5$。

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3. 【1994-5-3 分】 假设一批产品中一, 二, 三等品各占60%, 30%, 10%, 从中随意取出一件, 结果不是三等品, 则取到的是一等品的概率为

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答案： $\frac{2}{3}$。

解析： 在“不是三等品”的条件下，一等品与二等品的比例为 $60\%:30\%$，故概率为 $0.6/(0.6+0.3)=2/3$。

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4. 【1996-4-3 分】 已知 $0<P(B)<1$, $P[(A_1+A_2)|B]=P(A_1|B)+P(A_2|B)$, 则下列选项成立的是( ).

A. $P[(A_1+A_2)|\bar{B}]=P(A_1|\bar{B})+P(A_2|\bar{B})$    B. $P(A_{1}B+A_{2}B)=P(A_{1}B)+P(A_{2}B)$

C. $P(A_1+A_2)=P(A_1|B)+P(A_2|B)$    D. $P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)$

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答案： B。

解析： 题设条件说明在条件 $B$ 下，$A_1$ 与 $A_2$ 的交集概率为0，即 $P(A_1{A}_{2}B)=0$，所以 $A_{1}B$ 与 $A_{2}B$ 互不相容，从而选项 B 成立。

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5. 【1996-5-3 分】 设 A, B 为任意两个事件, 且 $A\subset B$, $P(B)>0$, 则下列选项必然成立的是( ).

A. $P(A)<P(A|B)$    B. $P(A)\le P(A|B)$

C. $P(A)>P(A|B)$    D. $P(A)\ge P(A|B)$

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答案： B。

解析： 因 $A\subset B$，$P(A\mid B)=P(A)/P(B)$。又 $0<P(B)\le 1$，故 $P(A\mid B)\ge P(A)$。

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6. 【2012-13-4 分】 设 A, B, C 是随机事件, A 与 C 互不相容, $P(AB)=\frac{1}{2}$, $P(C)=\frac{1}{3}$ 则 $P(AB|\bar{C})=$

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答案： $\frac{3}{4}$。

解析： 由于 $A$ 与 $C$ 互不相容，$AB\subset A$ 也与 $C$ 互不相容，故 $P(AB\mid \bar{C})=P(AB)/P(\bar{C})=(1/2)/(2/3)=3/4$。

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7. 【2016-3-4 分】 设 A, B 为两个随机事件, 且 $0<P(A)<1$, $0<P(B)<1$, 如果 $P(A|B)=1$, 则( )

A. $P(\bar{B}|\bar{A})=1$    B. $P(A|\bar{B})=0$    C. $P(A\cup B)=0$    D. $P(B|A)=1$

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答案： A。

解析： $P(A\mid B)=1$ 表明 $B\subset A$（按概率意义），取补得 $\bar{A}\subset \bar{B}$，所以 $P(\bar{B}\mid \bar{A})=1$。

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8. 【2017-1-4 分】 设 A, B 为随机事件.若 $0<P(A)<1$, $0<P(B)<1$, 则 $P(A|B)>P(A|\bar{B})$ 的充分必要条件是( )

A. $P(B|A)>P(B|\bar{A})$    B. $P(B|A)<P(B|\bar{A})$

C. $P(\bar{B}|A)>P(B|\bar{A})$    D. $P(\bar{B}|A)<P(B|\bar{A})$

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答案： A。

解析： 由全概率公式，$P(A)$ 是 $P(A\mid B)$ 与 $P(A\mid \bar{B})$ 的加权平均；所给不等式等价于 A、B 正相关，也等价于 $P(B\mid A)>P(B\mid \bar{A})$。

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9. 【2021-13-5 分】 设 A, B 为随机事件, 且 $0<P(B)<1$, 下列命题中为假命题的是( )

A. 若 $P(A|B)=P(A)$, 则 $P(A|\bar{B})=P(A)$

B. 若 $P(A|B)>P(A)$, 则 $P(\bar{A}|\bar{B})>P(\bar{A})$

C. 若 $P(A|B)>P(A|\bar{B})$, 则 $P(A|B)>P(A)$

D. 若 $P(A|A\cup B)>P(\bar{A}|A\cup B)$, 则 $P(A)>P(B)$

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答案： D。

解析： A、B、C 三项均可由全概率公式直接推出。D 的前提只说明在 $A\cup B$ 内 $A$ 的概率大于 $\bar{A}$ 的概率，并不能推出 $P(A)>P(B)$，故 D 为假命题。

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10. 【1994-45-3 分】 设 $0<P(A)<1$, $0<P(B)<1$, $P(A|B)+P(\bar{A}|\bar{B})=1$, 则( ).

A. 事件 A 和 B 互不相容    B. 事件 A 和 B 互相对立

C. 事件 A 和 B 互不独立    D. 事件 A 和 B 相互独立

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答案： D。

解析： $P(A\mid B)+P(\bar{A}\mid \bar{B})=1$ 等价于 $P(A\mid B)=P(A\mid \bar{B})$，由 $0<P(B)<1$ 可知 A 与 B 独立。

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11. 【1998-1-3 分】 设 A, B 是随机事件, 且 $0<P(A)<1$, $P(B)>0$, $P(B|A)=P(B|\bar{A})$, 则必有( ).

A. $P(A|B)=P(\bar{A}|B)$    B. $P(A|B)\ne P(\bar{A}|B)$

C. $P(AB)=P(A)P(B)$    D. $P(AB)\ne P(A)P(B)$

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答案： C。

解析： 由全概率公式，$P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \bar{A})P(\bar{A})$。两条件概率相等时均等于 $P(B)$，从而 $P(AB)=P(A)P(B)$。

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12. 【2000-4-3 分】 设 A, B, C 三个事件两两相互独立, 则 A, B, C 相互独立的充分必要条件是( ).

A. A 与 $BC$ 独立    B. $AB$ 与 $A\cup C$ 独立

C. $AB$ 与 $AC$ 独立    D. $A\cup B$ 与 $A\cup C$ 独立

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答案： A。

解析： 已知两两独立后，三事件相互独立只差条件 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。这恰好等价于 A 与事件 $BC$ 独立。

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13. 【2003-3-4 分】 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件: $A_1=\{\text{掷第一次出现正面}\}$, $A_2=\{\text{掷第二次出现正面}\}$, $A_3=\{\text{正、反面各出现一次}\}$, $A_4=\{\text{正面出现两次}\}$, 则事件( )

A. $A_1$, $A_2$, $A_3$ 相互独立    B. $A_2$, $A_3$, $A_4$ 相互独立

C. $A_1$, $A_2$, $A_3$ 两两独立    D. $A_2$, $A_3$, $A_4$ 两两独立

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答案： C。

解析： $A_1,A_2,A_3$ 的概率均为 $1/2$，任意两者交集概率均为 $1/4$，故两两独立；但三者交集为空而概率乘积为 $1/8$，所以不相互独立。

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14. 【2003-4-4 分】 对于任意二事件 A 和 B, ( ).

A. 若 $AB\ne \varnothing$, 则 A, B 一定独立    B. 若 $AB\ne \varnothing$, 则 A, B 有可能独立

C. 若 $AB=\varnothing$, 则 A, B 一定独立    D. 若 $AB=\varnothing$, 则 A, B 一定不独立

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答案： B。

解析： 集合交集非空与概率独立没有必然关系；可以构造交集非空且满足 $P(AB)=P(A)P(B)$ 的事件，因此“有可能独立”正确。

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15. 【2017-3-4 分】 设 A, B, C 为三个随机事件, 且 A 与 C 相互独立, B 与 C 相互独立, 则 $A\cup B$ 与 C 相互独立的充分必要条件是( )

A. A 与 B 相互独立    B. A 与 B 互不相容

C. $AB$ 与 C 相互独立    D. $AB$ 与 C 互不相容

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答案： C。

解析： 利用容斥公式，$P((A\cup B)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)$。已知 A、C 与 B、C 独立后，$A\cup B$ 与 C 独立当且仅当 $P(ABC)=P(AB)P(C)$，即 $AB$ 与 C 独立。

大题

1. 【2002-4-8 分】 设 A, B 是任意二事件, 其中 A 的概率不等于0 和1, 证明, $P(B|A)=P(B|\bar{A})$ 是事件 A 与 B 独立的充分必要条件.

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答案： 结论成立。

解析： 若 $P(B\mid A)=P(B\mid \bar{A})=r$，由全概率公式 $P(B)=rP(A)+rP(\bar{A})=r$，于是 $P(AB)=P(A)P(B)$，A、B 独立。反之，若 A、B 独立，则 $P(B\mid A)=P(B)$；又 A 与 B 独立也推出 $\bar{A}$ 与 B 独立，所以 $P(B\mid \bar{A})=P(B)$。