1.2 简单概型

小题

1. 【1990-45-4 分】 从0, 1, 2, ⋯, 9 十个数字中任意选出三个不同的数字, 试求下列事件的概率: $A_1=\{\text{三个数字中不含 0 和 5}\}$; $A_2=\{\text{三个数字中不含0 或5}\}$; $A_3=\{\text{三个数字中含0 但不含 5}\}$.

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答案： $P(A_1)=\frac{7}{15},P(A_2)=\frac{14}{15},P(A_3)=\frac{7}{30}$。

解析： 样本点总数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$。于是 $P(A_1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)/120=7/15$；“不含0或5”按逻辑“或”理解，其对立事件为同时含0和5，故 $P(A_2)=1-8/120=14/15$；$P(A_3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)/120=7/30$。

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2. 【1992-4-3 分】 将 C, C, E, E, I, N, S 等七个字母随机地排成一行, 那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为

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答案： $\frac{1}{1260}$。

解析： 七个字母含两个 C、两个 E，可区分排列数为 $\frac{7!}{2!2!}=1260$，其中只有一种排列为 SCIENCE。

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3. 【1993-1-3 分】 一批产品有10 个正品和2 个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个, 抽出后不再放回, 则第二次抽出的是次品的概率为

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答案： $\frac{1}{6}$。

解析： 不放回随机抽取时，每个位置上出现次品的边缘概率均等于总体次品率，故第二次抽到次品的概率为 $2/12=1/6$。

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4. 【2016-3-4 分】 设袋中有红、白、黑球各1 个, 从中有放回地取球, 每次取1 个, 直到三种颜色的球都取到时停止, 则取球次数恰好为4 的概率为

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答案： $\frac{2}{9}$。

解析： 第四次才集齐三色，要求前三次恰出现两种颜色且第四次为缺少的颜色。选择缺少颜色有3种，前三次在另外两色中均出现的序列有 $2^3-2=6$ 种，故概率为 $3\cdot 6/3^4=2/9$。

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5. 【1989-1-2 分】 若随机变量$\xi$ 在(1, 6) 上服从均匀分布, 则方程 $x^2+\xi x+1=0$ 有实根的概率是

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答案： $\frac{4}{5}$。

解析： 方程有实根当且仅当判别式 ${\xi }^2-4\ge 0$。因 $\xi \in (1,6)$，故需 $\xi \ge 2$，概率为 $(6-2)/(6-1)=4/5$。

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6. 【1991-1-3 分】 随机地向半圆 $0<y<\sqrt{2ax-x^2}(a>0)$ 内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与 X 轴的夹角小于 $\frac{\pi }{4}$ 的概率为

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答案： $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }=\frac{\pi +2}{2\pi }$。

解析： 用极坐标表示半圆：$0\le \theta \le \pi /2,0\le r\le 2a\cos \theta$。所求区域对应 $0\le \theta <\pi /4$，其面积为 $2a^2{\int }_0^{\pi /4}{\cos }^2\theta d\theta =a^2(\pi /4+1/2)$；除以半圆面积 $\pi a^2/2$ 即得结论。

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7. 【2007-134-4 分】 在区间(0, 1) 中随机地取两个数, 则这两个数之差的绝对值小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为

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答案： $\frac{3}{4}$。

解析： 在单位正方形中，$|x-y|\ge 1/2$ 对应两个直角三角形，总面积为 $2\times \frac{1}{2}(1/2{)}^2=1/4$，故所求概率为 $1-1/4=3/4$。

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8. 【1987-1-2 分】 在一次试验中事件 A 发生的概率为 p, 现进行 n 次独立试验, 则 A 至少发生一次的概率为_____;而事件 A 至多发生一次的概率为

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答案： $1-(1-p{)}^n$；$(1-p{)}^n+np(1-p{)}^{n-1}$。

解析： 至少一次用对立事件计算；至多一次为发生0次与恰发生1次的概率之和。

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9. 【1988-1-2 分】 设三次独立实验中, 事件 A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率等于 $\frac{19}{27}$, 则事件 A 在一次试验中出现的概率为

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答案： $\frac{1}{3}$。

解析： 设一次发生概率为 $p$，则 $1-(1-p{)}^3=19/27$，所以 $(1-p{)}^3=8/27$，得 $p=1/3$。

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10. 【1990-4-3 分】 一射手对同一目标独立的进行四次射击, 若至少命中一次的概率为 $\frac{80}{81}$, 则射手的命中率为

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答案： $\frac{2}{3}$。

解析： 设单次命中率为 $p$，由 $1-(1-p{)}^4=80/81$ 得 $(1-p{)}^4=1/81=(1/3{)}^4$，故 $p=2/3$。

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11. 【2007-134-4 分】 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 $p(0<p<1)$, 则此人第4 次射击恰好第2 次命中目标的概率为( )

A. $3p(1-p{)}^2$    B. $6p(1-p{)}^2$    C. $3p^2(1-p{)}^2$    D. $6p^2(1-p{)}^2$

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答案： C。

解析： 第四次射击恰为第二次命中，要求前三次恰命中一次且第四次命中，概率为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)p(1-p{)}^2\cdot p=3p^2(1-p{)}^2$。

大题

1. 【1996-4-6 分】 考虑一元二次方程 $x^2+Bx+C=0$, 其中 B, C 分别是将一枚色子(骰子) 接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q

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答案： $p=\frac{19}{36},q=\frac{1}{18}$。

解析： 有实根等价于 $B^2-4C\ge 0$。按 $B=1,2,\dots ,6$ 计数，允许的 $C$ 个数分别为 $0,1,2,4,6,6$，共19种，故 $p=19/36$。重根要求 $B^2=4C$，仅有 $(B,C)=(2,1),(4,4)$ 两种，故 $q=2/36=1/18$。

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2. 【1995-45-8 分】 假设一厂家生产的每台仪器, 以概率为0.70 可以直接出厂;以概率0.30 需进一步调试, 经调试后以概率0.80 可以出厂;以概率0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 $n(n\ge 2)$ 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立), 求: (1) 全部能出厂的概率 $\alpha$; (2) 其中恰好有两件不能出厂的概率 $\beta$; (3) 其中至少有两件不能出厂的概率 $\theta$.

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答案： $\alpha =0.94^n$；$\beta =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)(0.06{)}^2(0.94{)}^{n-2}$；$\theta =1-0.94^n-n(0.06)(0.94{)}^{n-1}$。

解析： 单台仪器能出厂的概率为 $0.70+0.30\times 0.80=0.94$，不能出厂的概率为 $0.06$。由各台生产过程独立，直接使用二项分布即可。