1.1 事件的关系与运算

小题

1. 【1988-45-2 分】 判断正误: 若事件 A, B, C 满足等式 $A\cup C=B\cup C$, 则 $A=B$ .()

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答案： 错误。

解析： 并集相等不能消去同一个事件。反例：取 $A=\{1\},B=\{2\},C=\{1,2\}$，则 $A\cup C=B\cup C=C$，但 $A\ne B$。

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2. 【1989-45-3 分】 以 A 表示事件"甲种产品畅销, 乙种产品滞销", 则其对立事件 $\bar{A}$ 为( ).

A. “甲种产品滞销, 乙种产品畅销”    B. “甲, 乙产品均畅销”

C. “甲种产品滞销”    D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”

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答案： D。

解析： 事件 $A$ 为“甲畅销且乙滞销”，故其对立事件为“甲不畅销或乙不滞销”，即“甲滞销或乙畅销”。

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3. 【1991-45-3 分】 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则下列结论正确的是( ).

A. $\bar{A}\text{和}\bar{B}\text{不相容}$    B. $\bar{A}\text{和}\bar{B}\text{相容}$    C. $P(AB)=P(A)P(B)$    D. $P(A-B)=P(A)$

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答案： D。

解析： 因 $A,B$ 互不相容，$AB=\varnothing$，所以 $A-B=A$，从而 $P(A-B)=P(A)$。

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4. 【1993-4-3 分】 假设事件 A 和 B 满足 $P(B|A)=1$, 则( )

A. $A\text{是必然事件}$    B. $P(B|\bar{A})=0$    C. $A\supset B$    D. $A\subset B$

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答案： D（按概率意义）。

解析： $P(B\mid A)=1$ 等价于 $P(A\bar{B})=0$，即在忽略零概率差异后 $A\subset B$。

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5. 【1997-4-3 分】 设 A, B 是任意两个随机事件, $P\{(\bar{A}+B)(A+B)(\bar{A}+\bar{B})(A+\bar{B})\}=$

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答案： $0$。

解析： 将括号视为事件的并，交集为 $(\bar{A}\cup B)(A\cup B)(\bar{A}\cup \bar{B})(A\cup \bar{B})$。前两项交得 $B$，后两项与之继续相交得到 $B\bar{B}=\varnothing$，故概率为 $0$。

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6. 【2000-34-3 分】 在电炉上安装了4 个温控器, 其显示温度的误差是随机的.在使用过程中, 只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 $t_0$ 电炉就断电.以 E 表示事件"电炉断电", 而 $T_{(1)}\le T_{(2)}\le T_{(3)}\le T_{(4)}$ 为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值, 则事件 E 等于( ).

A. $\{T_{(1)}\ge t_0\}$    B. $\{T_{(2)}\ge t_0\}$    C. $\{T_{(3)}\ge t_0\}$    D. $\{T_{(4)}\ge t_0\}$

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答案： C。

解析： 四个温度按递增排列。至少有两个温控器的示值不低于 $t_0$，等价于第二大的示值 $T_{(3)}\ge t_0$。

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7. 【2001-4-3 分】 对于任意二事件 A 和 B, 与 $A\cup B=B$ 不等价的是( ).

A. $A\subset B$    B. $\bar{B}\subset \bar{A}$    C. $A\bar{B}=\varnothing$    D. $\bar{A}B=\varnothing$

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答案： D。

解析： $A\cup B=B$ 等价于 $A\subset B$，也等价于 $\bar{B}\subset \bar{A}$ 和 $A\bar{B}=\varnothing$；$\bar{A}B=\varnothing$ 则表示 $B\subset A$，并不等价。

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8. 【2009-3-4 分】 设事件 A 与事件 B 互不相容, 则( )

A. $P(\overline{AB})=0$    B. $P(AB)=P(A)P(B)$    C. $P(A)=1-P(B)$    D. $P(\bar{A}\cup \bar{B})=1$

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答案： D。

解析： 由 $AB=\varnothing$，德摩根律给出 $\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{AB}=\Omega$，故其概率为 $1$。