五、场论初步

小题

【1989-12-3 分】 $u = x y^{2} i + y e^{z} j + x ln (1 + z^{2}) k$ 在 $P (1, 1, 0)$ 处 $div u =$

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答案：

div u_{(1, 1, 0)} = 2.

解析： 设

u = P i + Q j + R k,

其中

P = x y^{2}, Q = y e^{z}, R = x ln (1 + z^{2}) .

由散度定义，

div u = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = y^{2} + e^{z} + \frac{2 x z}{1 + z ^{2}} .

代入 $P (1, 1, 0)$ ，得

div u_{(1, 1, 0)} = 1 + 1 + 0 = 2.

知识点：向量场 $u = P i + Q j + R k$ 的散度为

div u = P_{x} + Q_{y} + R_{z} .

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答案：

div (grad u) = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}} (x^{2} + y^{2} + z^{2} \neq = 0) .

解析： 记

r = x^{2} + y^{2} + z^{2},

则 $u = ln r$ 。注意

div (grad u) = Δ u .

对于三维径向函数 $u = f (r)$ ，有

Δ u = f^{''} (r) + \frac{2}{r} f^{'} (r) .

这里

f^{'} (r) = \frac{1}{r}, f^{''} (r) = - \frac{1}{r ^{2}},

所以

Δ u = - \frac{1}{r ^{2}} + \frac{2}{r} \cdot \frac{1}{r} = \frac{1}{r ^{2}} = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}} .

知识点：在三维空间中，径向函数 $f (r)$ 的拉普拉斯算子为

Δ f (r) = f^{''} (r) + \frac{2}{r} f^{'} (r), r > 0.

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答案：

div (grad r)_{(1, - 2, 2)} = \frac{2}{3} .

解析： 由

div (grad r) = Δ r

以及三维径向函数的公式，取 $f (r) = r$ ，则

f^{'} (r) = 1, f^{''} (r) = 0,

从而

Δ r = 0 + \frac{2}{r} = \frac{2}{r} .

在点 $(1, - 2, 2)$ 处，

r = 1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2} = 3,

故

div (grad r)_{(1, - 2, 2)} = \frac{2}{3} .

知识点：在三维空间中， $Δ r = \frac{2}{r}$ ，其中 $r \neq = 0$ 。

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答案：

rot A = j + (y - 1) k .

解析： 设

P = x + y + z, Q = x y, R = z .

由旋度公式，

rot A = (R_{y} - Q_{z}) i + (P_{z} - R_{x}) j + (Q_{x} - P_{y}) k .

分别计算，

R_{y} - Q_{z} = 0,

P_{z} - R_{x} = 1,

Q_{x} - P_{y} = y - 1.

因此

rot A = 0 i + j + (y - 1) k .

知识点：旋度各分量须按循环次序计算，特别注意中间分量的符号。

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答案：

rot F (1, 1, 0) = i - k .

解析： 令

P = x y, Q = - y z, R = z x .

则

rot F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (0 - (- y), 0 - z, 0 - x) = (y, - z, - x) .

代入点 $(1, 1, 0)$ ，得

rot F (1, 1, 0) = (1, 0, - 1) = i - k .

知识点：先求旋度的一般表达式，再代入指定点，可减少漏项和符号错误。