二、直线与平面

小题

1. 【1987-12-3 分】 与两直线

$$\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=-1+t,\\ z=2+t\end{array}\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$$

都平行，且过原点的平面方程是

查看答案与解析

答案： $x-y+z=0$。

解析： 两直线的方向向量分别为

$${\vec{s}}_1=(0,1,1),{\vec{s}}_2=(1,2,1).$$

所求平面同时平行于这两个方向，因此其法向量可取

$$\vec{n}={\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(-1,1,-1).$$

平面经过原点，故方程为

$$-x+y-z=0,$$

即

$$x-y+z=0.$$

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2. 【1990-12-3 分】 过点 $M(1,2,-1)$ 且与直线

$$\{\begin{array}{l}x=-t+2,\\ y=3t-4,\\ z=t-1\end{array}$$

垂直的平面方程

查看答案与解析

答案： $x-3y-z+4=0$。

解析： 已知直线的方向向量为

$$\vec{s}=(-1,3,1).$$

平面与直线垂直，所以该方向向量可作为平面的法向量。由点法式得

$$-(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0.$$

整理得

$$-x+3y+z-4=0,$$

等价地写为

$$x-3y-z+4=0.$$

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3. 【1991-12-3 分】 已知直线

$$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$$

和

$$L_2:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1},$$

则过 $L_1$ 且平行于 $L_2$ 的平面方程是

查看答案与解析

答案： $x-3y+z+2=0$。

解析： 直线 $L_1$ 的方向向量及其上一点分别为

$${\vec{s}}_1=(1,0,-1),P_0=(1,2,3),$$

直线 $L_2$ 的方向向量为

$${\vec{s}}_2=(2,1,1).$$

所求平面包含 ${\vec{s}}_1$，且平行于 ${\vec{s}}_2$，故法向量为

$$\vec{n}={\vec{s}}_1\times {\vec{s}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=(1,-3,1).$$

由点法式，所求平面为

$$(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0,$$

即

$$x-3y+z+2=0.$$

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4. 【1992-12-3 分】 在曲线 $x=t,y=-t^2,z=t^3$ 的所有切线中，与平面 $x+2y+z=4$ 平行的切线（ ）

A. 只有1条    B. 只有2条    C. 至少有3条    D. 不存在

查看答案与解析

答案： B。

解析： 曲线的位置向量为

$$\vec{r}(t)=(t,-t^2,t^3),$$

故参数 $t$ 对应点处的切向量为

$$\vec{r}{}^{\prime }(t)=(1,-2t,3t^2).$$

平面 $x+2y+z=4$ 的法向量为

$$\vec{n}=(1,2,1).$$

切线平行于该平面的充要条件是切向量与法向量垂直，即

$$\vec{r}{}^{\prime }(t)\cdot \vec{n}=1-4t+3t^2=0.$$

解得

$$(3t-1)(t-1)=0,$$

所以

$$t=\frac{1}{3}\text{或}t=1.$$

对应两个不同的曲线点，因而共有两条满足条件的切线。

错误选项分析：A 少算了一个参数值；C、D 均与二次方程有两个不同实根不符。

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5. 【1993-12-3 分】 设直线

$$l_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1},$$ $$l_2:\{\begin{array}{l}x-y=6,\\ 2y+z=3,\end{array}$$

$l_1$ 与 $l_2$ 的夹角为（ ）

A. $\frac{\pi }{6}$    B. $\frac{\pi }{4}$    C. $\frac{\pi }{3}$    D. $\frac{\pi }{2}$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 直线 $l_1$ 的方向向量为

$${\vec{s}}_1=(1,-2,1).$$

直线 $l_2$ 是两个平面的交线，两平面的法向量分别为

$${\vec{n}}_1=(1,-1,0),{\vec{n}}_2=(0,2,1).$$

因此 $l_2$ 的方向向量可取

$${\vec{s}}_2={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=(-1,-1,2).$$

设两直线的夹角为 $\theta$，则

$$\cos \theta =\frac{|{\vec{s}}_1\cdot {\vec{s}}_2|}{|{\vec{s}}_1||{\vec{s}}_2|}=\frac{|-1+2+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{1}{2}.$$

所以

$$\theta =\frac{\pi }{3}.$$

其余选项对应的余弦值均不等于 $\frac{1}{2}$。

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6. 【1995-12-3 分】 设直线

$$l:\{\begin{array}{l}x+3y+2z+1=0,\\ 2x-y-10z+3=0\end{array}$$

及平面 $\pi :4x-2y+z-2=0$，则直线 $l$（ ）

A. 平行于 $\pi$    B. 在 $\pi$ 上    C. 垂直于 $\pi$    D. 与 $\pi$ 斜交

查看答案与解析

答案： C。

解析： 构成直线 $l$ 的两个平面的法向量为

$${\vec{n}}_1=(1,3,2),{\vec{n}}_2=(2,-1,-10).$$

故直线 $l$ 的方向向量可取

$$\begin{array}{rl}\vec{s}& ={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2\\ & =(-28,14,-7)\\ & =-7(4,-2,1).\end{array}$$

而平面 $\pi$ 的法向量为

$${\vec{n}}_{\pi }=(4,-2,1).$$

由于 $\vec{s}\parallel {\vec{n}}_{\pi }$，所以直线 $l$ 垂直于平面 $\pi$。

错误选项分析：若直线平行或位于平面内，其方向向量应与平面法向量垂直；本题二者平行，因此不是 A、B、D。

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7. 【1996-12-3 分】 设一平面经过原点及点 $(6,3,2)$，且与平面 $4x-y+2z=8$ 垂直，则此平面方程为

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答案： $4x-2y-9z=0$。

解析： 所求平面经过原点和点 $P(6,3,2)$，故它包含向量

$$\overrightarrow{OP}=(6,3,2).$$

已知平面的法向量为

$${\vec{n}}_0=(4,-1,2).$$

设所求平面的法向量为 $\vec{n}$。因为两平面垂直，所以 $\vec{n}\perp {\vec{n}}_0$；又因为 $\overrightarrow{OP}$ 位于所求平面内，所以 $\vec{n}\perp \overrightarrow{OP}$。因此可取

$$\vec{n}=\overrightarrow{OP}\times {\vec{n}}_0=(8,-4,-18)=2(4,-2,-9).$$

所求平面经过原点，故方程为

$$4x-2y-9z=0.$$

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8. 【1997-1-5 分】 设直线

$$l:\{\begin{array}{l}x+y+b=0,\\ x+ay-z-3=0\end{array}$$

在平面 $\pi$ 上，且平面 $\pi$ 与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切于点 $(1,2,5)$，求 $a,b$ 之值。

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答案： $a=3,b=-2$。

解析： 令

$$F(x,y,z)=x^2+y^2-z.$$

曲面在点 $(1,2,5)$ 处的法向量为

$$\nabla F(1,2,5)=(2,4,-1).$$

故切平面 $\pi$ 的方程为

$$2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0,$$

即

$$2x+4y-z-5=0.$$

直线 $l$ 是平面

$$P_1:x+y+b=0$$

与平面

$$P_2:x+ay-z-3=0$$

的交线。若 $l$ 位于平面 $\pi$ 上，则 $\pi$ 的方程应为 $P_1,P_2$ 方程的线性组合。设

$$\lambda (x+y+b)+\mu (x+ay-z-3)=2x+4y-z-5.$$

比较 $z$ 的系数得 $-\mu =-1$，所以 $\mu =1$；比较 $x$ 的系数得

$$\lambda +1=2,$$

故 $\lambda =1$。再比较 $y$ 的系数与常数项，得

$$1+a=4,b-3=-5.$$

因此

$$a=3,b=-2.$$

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9. 【2006-1-4 分】 点 $(2,1,0)$ 到平面 $3x+4y+5z=0$ 的距离 $d=$

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答案： $\sqrt{2}$。

解析： 点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离公式为

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

代入 $P(2,1,0)$ 和平面 $3x+4y+5z=0$，得

$$\begin{array}{rl}d& =\frac{|3\times 2+4\times 1+5\times 0|}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}}\\ & =\frac{10}{\sqrt{50}}\\ & =\sqrt{2}.\end{array}$$

大题

1. 【1988-2-6 分】 求椭圆面

$$x^2+2y^2+3z^2=21$$

上某点 $M$ 处的切平面 $\pi$ 的方程，使平面 $\pi$ 过已知直线

$$L:\frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2z-1}{-2}.$$

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答案： 切平面有两个：

$$x+2z=7,$$$$x+4y+6z=21.$$

解析： 设切点为 $M(x_0,y_0,z_0)$。令

$$F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21,$$

则椭圆面在点 $M$ 处的法向量为

$$\nabla F(M)=(2x_0,4y_0,6z_0).$$

因此切平面可写为

$$x_{0}x+2y_{0}y+3z_{0}z=21.\text{\hspace{1em}(1)}$$

直线 $L$ 的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=6+2t,\\ y=3+t,\\ z=\frac{1}{2}-t,\end{array}$$

故直线经过点 $P\left(6,3,\frac{1}{2}\right)$，方向向量为

$$\vec{s}=(2,1,-1).$$

切平面包含直线 $L$，故其法向量

$$\vec{n}=(x_0,2y_0,3z_0)$$

应与 $\vec{s}$ 垂直，从而

$$2x_0+2y_0-3z_0=0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

又点 $P$ 在切平面上，由式（1）得

$$6x_0+6y_0+\frac{3}{2}{z}_0=21.\text{\hspace{1em}(3)}$$

由式（2）得

$$x_0+y_0=\frac{3}{2}{z}_0.$$

代入式（3），有

$$6\cdot \frac{3}{2}{z}_0+\frac{3}{2}{z}_0=21,$$

所以

$$z_0=2,x_0+y_0=3.\text{\hspace{1em}(4)}$$

由于 $M$ 在椭圆面上，故

$$x_0^2+2y_0^2+3z_0^2=21.$$

结合 $z_0=2$，得

$$x_0^2+2y_0^2=9.\text{\hspace{1em}(5)}$$

将 $x_0=3-y_0$ 代入式（5），得

$$(3-y_0{)}^2+2y_0^2=9,$$

即

$$3y_0(y_0-2)=0.$$

因此

$$M_1=(3,0,2),M_2=(1,2,2).$$

分别代入切平面方程（1）：

当 $M=M_1$ 时，

$$3x+6z=21,$$

即

$$x+2z=7.$$

当 $M=M_2$ 时，

$$x+4y+6z=21.$$

故满足条件的切平面共有两个。