三、线性微分方程解的性质

小题

【1989-12-3 分】 设线性无关的函数 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 都是二阶非齐次线性方程

$y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)$

的解， $c_{1}, c_{2}$ 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）

c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} + y_{3}

c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} - (c_{1} + c_{2}) y_{3}

c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} - (1 - c_{1} - c_{2}) y_{3}

c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} + (1 - c_{1} - c_{2}) y_{3}

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答案： D。

解析： 记线性微分算子为

$L [y] = y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y$ 。

因为 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 都满足 $L [y] = f (x)$ ，所以

$L [y_{1} - y_{3}] = 0 ， L [y_{2} - y_{3}] = 0$ 。

因此 $y_{1} - y_{3}$ 与 $y_{2} - y_{3}$ 是对应齐次方程的解。二阶非齐次方程的通解可写为

$y = y_{3} + c_{1} (y_{1} - y_{3}) + c_{2} (y_{2} - y_{3})$ ，

即

$y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} + (1 - c_{1} - c_{2}) y_{3}$ 。

故选 D。

A 中三个非齐次解的系数之和为 $c_{1} + c_{2} + 1$ ，一般不等于 $1$ ；B 中系数之和为 $0$ ，所得为齐次方程的解；C 中系数之和为 $2 c_{1} + 2 c_{2} - 1$ ，一般也不等于 $1$ 。

【1997-2-5 分】 已知

$y_{1} = x e^{x} + e^{2 x} ， y_{2} = x e^{x} + e^{- x} ， y_{3} = x e^{x} + e^{2 x} - e^{- x}$

是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

查看答案与解析

答案： $y^{''} - y^{'} - 2 y = (1 - 2 x) e^{x}$ 。

解析： 同一非齐次线性方程的任意两个解之差均为对应齐次方程的解。因此

$y_{1} - y_{3} = e^{- x}$ ，

且

$y_{1} - y_{2} = e^{2 x} - e^{- x}$ 。

由此可知 $e^{- x}$ 与 $e^{2 x}$ 都是对应齐次方程的解，特征根为

$r_{1} = - 1 ， r_{2} = 2$ 。

故对应齐次方程为

$y^{''} - y^{'} - 2 y = 0$ 。

再取非齐次方程的一个特解

$y_{p} = x e^{x}$ 。

计算得

$y_{p}^{'} = (x + 1) e^{x}$ ，

$y_{p}^{''} = (x + 2) e^{x}$ 。

于是

y_{p}^{''} - y_{p}^{'} - 2 y_{p} = [(x + 2) - (x + 1) - 2 x] e^{x} = (1 - 2 x) e^{x}

。

所以所求微分方程可写为

$y^{''} - y^{'} - 2 y = (1 - 2 x) e^{x}$ 。

【2006-3-4 分】 设非齐次线性微分方程

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

有两个不同的解 $y_{1} (x), y_{2} (x)$ ， $C$ 为任意常数，则该方程的通解是（）

C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]

y_{1} (x) + C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]

C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]

y_{1} (x) + C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]

查看答案与解析

答案： B。

解析： 因为 $y_{1}, y_{2}$ 都满足原非齐次方程，所以二者之差满足对应齐次方程：

$(y_{1} - y_{2})^{'} + P (x) (y_{1} - y_{2}) = 0$ 。

一阶齐次线性方程的解空间是一维的，而 $y_{1} \neq = y_{2}$ ，故 $y_{1} - y_{2}$ 是一个非零齐次解。因此原方程的通解为

$y = y_{1} + C (y_{1} - y_{2})$ 。

故选 B。

A 只给出了齐次方程的通解，缺少非齐次方程的一个特解；C、D 中的 $y_{1} + y_{2}$ 一般不满足对应齐次方程。

【2010-23-4 分】 设 $y_{1}, y_{2}$ 是一阶线性非齐次微分方程

$y^{'} + p (x) y = q (x)$

的两个特解。若常数 $λ, μ$ 使 $λ y_{1} + μ y_{2}$ 是该方程的解， $λ y_{1} - μ y_{2}$ 是对应齐次方程的解，则（）

λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}

λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}

λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}

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答案： A。

解析： 记

$L [y] = y^{'} + p (x) y$ 。

由于 $y_{1}, y_{2}$ 都是非齐次方程的特解，故

$L [y_{1}] = L [y_{2}] = q (x)$ 。

由 $λ y_{1} + μ y_{2}$ 是原方程的解，得

L [λ y_{1} + μ y_{2}] = (λ + μ) q (x) = q (x)

，

所以

$λ + μ = 1$ 。

又由 $λ y_{1} - μ y_{2}$ 是齐次方程的解，得

L [λ y_{1} - μ y_{2}] = (λ - μ) q (x) = 0

，

从而

$λ - μ = 0$ 。

联立两式，得

$λ = μ = \frac{1}{2}$ 。

故选 A。

【2013-1-4 分】 已知

$y_{1} = e^{3 x} - x e^{2 x} ， y_{2} = e^{x} - x e^{2 x} ， y_{3} = - x e^{2 x}$

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 $y =$ ______。

查看答案与解析

答案： $y = C_{1} e^{3 x} + C_{2} e^{x} - x e^{2 x}$ 。

解析： 同一非齐次方程的两个解之差是对应齐次方程的解。由题意

$y_{1} - y_{3} = e^{3 x}$ ，

$y_{2} - y_{3} = e^{x}$ 。

因此 $e^{3 x}$ 与 $e^{x}$ 是对应齐次方程的两个线性无关解，齐次通解为

$y_{h} = C_{1} e^{3 x} + C_{2} e^{x}$ 。

又 $y_{3} = - x e^{2 x}$ 是原非齐次方程的一个特解，所以原方程的通解为

y = y_{h} + y_{3} = C_{1} e^{3 x} + C_{2} e^{x} - x e^{2 x}

。

【2013-2-4 分】 已知

$y_{1} = e^{3 x} - x e^{2 x} ， y_{2} = e^{x} - x e^{2 x} ， y_{3} = - x e^{2 x}$

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程满足条件

$y (0) = 0 ， y^{'} (0) = 1$

的解为 $y =$ ______。

查看答案与解析

答案： $y = e^{3 x} - e^{x} - x e^{2 x}$ 。

解析： 由上一题的结论，原方程的通解为

$y = C_{1} e^{3 x} + C_{2} e^{x} - x e^{2 x}$ 。

由 $y (0) = 0$ ，得

$C_{1} + C_{2} = 0$ 。

求导：

$y^{'} = 3 C_{1} e^{3 x} + C_{2} e^{x} - (1 + 2 x) e^{2 x}$ 。

由 $y^{'} (0) = 1$ ，得

$3 C_{1} + C_{2} - 1 = 1$ ，

即

$3 C_{1} + C_{2} = 2$ 。

联立

{C_{1} + C_{2} = 0, 3 C_{1} + C_{2} = 2,

解得

$C_{1} = 1 ， C_{2} = - 1$ 。

故所求解为

$y = e^{3 x} - e^{x} - x e^{2 x}$ 。

【2016-2-4 分】

$y = (1 + x^{2})^{2} + 1 + x^{2}$

与

$y = (1 + x^{2})^{2} - 1 + x^{2}$

是方程

$y^{'} + p (x) y = q (x)$

的两个解，则 $q (x) =$ （）

3 x (1 + x^{2})

- 3 x (1 + x^{2})

\frac{x}{1 + x ^{2}}

- \frac{x}{1 + x ^{2}}

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答案： A。

解析： 记两个解分别为 $y_{1}, y_{2}$ 。则它们之差

$y_{1} - y_{2} = 2 1 + x^{2}$

满足对应齐次方程

$y^{'} + p (x) y = 0$ 。

令 $h (x) = 1 + x^{2}$ ，则

$p (x) = - \frac{h ^{'} ( x )}{h ( x )}$ 。

因为

$h^{'} (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ ，

所以

$p (x) = - \frac{x}{1 + x ^{2}}$ 。

取两个特解的平均值

$y_{p} = \frac{y _{1} + y _{2}}{2} = (1 + x^{2})^{2}$ ，

它仍是原非齐次方程的一个解。因此

$q (x) = y_{p}^{'} + p (x) y_{p}$ 。

计算得

$y_{p}^{'} = 4 x (1 + x^{2})$ ，

于是

$q (x) = 4 x (1 + x^{2}) - \frac{x}{1 + x ^{2}} (1 + x^{2})^{2}$

$= 4 x (1 + x^{2}) - x (1 + x^{2})$

$= 3 x (1 + x^{2})$ 。

故选 A。

【2016-2-4 分】 以

$y = x^{2} - e^{x}$

和

$y = x^{2}$

为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ______。

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答案： $y^{'} - y = 2 x - x^{2}$ 。

解析： 两特解之差为

$(x^{2} - e^{x}) - x^{2} = - e^{x}$ 。

它应满足对应齐次方程

$y^{'} + p (x) y = 0$ 。

由于 $e^{x}$ 满足

$(e^{x})^{'} + p (x) e^{x} = 0$ ，

故

$1 + p (x) = 0$ ，

即

$p (x) = - 1$ 。

所以原方程形如

$y^{'} - y = q (x)$ 。

代入特解 $y = x^{2}$ ，得

$q (x) = 2 x - x^{2}$ 。

因此所求方程为

$y^{'} - y = 2 x - x^{2}$ 。

检验 $y = x^{2} - e^{x}$ ：

$y^{'} - y = (2 x - e^{x}) - (x^{2} - e^{x}) = 2 x - x^{2}$ ，

满足方程。

【2019-23-4 分】 已知微分方程

$y^{''} + a y^{'} + b y = c e^{x}$

的通解为

$y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x} + e^{x}$ ，

则 $a, b, c$ 依次为（）

1, 0, 1

1, 0, 2

2, 1, 3

2, 1, 4

查看答案与解析

答案： D。

解析： 齐次通解为

$y_{h} = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x}$ ，

说明特征方程有二重根 $r = - 1$ 。因此特征方程为

$(r + 1)^{2} = r^{2} + 2 r + 1 = 0$ ，

故

$a = 2 ， b = 1$ 。

非齐次方程的一个特解为

$y_{p} = e^{x}$ 。

代入左端：

y_{p}^{''} + 2 y_{p}^{'} + y_{p} = e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} = 4 e^{x}

。

所以

$c = 4$ 。

故 $(a, b, c) = (2, 1, 4)$ ，选 D。

【2021-2-5 分】 微分方程

$y^{'''} - y = 0$

的通解为 $y =$ ______。

查看答案与解析

答案： $y = C_{1} e^{x} + e^{- \frac{x}{2}} (C_{2} cos \frac{3 x}{2} + C_{3} sin \frac{3 x}{2})$ 。

解析： 特征方程为

$r^{3} - 1 = 0$ 。

分解得

$r^{3} - 1 = (r - 1) (r^{2} + r + 1)$ 。

故一个实根为

$r_{1} = 1$ ，

另外两个根由

$r^{2} + r + 1 = 0$

得到

$r_{2, 3} = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ 。

因此微分方程的通解为

$y = C_{1} e^{x} + e^{- \frac{x}{2}} (C_{2} cos \frac{3 x}{2} + C_{3} sin \frac{3 x}{2})$ 。

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