小题·可降阶的微分方程的求解等4类

小题

（一）可降阶的微分方程的求解

1. 【2000-1-3 分】 微分方程 $x{y}^{\prime \prime }+3y^{\prime }=0$ 的通解为 _____。

查看答案与解析

答案： $y=C_1+\frac{C_2}{x^2}(x\ne 0)$。

解析： 方程中不显含未知函数 $y$，令

$p=y^{\prime }$，

则 $y^{\prime \prime }=p^{\prime }$，原方程化为

$x{p}^{\prime }+3p=0$。

当 $x\ne 0$ 时，分离变量得

$\frac{dp}{p}=-3\frac{dx}{x}$。

积分可得

$\ln |p|=-3\ln |x|+C$，

即

$p=C{x}^{-3}$。

由于 $p=y^{\prime }$，再积分得

$y=\int C{x}^{-3}dx=C_1+C_2{x}^{-2}$。

故通解为

$y=C_1+\frac{C_2}{x^2}(x\ne 0)$。

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2. 【2002-12-3 分】 微分方程 $y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$，$y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ 的特解是 _____。

查看答案与解析

答案： $y=\sqrt{1+x}$。

解析： 注意到

$(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=(y^{\prime }{)}^2+y{y}^{\prime \prime }$，

因此原方程可写为

$(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=0$。

积分一次得

$y{y}^{\prime }=C_1$。

利用初始条件 $y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$，可得

$C_1=y(0)y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$。

于是

$y{y}^{\prime }=\frac{1}{2}$，

即

$\frac{1}{2}(y^2{)}^{\prime }=\frac{1}{2}$。

再积分得

$y^2=x+C_2$。

由 $y(0)=1$，得 $C_2=1$，所以

$y^2=1+x$。

由于所求解在 $x=0$ 附近连续且 $y(0)=1>0$，应取正支，故

$y=\sqrt{1+x}$。

（二）二阶常系数齐次微分方程的求解

1. 【1994-4-5 分】 设函数 $y=y(x)$ 满足条件

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0,\\ y(0)=2,y^{\prime }(0)=-4,\end{array}$$

求广义积分 ${\int }_0^{+\infty }y(x)dx$。

查看答案与解析

答案： ${\int }_0^{+\infty }y(x)dx=1$。

解析： 特征方程为

$r^2+4r+4=0$，

即

$(r+2{)}^2=0$。

故微分方程的通解为

$y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$。

由 $y(0)=2$，得

$C_1=2$。

求导得

$y^{\prime }=\left[C_2-2(C_1+C_{2}x)\right]e^{-2x}$。

由 $y^{\prime }(0)=-4$，有

$C_2-2C_1=-4$。

代入 $C_1=2$，得 $C_2=0$。因此

$y=2e^{-2x}$。

于是

${\int }_0^{+\infty }y(x)dx={\int }_0^{+\infty }2e^{-2x}dx={\left[-e^{-2x}\right]}_0^{+\infty }=1$。

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2. 【1996-3-3 分】 微分方程 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$ 的通解为 _____。

查看答案与解析

答案： $y=e^{-x}\left(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\right)$。

解析： 特征方程为

$r^2+2r+5=0$。

其根为

$r=-1\pm 2i$。

对于一对共轭复根 $\alpha \pm \beta i$，相应实通解为

$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right)$。

这里 $\alpha =-1$，$\beta =2$，故

$y=e^{-x}\left(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\right)$。

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3. 【2000-2-3 分】 具有特解 $y_1=e^{-x}$，$y_2=2x{e}^{-x}$，$y_3=3e^x$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是（　）

A. $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }-y^{\prime }+y=0$    B. $y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-y^{\prime }-y=0$

C. $y^{\prime \prime \prime }-6y^{\prime \prime }+11y^{\prime }-6y=0$    D. $y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }-y^{\prime }+2y=0$

查看答案与解析

答案： B。

解析： $e^{-x}$ 与 $x{e}^{-x}$ 均为方程的解，说明特征根 $r=-1$ 至少是二重根；$e^x$ 为解，说明 $r=1$ 是特征根。

三阶方程恰有三个特征根（按重数计），故特征多项式为

$(r+1{)}^2(r-1)$。

展开得

$(r+1{)}^2(r-1)=r^3+r^2-r-1$。

因此对应微分方程为

$y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-y^{\prime }-y=0$。

故选 B。

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4. 【2001-1-3 分】 设

$y=e^x(C_1\sin x+C_2\cos x)$

（$C_1,C_2$ 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 _____。

查看答案与解析

答案： $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=0$。

解析： 通解中出现

$e^x\cos x,e^x\sin x$，

说明特征方程的两个根为

$r=1\pm i$。

故特征多项式为

$[r-(1+i)][r-(1-i)]=(r-1{)}^2+1=r^2-2r+2$。

因此所求微分方程为

$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=0$。

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5. 【2008-12-4 分】 在下列微分方程中，以

$y=C_1{e}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$

（$C_1,C_2,C_3$ 为任意常数）为通解的是（　）

A. $y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-4y^{\prime }-4y=0$    B. $y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0$

C. $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=0$    D. $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }+4y^{\prime }-4y=0$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 由通解可知特征根为

$r=1,r=\pm 2i$。

因此特征多项式为

$(r-1)(r^2+4)$。

展开得

$(r-1)(r^2+4)=r^3-r^2+4r-4$。

故对应微分方程为

$y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }+4y^{\prime }-4y=0$。

故选 D。

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6. 【2010-2-4 分】 三阶常系数线性齐次微分方程

$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$

的通解为 $y=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y=C_1{e}^{2x}+C_2\cos x+C_3\sin x$。

解析： 特征方程为

$r^3-2r^2+r-2=0$。

分组因式分解得

$r^2(r-2)+(r-2)=(r-2)(r^2+1)=0$。

因此特征根为

$r=2,r=\pm i$。

故通解为

$y=C_1{e}^{2x}+C_2\cos x+C_3\sin x$。

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7. 【2012-1-4 分】 若函数 $f(x)$ 满足方程

$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$

及

$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2e^x$，

则 $f(x)=$ _____。

查看答案与解析

答案： $f(x)=e^x$。

解析： 先解齐次方程

$f^{\prime \prime }+f^{\prime }-2f=0$。

其特征方程为

$r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0$，

故

$f(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$。

于是

$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2C_1{e}^x+5C_2{e}^{-2x}$。

根据另一个条件

$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2e^x$，

比较 $e^x$ 与 $e^{-2x}$ 的系数，得

$2C_1=2,5C_2=0$。

因此

$C_1=1,C_2=0$，

从而

$f(x)=e^x$。

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8. 【2013-3-4 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }-y^{\prime }+\frac{1}{4}y=0$

的通解为 $y=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y=(C_1+C_{2}x)e^{x/2}$。

解析： 特征方程为

$r^2-r+\frac{1}{4}=0$，

即

${\left(r-\frac{1}{2}\right)}^2=0$。

因此 $r=\frac{1}{2}$ 是二重特征根。

二阶常系数齐次方程在特征根为二重实根 $r_0$ 时，通解为

$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{0}x}$。

故本题通解为

$y=(C_1+C_{2}x)e^{x/2}$。

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9. 【2015-23-4 分】 设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 $3$，则 $y(x)=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y(x)=2e^x+e^{-2x}$。

解析： 特征方程为

$r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0$，

故通解为

$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$。

函数在 $x=0$ 处取得极值 $3$，因此

$y(0)=3,y^{\prime }(0)=0$。

由

$y(0)=C_1+C_2=3$，

以及

$y^{\prime }(x)=C_1{e}^x-2C_2{e}^{-2x}$，

可得

$y^{\prime }(0)=C_1-2C_2=0$。

解方程组

$$\{\begin{array}{l}{C}_1+C_2=3,\\ C_1-2C_2=0,\end{array}$$

得

$C_1=2,C_2=1$。

因此

$y(x)=2e^x+e^{-2x}$。

又

$y^{\prime \prime }(0)=2+4=6>0$，

故 $x=0$ 确为极小值点，且极小值为 $3$。

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10. 【2017-1-4 分】 微分方程 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+3y=0$ 的通解为 $y=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y=e^{-x}\left(C_1\cos \sqrt{2}x+C_2\sin \sqrt{2}x\right)$。

解析： 特征方程为

$r^2+2r+3=0$。

解得

$r=-1\pm \sqrt{2}i$。

对于共轭复根 $\alpha \pm \beta i$，相应的实通解为

$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x\right)$。

本题中 $\alpha =-1$，$\beta =\sqrt{2}$，故

$y=e^{-x}\left(C_1\cos \sqrt{2}x+C_2\sin \sqrt{2}x\right)$。

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11. 【2020-2-4 分】 设 $y=y(x)$ 满足

$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$，

且 $y(0)=0$，$y^{\prime }(0)=1$，则

${\int }_0^{+\infty }y(x)dx=$ _____。

查看答案与解析

答案： $1$。

解析： 特征方程为

$r^2+2r+1=(r+1{)}^2=0$，

故通解为

$y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}$。

由 $y(0)=0$，得

$C_1=0$。

求导得

$y^{\prime }=\left[C_2-(C_1+C_{2}x)\right]e^{-x}$。

由 $y^{\prime }(0)=1$，得

$C_2-C_1=1$，

从而 $C_2=1$。因此

$y=x{e}^{-x}$。

于是

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{+\infty }y(x)dx& ={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx\\ & ={\left[-(x+1)e^{-x}\right]}_0^{+\infty }\\ & =1。\end{array}$$

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12. 【2020-1-4 分】 若函数 $f(x)$ 满足

$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+f(x)=0(a>0)$，

且 $f(0)=m$，$f^{\prime }(0)=n$，则

${\int }_0^{+\infty }f(x)dx=$ _____。

查看答案与解析

答案： $am+n$。

解析： 特征方程为

$r^2+ar+1=0$。

由于 $a>0$，两特征根的实部均为负数：

• 当 $0<a<2$ 时，两根为实部等于 $-\frac{a}{2}$ 的共轭复根；
• 当 $a=2$ 时，根为二重负根 $-1$；
• 当 $a>2$ 时，两根均为负实根。

因此 $f(x)\to 0$、$f^{\prime }(x)\to 0$（$x\to +\infty$），且所给反常积分收敛。

在方程两边从 $0$ 到 $+\infty$ 积分，得

${\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime \prime }(x)dx+a{\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx=0$。

其中

${\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime \prime }(x)dx=f^{\prime }(+\infty )-f^{\prime }(0)=-n$，

${\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(x)dx=f(+\infty )-f(0)=-m$。

所以

$-n-am+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx=0$，

从而

${\int }_0^{+\infty }f(x)dx=am+n$。

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13. 【2022-2-5 分】 微分方程 $y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+5y^{\prime }=0$ 的通解为 $y(x)=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y=C_1+e^x\left(C_2\cos 2x+C_3\sin 2x\right)$。

解析： 特征方程为

$r^3-2r^2+5r=0$。

提取公因式得

$r(r^2-2r+5)=0$，

即

$r\left[(r-1{)}^2+4\right]=0$。

因此特征根为

$r_1=0,r_{2,3}=1\pm 2i$。

根 $r=0$ 对应常数解，复根 $1\pm 2i$ 对应

$e^x\cos 2x,e^x\sin 2x$。

故通解为

$y=C_1+e^x\left(C_2\cos 2x+C_3\sin 2x\right)$。

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14. 【2025-2-5 分】 如果对微分方程

$y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a+2)y=0$

的任一解 $y(x)$，反常积分 ${\int }_0^{+\infty }y(x)dx$ 均收敛，那么 $a$ 的取值范围是（　）。

查看答案与解析

答案： $-2<a<0$。

解析： 特征方程为

$r^2-2ar+(a+2)=0$。

要使任一解在 $+\infty$ 处均能衰减到 $0$，从而其反常积分均收敛，必须且只需两个特征根的实部均小于 $0$。

对二次方程

$r^2+pr+q=0$，

两个根的实部均小于 $0$ 的充要条件为

$p>0,q>0$。

本题中

$p=-2a,q=a+2$，

故应有

$-2a>0,a+2>0$。

即

$a<0,a>-2$。

因此

$-2<a<0$。

当 $a=-2$ 时，特征根中含 $0$，存在常数解，其积分发散；当 $a=0$ 时，特征根为纯虚根，存在不衰减的振荡解，其反常积分也不一定收敛。因此两个端点均不能取。

（三）二阶常系数非齐次微分方程的求解

1. 【1987-3-5 分】 求微分方程

$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=x{e}^x$

的通解。

查看答案与解析

答案： $y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}+\frac{x-1}{4}{e}^x$。

解析： 先求对应齐次方程

$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$。

其特征方程为

$r^2+2r+1=(r+1{)}^2=0$，

故齐次方程的通解为

$y_h=(C_1+C_{2}x)e^{-x}$。

非齐次项为 $x{e}^x$，而 $r=1$ 不是特征根，故设特解为

$y_p=e^x(Ax+B)$。

计算得

$y_p^{\prime }=e^x(Ax+A+B)$，

$y_p^{\prime \prime }=e^x(Ax+2A+B)$。

代入原方程：

$$\begin{array}{rl}{y}_p^{\prime \prime }+2y_p^{\prime }+y_p& =e^x\left[(Ax+2A+B)+2(Ax+A+B)+(Ax+B)\right]\\ & =e^x\left[4Ax+4A+4B\right]。\end{array}$$

与 $x{e}^x$ 比较系数，得

$4A=1,4A+4B=0$，

所以

$A=\frac{1}{4},B=-\frac{1}{4}$。

因此

$y_p=\frac{x-1}{4}{e}^x$。

故原方程通解为

$y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}+\frac{x-1}{4}{e}^x$。

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2. 【1989-3-3 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }-y=e^x+1$

的一个特解应具有的形式（式中 $a,b$ 为常数）是（　）。

A. $a{e}^x+b$    B. $ax{e}^x+b$    C. $a{e}^x+bx$    D. $ax{e}^x+bx$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 对应齐次方程的特征方程为

$r^2-1=(r-1)(r+1)=0$，

故 $r=1$ 是特征根。

非齐次项由 $e^x$ 与常数 $1$ 两部分组成：

• 对于 $e^x$，由于其指数 $1$ 是特征方程的单根，试探特解应在通常形式 $a{e}^x$ 前乘以 $x$，即取 $ax{e}^x$；
• 对于常数 $1=e^{0x}$，由于 $r=0$ 不是特征根，可取常数特解 $b$。

因此一个特解应设为

$y_p=ax{e}^x+b$，

故选 B。

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3. 【1990-12-5 分】 求微分方程

$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=e^{-2x}$

的通解（一般解）。

查看答案与解析

答案： $y=\left(C_1+C_{2}x+\frac{x^2}{2}\right)e^{-2x}$。

解析： 对应齐次方程的特征方程为

$r^2+4r+4=(r+2{)}^2=0$。

故齐次方程通解为

$y_h=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$。

非齐次项为 $e^{-2x}$，而 $r=-2$ 是特征方程的二重根，因此设特解为

$y_p=A{x}^2{e}^{-2x}$。

利用算子平移，因

$D^2+4D+4=(D+2{)}^2$，

有

$(D+2{)}^2\left(e^{-2x}v(x)\right)=e^{-2x}{v}^{\prime \prime }(x)$。

令 $v(x)=A{x}^2$，则 $v^{\prime \prime }(x)=2A$，故

$y_p^{\prime \prime }+4y_p^{\prime }+4y_p=2A{e}^{-2x}$。

与右端 $e^{-2x}$ 比较，得

$2A=1$，

所以

$A=\frac{1}{2}$。

因此

$y_p=\frac{x^2}{2}{e}^{-2x}$。

故原方程通解为

$y=\left(C_1+C_{2}x+\frac{x^2}{2}\right)e^{-2x}$。

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4. 【1995-3-3 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }+y=-2x$

的通解为 _____。

查看答案与解析

答案： $y=C_1\cos x+C_2\sin x-2x$。

解析： 对应齐次方程为

$y^{\prime \prime }+y=0$，

其特征方程为

$r^2+1=0$，

故齐次方程通解为

$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$。

对非齐次项 $-2x$，设多项式特解为

$y_p=Ax+B$。

则 $y_p^{\prime \prime }=0$，代入原方程得

$Ax+B=-2x$。

比较系数可得

$A=-2,B=0$。

所以

$y_p=-2x$。

故通解为

$y=C_1\cos x+C_2\sin x-2x$。

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5. 【1996-3-5 分】 求微分方程

$y^{\prime \prime }+y^{\prime }=x^2$

的通解。

查看答案与解析

答案： $y=C_1+C_2{e}^{-x}+\frac{x^3}{3}-x^2+2x$。

解析： 对应齐次方程为

$y^{\prime \prime }+y^{\prime }=0$，

其特征方程为

$r^2+r=r(r+1)=0$，

故齐次方程的通解为

$y_h=C_1+C_2{e}^{-x}$。

对非齐次项 $x^2$，设多项式特解为

$y_p=A{x}^3+B{x}^2+Cx$。

则

$y_p^{\prime }=3A{x}^2+2Bx+C$，

$y_p^{\prime \prime }=6Ax+2B$。

代入原方程，得

$3A{x}^2+(6A+2B)x+(2B+C)=x^2$。

比较系数：

$3A=1,6A+2B=0,2B+C=0$。

解得

$A=\frac{1}{3},B=-1,C=2$。

因此

$y_p=\frac{x^3}{3}-x^2+2x$，

从而原方程的通解为

$y=C_1+C_2{e}^{-x}+\frac{x^3}{3}-x^2+2x$。

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6. 【1996-12-3 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=e^x$

的通解为 _____。

查看答案与解析

答案： $y=e^x\left(C_1\cos x+C_2\sin x+1\right)$。

解析： 对应齐次方程的特征方程为

$r^2-2r+2=0$。

其根为

$r=1\pm i$，

故齐次方程的通解为

$y_h=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)$。

非齐次项为 $e^x$。由于 $r=1$ 不是特征根，可设特解为

$y_p=A{e}^x$。

代入原方程得

$(1-2+2)A{e}^x=e^x$，

所以

$A=1$。

因此原方程的通解为

$y=e^x\left(C_1\cos x+C_2\sin x+1\right)$。

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7. 【1999-12-3 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }-4y=e^{2x}$

的通解为 _____。

查看答案与解析

答案： $y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}+\frac{x}{4}{e}^{2x}$。

解析： 对应齐次方程的特征方程为

$r^2-4=(r-2)(r+2)=0$，

故

$y_h=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}$。

右端为 $e^{2x}$，而 $r=2$ 是特征方程的单根，因此特解应设为

$y_p=Ax{e}^{2x}$。

计算得

$y_p^{\prime }=A{e}^{2x}(1+2x)$，

$y_p^{\prime \prime }=A{e}^{2x}(4+4x)$。

代入原方程：

$y_p^{\prime \prime }-4y_p=4A{e}^{2x}$。

与右端 $e^{2x}$ 比较，得

$4A=1$，

所以

$A=\frac{1}{4}$。

故通解为

$y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}+\frac{x}{4}{e}^{2x}$。

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8. 【2004-2-4 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }+y=x^2+1+\sin x$

的特解形式可设为（　）。

A. $y^{\ast }=a{x}^2+bx+c+x(A\sin x+B\cos x)$    B. $y^{\ast }=x\left(a{x}^2+bx+c+A\sin x+B\cos x\right)$

C. $y^{\ast }=a{x}^2+bx+c+A\sin x$    D. $y^{\ast }=a{x}^2+bx+c+A\cos x$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 对应齐次方程为

$y^{\prime \prime }+y=0$，

特征方程为

$r^2+1=0$，

其根为 $r=\pm i$。

右端由两部分组成：

• 对于多项式 $x^2+1$，因 $r=0$ 不是特征根，应设特解为一般二次多项式

$a{x}^2+bx+c$；

• 对于 $\sin x$，由于 $\pm i$ 是特征根，通常形式 $A\sin x+B\cos x$ 与齐次解重复，必须乘以 $x$，即设为

$x(A\sin x+B\cos x)$。

所以总特解形式应取

$y^{\ast }=a{x}^2+bx+c+x(A\sin x+B\cos x)$。

故选 A。B 对整个多项式部分也乘了 $x$，不符合待定系数法；C、D 均未处理三角项与齐次解的共振。

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9. 【2006-2-4 分】 函数

$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}+x{e}^x$

满足的一个微分方程是（　）。

A. $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=3x{e}^x$    B. $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=3e^x$    C. $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=3x{e}^x$    D. $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=3e^x$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 由齐次解部分

$C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$

可知特征根为

$r_1=1,r_2=-2$。

因此特征方程为

$(r-1)(r+2)=r^2+r-2=0$，

对应微分算子为

$L[y]=y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y$。

再对特解 $y_p=x{e}^x$ 计算：

$y_p^{\prime }=(x+1)e^x$，

$y_p^{\prime \prime }=(x+2)e^x$。

故

$$\begin{array}{rl}L[y_p]& =(x+2)e^x+(x+1)e^x-2x{e}^x\\ & =3e^x。\end{array}$$

所以所满足的方程为

$y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=3e^x$，

故选 D。

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10. 【2007-12-4 分】 二阶常系数非齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=2e^{2x}$

的通解为 $y=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}-2e^{2x}$。

解析： 对应齐次方程的特征方程为

$r^2-4r+3=(r-1)(r-3)=0$，

故齐次方程的通解为

$y_h=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}$。

由于 $r=2$ 不是特征根，设特解为

$y_p=A{e}^{2x}$。

代入原方程：

$(4-8+3)A{e}^{2x}=2e^{2x}$，

即

$-A=2$，

所以

$A=-2$。

因此通解为

$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}-2e^{2x}$。

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11. 【2009-1-4 分】 若二阶常系数线性齐次微分方程

$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$

的通解为

$y=(C_1+C_{2}x)e^x$，

则非齐次方程

$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=x$

满足条件 $y(0)=2$，$y^{\prime }(0)=0$ 的解为 $y=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y=2+x-x{e}^x$。

解析： 齐次方程通解为

$y_h=(C_1+C_{2}x)e^x$，

说明特征方程有二重根 $r=1$，故

$(r-1{)}^2=r^2-2r+1$。

因此

$a=-2,b=1$，

非齐次方程为

$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=x$。

设多项式特解为

$y_p=Ax+B$。

代入得

$Ax+B-2A=x$，

比较系数，得

$A=1,B=2$。

所以

$y=(C_1+C_{2}x)e^x+x+2$。

由 $y(0)=2$，得

$C_1=0$。

又

$y^{\prime }=C_2(1+x)e^x+1$，

由 $y^{\prime }(0)=0$，得

$C_2=-1$。

故所求解为

$y=2+x-x{e}^x$。

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12. 【2011-2-4 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }-{\lambda }^{2}y=e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}(\lambda >0)$

的特解形式为（　）。

A. $a\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$    B. $ax\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$

C. $x\left(a{e}^{\lambda x}+b{e}^{-\lambda x}\right)$    D. $x^2\left(a{e}^{\lambda x}+b{e}^{-\lambda x}\right)$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 对应齐次方程的特征方程为

$r^2-{\lambda }^2=(r-\lambda )(r+\lambda )=0$。

因此 $r=\lambda$ 与 $r=-\lambda$ 都是单特征根。

右端中的 $e^{\lambda x}$ 和 $e^{-\lambda x}$ 分别与这两个齐次解重复，所以各自的试探形式都应乘以 $x$：

$y_p=ax{e}^{\lambda x}+bx{e}^{-\lambda x}$。

即

$y_p=x\left(a{e}^{\lambda x}+b{e}^{-\lambda x}\right)$。

故选 C。A 未处理共振；B 强制两个指数项使用同一系数，不能保证满足方程；D 多乘了一个 $x$。

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13. 【2015-1-4 分】 设

$y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+\left(x-\frac{1}{3}\right)e^x$

是二阶常系数非齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x$

的一个特解，则（　）。

A. $a=-3,b=2,c=-1$    B. $a=3,b=2,c=-1$    C. $a=-3,b=2,c=1$    D. $a=3,b=2,c=1$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 记特征多项式为

$P(r)=r^2+ar+b$。

所给特解中含有 $\frac{1}{2}{e}^{2x}$，而方程右端只有 $e^x$，因此 $e^{2x}$ 代入左端后必须为零，即

$P(2)=4+2a+b=0$。

又所给特解中含有 $x{e}^x$，说明 $e^x$ 与齐次解发生共振，故 $r=1$ 必为特征根，即

$P(1)=1+a+b=0$。

联立得

$a=-3,b=2$。

此时算子为

$P(D)=D^2-3D+2$。

对

$y_1=\left(x-\frac{1}{3}\right)e^x$

利用平移公式：

$P(D)(e^{x}v(x))=e^{x}P(D+1)v(x)$。

因

$P(D+1)=D(D-1)$，

而 $v(x)=x-\frac{1}{3}$，故

$P(D+1)v=v^{\prime \prime }-v^{\prime }=-1$。

所以

$P(D)y_1=-e^x$，

即

$c=-1$。

故选 A。

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14. 【2017-2-4 分】 微分方程

$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y=e^{2x}(1+\cos 2x)$

的特解可设为 $y^{\ast }=$（　）。

A. $A{e}^{2x}+e^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$    B. $Ax{e}^{2x}+e^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$

C. $A{e}^{2x}+x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$    D. $Ax{e}^{2x}+x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 对应齐次方程的特征方程为

$r^2-4r+8=0$，

其根为

$r=2\pm 2i$。

右端分为两部分：

$e^{2x}$ 与 $e^{2x}\cos 2x$。

对于 $e^{2x}$，指数 $r=2$ 不是特征根，因此可设相应特解为

$A{e}^{2x}$。

对于 $e^{2x}\cos 2x$，其复指数对应 $2\pm 2i$，恰为特征根，且为单根，因此通常形式

$e^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$

必须乘以 $x$。

故特解应设为

$y^{\ast }=A{e}^{2x}+x{e}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$。

所以选 C。A 未处理三角项共振；B 错误地给非共振的 $e^{2x}$ 项乘以 $x$；D 两部分都乘以 $x$，也不正确。

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15. 【2023-23-5 分】 已知微分方程

$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$

的解在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界，则 $a,b$ 的取值范围为（　）。

A. $a<0,b>0$    B. $a>0,b>0$    C. $a=0,b>0$    D. $a=0,b<0$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 特征方程为

$r^2+ar+b=0$。

要使该方程的任意解在整个实轴 $(-\infty ,+\infty )$ 上都有界，特征根不能具有非零实部：

• 若特征根实部为正，则相应指数项在 $x\to +\infty$ 时发散；
• 若特征根实部为负，则相应指数项在 $x\to -\infty$ 时发散；
• 若存在零特征根的重根，还会出现 $x$ 型无界项。

因此特征根只能是一对非零纯虚根

$r=\pm i\omega (\omega >0)$。

于是

$a=0,b={\omega }^2>0$。

此时方程为

$y^{\prime \prime }+by=0$，

其通解为

$y=C_1\cos \sqrt{b}x+C_2\sin \sqrt{b}x$，

在整个实轴上有界，故选 C。

A、B 中 $a\ne 0$，特征根实部为 $-\frac{a}{2}\ne 0$，解必在某一方向无界；D 中 $b<0$，特征根为一正一负两个实根，也会出现指数发散项。

（四）欧拉方程的求解

1. 【2004-1-4 分】 欧拉方程

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4x\frac{dy}{dx}+2y=0(x>0)$

的通解为 _____。

查看答案与解析

答案： $y=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2}$。

解析： 这是二阶齐次欧拉方程。设

$y=x^m$，

则

$y^{\prime }=m{x}^{m-1},y^{\prime \prime }=m(m-1)x^{m-2}$。

代入原方程，得

$[m(m-1)+4m+2]x^m=0$。

由于 $x>0$，故指标方程为

$m(m-1)+4m+2=0$，

即

$m^2+3m+2=0$，

$(m+1)(m+2)=0$。

因此

$m_1=-1,m_2=-2$。

两个指标根互异，故通解为

$y=C_1{x}^{-1}+C_2{x}^{-2}=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2}$。

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2. 【2021-1-5 分】 欧拉方程

$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-4y=0$

满足条件 $y(1)=1$，$y^{\prime }(1)=2$ 的解为 $y=$ _____。

查看答案与解析

答案： $y=x^2$。

解析： 设

$y=x^m$，

代入方程得指标方程

$m(m-1)+m-4=0$，

即

$m^2-4=0$。

所以

$m_1=2,m_2=-2$。

方程的通解为

$y=C_1{x}^2+C_2{x}^{-2}$。

求导得

$y^{\prime }=2C_{1}x-2C_2{x}^{-3}$。

由初始条件

$y(1)=C_1+C_2=1$，

$y^{\prime }(1)=2C_1-2C_2=2$，

即

$C_1+C_2=1,C_1-C_2=1$。

解得

$C_1=1,C_2=0$。

故所求解为

$y=x^2$。