四、第二类曲线积分的计算(三维)

小题

（一）直接计算

1. 【1997-1-5 分】$\displaystyle C:\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\x-y+z=2\end{cases}$，从$\displaystyle z$轴正向看顺时针，计算 $\oint_{C}(z-y)\mathrm{d}x+(x-z)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z$

（二）斯托克斯公式

1. 【2011-1-4 分】$\displaystyle L$为$\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$与$\displaystyle z=x+y$交线，$\displaystyle z$轴正向看逆时针，则 $\oint_{L}xz \mathrm{d}x+x \mathrm{d}y+\dfrac{y^{2}}{2}\mathrm{d}z=$

2. 【2014-1-4 分】$\displaystyle L$是$\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,y+z=0$交线，$\displaystyle z$轴正向看逆时针，则$\displaystyle \oint_{L}z \mathrm{d}x+y \mathrm{d}z=$

大题

（一）直接计算

1. **【1992-12-8 分】**在变力 $\displaystyle \vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$ 作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 第一象限点$\displaystyle M(\xi,\eta,\zeta)$，问$\displaystyle \xi,\eta,\zeta$取何值时做功$\displaystyle W$最大，并求$\displaystyle W_{\max}$。

2. 【2015-1-10 分】$\displaystyle L:\begin{cases}z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}\\z=x\end{cases}$，起点$\displaystyle A(0,\sqrt{2},0)$，终点$\displaystyle B(0,-\sqrt{2},0)$，计算 $I=\int_{L}(y+z)\mathrm{d}x+(z^{2}-x^{2}+y)\mathrm{d}y+x^{2}y^{2}\mathrm{d}z$

（二）斯托克斯公式

1. 【2001-1-7 分】$\displaystyle L$是$\displaystyle x+y+z=2$与$\displaystyle |x|+|y|=1$交线，从$\displaystyle z$轴正向逆时针，计算 $I=\oint_{L}(y^{2}-z^{2})\mathrm{d}x+(2z^{2}-x^{2})\mathrm{d}y+(3x^{2}-y^{2})\mathrm{d}z$

2. 【2022-1-12 分】$\displaystyle \Sigma:4x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,x\ge0,y\ge0,z\ge0$上侧，$\displaystyle L$是$\displaystyle \Sigma$边界、符合右手定向，求 $I=\oint_{L}(yz^{2}-\cos z)\mathrm{d}x+2xz^{2}\mathrm{d}y+(2xyz+x\sin z)\mathrm{d}z$

3. 【2024-1-12 分】$\displaystyle L$是球面$\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2x$与$\displaystyle 2x-z-1=0$交线，$\displaystyle z$轴正向看逆时针，计算 $I=\int_{L}(6xyz-yz^{2})\mathrm{d}x+2x^{2}z \mathrm{d}y+xyz \mathrm{d}z$