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三、第二类曲面积分的计算

小题​

（一）化为二重积分​

  1. **【2019-1-4 分】**设 Σ:x2+y2+4z2=4(z≥0)\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=4(z \ge 0) 的上侧，则 ∬Σ4−x2−4z2dxdy=\iint_{\Sigma} \sqrt{4-x^{2}-4 z^{2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y=

  2. **【2024-1-5 分】**设 P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z)\displaystyle P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z) 均为连续函数，Σ\displaystyle \Sigma 为曲面 z=1−x2−y2(x≤0,y≥0)\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}(x \le 0,y \ge 0) 的上侧，则 ∬ΣPdydz+Qdzdx=()\iint_{\Sigma} P \mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q \mathrm{d}z\mathrm{d}x=(\quad) A. ∬Σ(−xzP+yzQ)dxdy\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(-\dfrac{x}{z}P+\dfrac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y B. ∬Σ(−xzP−yzQ)dxdy\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(-\dfrac{x}{z}P-\dfrac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y C. ∬Σ(xzP−yzQ)dxdy\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(\dfrac{x}{z}P-\dfrac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y D. ∬Σ(xzP+yzQ)dxdy\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(\dfrac{x}{z}P+\dfrac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

（二）运用高斯公式：直接运用​

∯∂ΩF⋅n dS=∭Ωdiv⁡F dv.\mathop{∯}_{\partial\Omega} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = \iiint_{\Omega} \operatorname{div}\mathbf{F}\,\mathrm{d}v.

  1. 【1988-12-5 分】S\displaystyle S 为 x2+y2+z2=1\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 外侧，计算 I=∯Sx3dydz+y3dzdx+z3dxdyI=\mathop{∯}_{S} x^{3} \mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^{3} \mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^{3} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

  2. 【2005-1-4 分】Ω\displaystyle \Omega 由锥面 z=x2+y2\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} 与半球面 z=R2−x2−y2\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} 围成，Σ\displaystyle \Sigma 是Ω\displaystyle \Omega整个边界外侧，则 ∬Σxdydz+ydzdx+zdxdy=\iint_{\Sigma} x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+y \mathrm{d}z\mathrm{d}x+z \mathrm{d}x\mathrm{d}y=

  3. 【2021-1-5 分】Σ\displaystyle \Sigma 为 {(x,y,z)∣x2+4y2≤4, 0≤z≤2}\displaystyle \{(x,y,z)\mid x^{2}+4y^{2}\le4,\ 0\le z\le2\} 表面外侧，则 ∬Σx2dydz+y2dzdx+zdxdy=\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^{2} \mathrm{d}z\mathrm{d}x+z \mathrm{d}x\mathrm{d}y=

（三）运用高斯公式：补面​

  1. 【2006-1-4 分】Σ\displaystyle \Sigma是锥面z=x2+y2(0≤z≤1)\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}(0\le z\le1)下侧，则 ∬Σxdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=\iint_{\Sigma}x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+2y \mathrm{d}z\mathrm{d}x+3(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=

  2. 【2008-1-4 分】Σ:z=4−x2−y2\displaystyle \Sigma:z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}上侧，则 ∬Σxydydz+xdzdx+x2dxdy=\iint_{\Sigma}xy \mathrm{d}y\mathrm{d}z+x \mathrm{d}z\mathrm{d}x+x^{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=

大题​

（一）化为二重积分​

  1. 【1994-12-6 分】S\displaystyle S 是由曲面 x2+y2=R2\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2} 及两平面 z=R,z=−R(R>0)\displaystyle z=R,z=-R(R>0) 所围成立体表面的外侧，计算 ∯Sxdydz+z2dxdyx2+y2+z2\mathop{∯}_{S} \dfrac{x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+z^{2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

  2. 【2020-1-10 分设 Σ\displaystyle \Sigma 为曲面 z=x2+y2 (1≤x2+y2≤4)\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ (1 \le x^{2}+y^{2} \le 4) 下侧，f(x)\displaystyle f(x) 为连续函数，计算 I=∬Σ[xf(xy)+2x−y]dydz+[yf(xy)+2y+x]dzdx+[zf(xy)+z]dxdyI=\iint_{\Sigma}[x f(x y)+2 x-y]\mathrm{d}y\mathrm{d}z+[y f(x y)+2 y+x]\mathrm{d}z\mathrm{d}x+[z f(x y)+z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y

（二）运用高斯公式：直接运用​

  1. 【1989-3-6 分】Ω\displaystyle \Omega 由 z=a2−x2−y2\displaystyle z=a^{2}-x^{2}-y^{2} 与 z=0\displaystyle z=0 围成，S\displaystyle S 为 Ω\displaystyle \Omega 外侧，V\displaystyle V 为Ω\displaystyle \Omega体积，求证相关积分等式。

  2. 【1993-12-6 分】Σ\displaystyle \Sigma 是由 z=x2+y2\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} 与 z=2−x2−y2\displaystyle z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}} 所围立体的表面外侧，计算 ∯Σ2xzdydz+yzdzdx−z2dxdy\mathop{∯}_{\Sigma} 2 x z \mathrm{d}y\mathrm{d}z+y z \mathrm{d}z\mathrm{d}x-z^{2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

  3. **【2000-1-7 分】**对于半空间 x>0\displaystyle x>0 内任意光滑有向封闭曲面 S\displaystyle S，都有 ∯Sxf(x)dydz−xyf(x)dzdx−e2xzdxdy=0\mathop{∯}_{S} x f(x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-x y f(x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-e^{2x} z \mathrm{d}x\mathrm{d}y=0 f(x)\displaystyle f(x) 在(0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) 一阶可导，lim⁡x→0+f(x)=1\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=1，求f(x)\displaystyle f(x)。

  4. 【2016-1-10 分】Ω\displaystyle \Omega 由 2x+y+2z=2\displaystyle 2x+y+2z=2 与三个坐标平面围成，Σ\displaystyle \Sigma 为Ω\displaystyle \Omega全表面外侧，计算 I=∬Σ(x2+1)dydz−2ydzdx+3zdxdyI=\iint_{\Sigma}(x^{2}+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-2 y \mathrm{d}z\mathrm{d}x+3 z \mathrm{d}x\mathrm{d}y

  5. 【2023-1-12 分】Ω\displaystyle \Omega 由柱面x2+y2=1\displaystyle x^{2}+y^{2}=1与z=0,x+z=1\displaystyle z=0,x+z=1围成，Σ\displaystyle \Sigma为Ω\displaystyle \Omega边界外侧，计算 I=∬Σ2xzdydz+xzcos⁡ydzdx+3yzsin⁡xdxdyI=\iint_{\Sigma}2xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+xz\cos y \mathrm{d}z\mathrm{d}x+3yz\sin x \mathrm{d}x\mathrm{d}y

（三）运用高斯公式：补面​

  1. 【1987-12-10 分】S\displaystyle S 为 {z=y−1x=0(1≤y≤3)\displaystyle \begin{cases}z=\sqrt{y-1}\\x=0\end{cases}(1\le y\le3) 绕y\displaystyle y轴旋转曲面，法向量与y\displaystyle y轴正向夹角>π2\displaystyle >\dfrac{\pi}{2}，计算 I=∬Sx(8y+1)dydz+2(1−y2)dzdx−4yzdxdyI=\iint_{S}x(8y+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2(1-y^{2})\mathrm{d}z\mathrm{d}x-4yz\mathrm{d}x\mathrm{d}y

  2. 【1990-12-8 分】S\displaystyle S 是球面x2+y2+z2=4\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4外侧z≥0\displaystyle z\ge0部分，求 ∬Syzdzdx+2dxdy\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{d}z\mathrm{d}x+2\mathrm{d}x\mathrm{d}y。

  3. 【1991-2-6 分】S\displaystyle S是圆柱面x2+y2=4\displaystyle x^{2}+y^{2}=4被x+z=2,z=0\displaystyle x+z=2,z=0截出部分外侧，计算 ∬S−ydzdx+(z+1)dxdy\iint_{S}-y \mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

  4. 【1992-12-8 分】Σ\displaystyle \Sigma为上半球面z=a2−x2−y2\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}上侧，计算 ∬Σ(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy\iint_{\Sigma}(x^{3}+a z^{2})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^{3}+a x^{2})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z^{3}+a y^{2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y

  5. 【1996-12-6 分】S:z=x2+y2(0≤z≤1)\displaystyle S:z=x^{2}+y^{2}(0\le z\le1)，法向量与z\displaystyle z轴正向夹角为锐角，计算 ∬S(2x+z)dydz+zdxdy\iint_{S}(2x+z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z \mathrm{d}x\mathrm{d}y

  6. 【1998-1-7 分】Σ\displaystyle \Sigma为下半球面z=−a2−x2−y2\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}上侧，a>0\displaystyle a>0，计算 ∬Σaxdydz+(z+a)2dxdy(x2+y2+z2)12\iint_{\Sigma}\dfrac{a x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z+a)^{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\dfrac12}}

  7. 【2004-1-12 分】Σ:z=1−x2−y2(z≥0)\displaystyle \Sigma:z=1-x^{2}-y^{2}(z\ge0)上侧，计算 I=∬Σ2x3dydz+2y3dzdx+3(z2−1)dxdyI=\iint_{\Sigma}2x^{3}\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2y^{3}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3(z^{2}-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

  8. 【2007-1-10 分】Σ:z=1−x2−y24(0≤z≤1)\displaystyle \Sigma:z=1-x^{2}-\dfrac{y^{2}}{4}(0\le z\le1)上侧，计算 I=∬Σxzdydz+2yzdzdx+3xydxdyI=\iint_{\Sigma}xz \mathrm{d}y\mathrm{d}z+2yz \mathrm{d}z\mathrm{d}x+3xy \mathrm{d}x\mathrm{d}y

  9. 【2014-1-10 分】Σ:z=x2+y2(z≤1)\displaystyle \Sigma:z=x^{2}+y^{2}(z\le1)上侧，计算 ∬Σ(x−1)3dydz+(y−1)3dzdx+(z−1)dxdy\iint_{\Sigma}(x-1)^{3}\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y-1)^{3}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

  10. 【2018-1-10 分】Σ:x=1−3y2−3z2\displaystyle \Sigma:x=\sqrt{1-3y^{2}-3z^{2}}前侧，计算 I=∬Σxdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdyI=\iint_{\Sigma}x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^{3}+2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^{3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y

  11. 【2025-1-12 分】Σ\displaystyle \Sigma是直线{x=ty=tz=t\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=t\\z=t\end{cases}绕x+y+z=0\displaystyle x+y+z=0旋转而成曲面，Σ1\displaystyle \Sigma_1是Σ\displaystyle \Sigma介于x+y+z=0\displaystyle x+y+z=0与x+y+z=1\displaystyle x+y+z=1之间部分外侧，计算 ∬Σ1xdydz+(y+1)dzdx+(z+2)dxdy\iint_{\Sigma_1}x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y+1)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y

（四）运用高斯公式：挖球​

  1. 【2009-1-10 分】Σ\displaystyle \Sigma是2x2+2y2+z2=4\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+z^{2}=4外侧，计算 I=∯Σxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)32I=\mathop{∯}_{\Sigma}\dfrac{x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+y \mathrm{d}z\mathrm{d}x+z \mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\dfrac32}}