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三、幂级数展开

（一）直接用公式​

  1. 【1987-4-6 分】 将函数 f(x)=1x2−3x+2\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2} 展成 xx 的级数，并指出收敛区间.

  2. 【1995-4-6 分】 将函数 y=ln⁡(1−x−2x2)\displaystyle y=\ln (1-x-2 x^{2}) 展成 xx 的幂级数，并指出其收敛区间.

  3. 【2006-1-12 分】 将函数 f(x)=x2+x−x2\displaystyle f(x)=\frac{x}{2+x-x^{2}} 展开成 xx 的幂级数.

  4. 【2007-3-10 分】 将函数 f(x)=1x2−3x−4\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x-4} 展开成 x−1x-1 的幂级数，并指出其收敛区间.

  5. 【2018-3-10 分】 已知 cos⁡2x−1(1+x)2=∑n=0∞anxn(−1<x<1)\displaystyle \cos 2 x-\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}(-1<x<1)，求 ana_{n}.

（二）利用求导展开​

  1. 【1989-12-6 分】 将函数 f(x)=arctan⁡1+x1−x\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x} 展开为 xx 的幂级数.

  2. 【1994-12-5 分】 将函数 f(x)=14ln⁡1+x1−x+12arctan⁡x−x\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} \ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2} \arctan x - x 展开成 xx 的幂级数.

  3. 【2001-1-8 分】 设 f(x)={1+x2xarctan⁡x,x≠01,x=0\displaystyle f(x)= \begin{cases}\frac{1+x^{2}}{x} \arctan x, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{cases}，试将 f(x)f(x) 展开成 xx 的幂级数，并求级数 ∑n=1∞(−1)n1−4n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{1-4 n^{2}} 的和.

  4. 【2003-1-12 分】 将函数 f(x)=arctan⁡1−2x1+2x\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x} 展开成 xx 的幂级数，并求级数 ∑n=0∞(−1)n2n+1\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} 的和.