二、幂级数求和

（一）系数为有理函数

54. 【1987-12-10 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} x^{n+1}$ 的收敛域，并求其和函数.

55. 【1990-12-6 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ 的收敛域，并求其和函数.

56. 【1993-4-3 分】 级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^{n}}{2^{n}}$ 的和为_____.

57. 【1993-12-6 分】 求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n^{2}-n+1)}{2^{n}}$ 的和.

58. 【1996-12-7 分】 求级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n^{2}-1) 2^{n}}$ 的和.

59. 【1997-3-6 分】 从点 $P_{1}(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线 $y=x^{2}$ 于点 $Q_{1}(1,1)$，再从 $Q_{1}$ 作这条抛物线的切线与 $X$ 轴交于 $P_{2}$，然后又从 $P_{2}$ 作 $X$ 轴的垂线，交抛物线于点 $Q_{2}$，依次重复上述过程得到一系列的点 $P_{1}, Q_{1}; P_{2}, Q_{2}; \cdots; P_{n}, Q_{n}; \cdots$，其中 $n(n \geq 1)$ 为自然数，而 $\overline{M_{1} M_{2}}$ 表示 $M_{1}$ 与 $M_{2}$ 之间的距离. (1) 求 $\overline{O P_{n}}$； (2) 求级数 $\overline{Q_{1} P_{1}}+\overline{Q_{2} P_{2}}+\cdots+\overline{Q_{n} P_{n}}+\cdots$ 的和.

60. 【1999-3-3 分】 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=$_____.

61. 【2000-134-6 分】 设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x ~d x, n=0,1,2, \cdots$，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}$.

62. 【2003-3-9 分】 求幂级数 $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}(|x|<1)$ 的和函数 $f(x)$ 及其极值.

63. 【2005-1-12 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right) x^{2 n}$ 的收敛区间与和函数 $f(x)$.

64. 【2005-3-9 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n+1}-1\right) x^{2 n}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)$.

65. 【2006-3-10 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$.

66. 【2009-1-9 分】 设 $a_{n}$ 为曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围成区域的面积，记 $\displaystyle S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$，求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值.

67. 【2010-1-10 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.

68. 【2012-1-10 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.

69. 【2014-3-10 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^{n}$ 的收敛域及和函数.

70. 【2016-3-10 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数.

71. 【2017-1-4 分】 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)=$_____.

72. 【2021-3-12 分】 设 $n$ 为正整数，$y=y_{n}(x)$ 是微分方程 $x y'-(n+1) y=0$ 满足条件 $\displaystyle y_{n}(1)=\frac{1}{n(n+1)}$ 的解. (1) 求 $y_{n}(x)$； (2) 求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} y_{n}(x)$ 的和函数.

73. 【2021-1-12 分】 求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-n x}+\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}\right)$ 的收敛域及和函数.

74. 【2022-3-12 分】 求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^{n}+1}{4^{n}(2 n+1)} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$.

（二）系数含阶乘

75. 【2002-13-7 分】 (1) 验证函数 $\displaystyle y(x)=1+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{6}}{6 !}+\frac{x^{9}}{9 !}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n) !}+\cdots(-\infty<x<+\infty)$ 满足微分方程 $\displaystyle y''+y'+y=e^{x}$； (2) 利用(1) 的结果求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n) !}$ 的和函数.

76. 【2004-3-11 分】 设级数 $\displaystyle \frac{x^{4}}{2 \cdot 4}+\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{x^{8}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots(-\infty<x<+\infty)$ 的和函数为 $S(x)$，求： (1) $S(x)$ 所满足的一阶微分方程； (2) $S(x)$ 的表达式.

77. 【2018-1-4 分】 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+3}{(2 n+1) !}=$（ ） A. $\sin 1 + \cos 1$ B. $2\sin 1 + \cos 1$ C. $2\sin 1 + 2\cos 1$ D. $2\sin 1 + 3\cos 1$

78. 【2019-1-4 分】 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{n}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的和函数 $S(x)=$_____.

79. 【2023-3-5 分】 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}=$_____.

80. 【2020-1-10 分】 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_{n}$，证明：当 $|x|<1$ 时，幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收敛并求其和函数.

81. 【2024-13-5 分】 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数为 $\ln (2+x)$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$（ ） A. $\displaystyle -\frac{1}{6}$ B. $\displaystyle -\frac{1}{3}$ C. $\displaystyle \frac{1}{6}$ D. $\displaystyle \frac{1}{3}$

（三）抽象型

82. 【2001-3-7 分】 已知 $f_{n}(x)$ 满足 $\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n}(x)+x^{n-1} e^{x}$，$n$ 为正整数，且 $\displaystyle f_{n}(1)=\frac{e}{n}$，求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 之和.

83. 【2007-1-10 分】 设幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛，其和函数 $y(x)$ 满足 $\displaystyle y''-2 x y'-4 y=0,\ y(0)=0,\ y'(0)=1.$ (1) 证明 $\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{n+1} a_{n},\ n=1,2, \cdots$； (2) 求 $y(x)$ 的表达式.

84. 【2013-1-10 分】 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足条件：$a_{0}=3$，$a_{1}=1$，$\displaystyle a_{n-2}-n(n-1) a_{n}=0(n \geq 2)$，$S(x)$ 是幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数. (1) 证明：$\displaystyle S''(x)-S(x)=0$； (2) 求 $S(x)$ 的表达式.

85. 【2017-3-10 分】 设 $a_{0}=1$，$a_{1}=0$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(n a_{n}+a_{n-1}\right)(n=1,2,\cdots)$，$S(x)$ 为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数. (1) 证明幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径不小于1； (2) 证明 $\displaystyle (1-x) S'(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$，并求 $S(x)$ 的表达式.