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二、对敛散性的运用

  1. 【1987-4-2 分】 判断正误：若级数 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 与 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} 均发散，则 ∑n=1∞(an+bn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n}) 必发散.

  2. 【2000-1-3 分】 设级数 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛，则必收敛的级数为（ ） A. ∑n=1∞(−1)nunn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{u_{n}}{n} B. ∑n=1∞un2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2} C. ∑n=1∞(u2n−1−u2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{2 n-1}-u_{2 n}\right) D. ∑n=1∞(un+un+1)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+u_{n+1}\right)

  3. 【2003-3-4 分】 设 pn=an+∣an∣2\displaystyle p_{n}=\frac{a_{n}+|a_{n}|}{2}，qn=an−∣an∣2\displaystyle q_{n}=\frac{a_{n}-|a_{n}|}{2}，n=1,2,⋯\displaystyle n=1,2, \cdots，则下列命题正确的是（ ）. A. 若 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 条件收敛，则 ∑n=1∞pn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} p_{n} 与 ∑n=1∞qn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q_{n} 都收敛 B. 若 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 绝对收敛，则 ∑n=1∞pn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} p_{n} 与 ∑n=1∞qn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q_{n} 都收敛 C. 若 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 条件收敛，则 ∑n=1∞pn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} p_{n} 与 ∑n=1∞qn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q_{n} 的敛散性都不定 D. 若 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 绝对收敛，则 ∑n=1∞pn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} p_{n} 与 ∑n=1∞qn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q_{n} 的敛散性都不定

  4. 【2004-3-4 分】 设有以下命题： ①若 ∑n=1∞(u2n−1+u2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2 n-1}+u_{2 n}) 收敛，则 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛 ②若 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛，则 ∑n=1∞un+100\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n+100} 收敛 ③若 lim⁡n→∞un+1un>1\displaystyle \lim _{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}>1，则 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 发散 ④若 ∑n=1∞(un+vn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n}) 收敛，则 ∑n=1∞un,∑n=1∞vn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} v_{n} 都收敛 则以上命题说法正确的是（ ）. A. ①②    B. ②③    C. ③④    D. ①④

  5. 【2005-3-4 分】 设 an>0\displaystyle a_{n}>0，n=1,2,⋯\displaystyle n=1,2, \cdots，若 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 发散，∑n=1∞(−1)n−1an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n} 收敛，则下列结论正确的是（ ） A. ∑n=1∞a2n−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1} 收敛，∑n=1∞a2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} 发散 B. ∑n=1∞a2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} 收敛，∑n=1∞a2n−1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1} 发散 C. ∑n=1∞(a2n−1+a2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{2 n-1}+a_{2 n}) 收敛 D. ∑n=1∞(a2n−1−a2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right) 收敛

  6. 【2006-13-4 分】 若级数 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 收敛，则级数（ ） A. ∑n=1∞∣an∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| 收敛 B. ∑n=1∞(−1)nan\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} 收敛 C. ∑n=1∞anan+1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1} 收敛 D. ∑n=1∞an+an+12\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2} 收敛

  7. 【2011-3-4 分】 设 {un}\{u_{n}\} 是数列，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛，则 ∑n=1∞(u2n−1+u2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2 n-1}+u_{2 n}) 收敛 B. 若 ∑n=1∞(u2n−1+u2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2 n-1}+u_{2 n}) 收敛，则 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛 C. 若 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛，则 ∑n=1∞(u2n−1−u2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2 n-1}-u_{2 n}) 收敛 D. 若 ∑n=1∞(u2n−1−u2n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2 n-1}-u_{2 n}) 收敛，则 ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛

  8. 【2019-3-4 分】 若 ∑n=1∞nun\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n u_{n} 收敛，∑n=1∞vnn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_{n}}{n} 收敛，则（ ） A. ∑n=1∞unvn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n} 收敛 B. ∑n=1∞unvn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n} 发散 C. ∑n=1∞(un+vn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n}) 收敛 D. ∑n=1∞(un+vn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n}) 发散