四、积分方程的求解

小题

1. 【1991-12-3 分】 若连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足关系式 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{2 x} f(\dfrac{t}{2}) d t+\ln 2$,求$\displaystyle f(x)$

2. 【1992-4-5 分】 求连续函数 f(x),使它满足 $\displaystyle f(x)+2 \int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}$ .

大题

1. 【1989-123-7 分】 设 $\displaystyle f(x)=sin x-\int_{0}^{x}(x-t) f(t) d t$,其中 f 为连续函数,则 $\displaystyle f(x)$ 等于( ) A. $\displaystyle e^{x} ln 2$    B. $\displaystyle e^{2 x} ln 2$ C. $\displaystyle e^{x}+ln 2$    D. $\displaystyle e^{2 x}+ln 2$

2. 【1992-5-6 分】 求连续函数 $\displaystyle f(x)$ ,$\displaystyle \int_{0}^{1} f(t x) d t=f(x)+x sin x$

3. 【1995-4-6 分】 已知连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足条件 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{3 x} f(\dfrac{t}{3}) d t+e^{2 x}$,求$\displaystyle f(x)$.

4. 【1997-3-6 分】 设函数 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续,且满足方程

$$f(t)=e^{4 \pi t^{2}}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leq4 t^{2}} f\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x ~d y$$

求 $\displaystyle f(t)$

5. 【2000-2-8 分】 函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导, $\displaystyle f(0)=1$,且满足等式

$$f'(x)+f(x)-\dfrac{1}{x+1} \int_{0}^{x} f(t) d t=0 .$$

(1)求导数 $\displaystyle f'(x)$ : (2)证明:当 $\displaystyle x \ge 0$ 时,成立不等式: $\displaystyle e^{-x} \le f(x) \le 1$.

6. 【2001-4-6 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续, $\displaystyle f(1)=\dfrac{5}{2}$,且对所有 $\displaystyle t, t \in(0,+\infty)$,满足条件 $\displaystyle \int_{1}^{x t} f(u) d u=t \int_{1}^{x} f(u) d u+x \int_{1}^{t} f(u) d u$,求 $\displaystyle f(x)$

7. 【2007-4-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有连续的一阶导数,且满足 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}(x^{2}-t^{2}) f'(t) d t+x^{2}$,求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式｡

8. 【2011-3-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间[0,1]上具有连续导数, $\displaystyle f(0)=1$,且满足

$$\iint_{D_{t}} f'(x+y) d x d y=\iint_{D_{t}} f(t) d x d y \quad,$$

其中$\displaystyle D_{t}={(x, y) | 0 \le y \le t-x, 0 \le x \le t}(0<t \le 1)$.求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式｡

9. 【2016-3-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续,且满足

$$\int_{0}^{x} f(x-t) d t=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) d t+e^{-x}-1,$$

求 $\displaystyle f(x)$

10. 【2018-2-10 分】 已知连续函数$\displaystyle f(x)$满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) d t+\int_{0}^{x} t f(x-t) d t=a x^{2}$。 (Ⅰ)求 $\displaystyle f(x)$ : (Ⅱ)若 $\displaystyle f(x)$ 在区间[0,1]上的平均值为1,求 a 的值。