一、一阶微分方程的求解

本小节无例题

小题

（一）变量可分离的微分方程

1. 【1994-3-3 分】 微分方程 $\displaystyle y \,dx+(x^{2}-4 x) d y=0$ 的通解为

2. 【1998-12-3 分】 已知函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在任意点 $\displaystyle x$ 处的增量 $\displaystyle \Delta y=\dfrac{y \Delta x}{1+x^{2}}+\alpha$，且当 $\displaystyle \Delta x \to 0$ 时, $\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle \Delta x$ 的高阶无穷小量, $\displaystyle y(0)=\pi$ ,则 $\displaystyle y(1)$ 等于( ) A. $\displaystyle 2\pi$    B. $\displaystyle \pi$ C. $\displaystyle e^{\frac{\pi}{4}}$    D. $\displaystyle \pi e^{\frac{\pi}{4}}$

3. 【2005-34-4 分】 微分方程 $\displaystyle x y'+y=0$ 满足初始条件 $\displaystyle y(1)=2$ 的特解为

4. 【2006-12-4 分】 微分方程 $\displaystyle y'=\dfrac{y(1-x)}{x}$ 的通解是

5. 【2008-13-4 分】 微分方程 $\displaystyle x y'+y=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=1$ 的解是 $\displaystyle y=$

6. 【2018-3-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \to 0)$ ,且 $\displaystyle f(0)=2$ ,则 $\displaystyle f(1)=$

7. 【2019-1-4 分】 微分方程 $\displaystyle 2 y y'-y^{2}-2=0$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=1$ 的特解 $\displaystyle y=$

8. 【2024-12-5 分】 微分方程 $\displaystyle (x+y) y'=\dfrac{1}{(x+y)^{2}}$ 满足 $\displaystyle y(1)=0$ 的解为

（二）齐次微分方程的求解

1. 【1991-4-5 分】 求微分 $\displaystyle x y \dfrac{d y}{~d x}=x^{2}+y^{2}$ 满足条件 $\displaystyle y|_{x=e}=2 e$ 的特解.

2. 【1993-12-5 分】 求微分方程 $\displaystyle x^{2} y'+x y=y^{2}$ 满足初始条件 $\displaystyle y(1)=1$ 的特解.

3. 【1997-2-5 分】 求微分方程 $\displaystyle (3 x^{2}+2 x y-y^{2}) d x+(x^{2}-2 x y) d y=0$ 的通解

4. 【2007-34-4 分】 微分方程 $\displaystyle \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{x}-\dfrac{1}{2}(\dfrac{y}{x})^{3}$ 满足 $\displaystyle y|_{x=1}=1$ 的特解为 $\displaystyle y=$

5. 【2014-1-4 分】 微分方程 $\displaystyle x y'+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足 $\displaystyle y(1)=e^{3}$ 的解为 $\displaystyle y=$

6. 【2025-2-5 分】 微分方程 $\displaystyle (2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=1$ 的解为

（三）一阶线性微分方程的求解

1. 【1987-3-5 分】 求微分方程 $\displaystyle x \dfrac{d y}{d x}=x-y$ ,满足条件 $\displaystyle y|_{x=\sqrt{2}}=0$ 的解.

2. 【1988-3-5 分】 求微分方程 $\displaystyle y'+\dfrac{1}{x} y=\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}$ 的通解(一般解).

3. 【1990-4-5 分】 求微分方程 $\displaystyle y'+y cos x=(\ln x) e^{-sin x}$ 的通解.

4. 【1991-3-5 分】 求微分方程 $\displaystyle x y'+y=x e^{x}$ 满足 $\displaystyle y(1)=1$ 的特解.

5. 【1992-3-5 分】 求微分方程 $\displaystyle (y-x^{3}) d x-2 x ~d y=0$ 的通解.

6. 【1992-12-3 分】 微分方程 $\displaystyle y'+y\tan x=cos x$ 的通解为 $\displaystyle y=$

7. 【1993-3-5 分】 求微分方程 $\displaystyle (x^{2}-1) d y+(2 x y-cos x) d x=0$ 满足初始条件 $\displaystyle y(0)=1$ 的特解.

8. 【2001-2-3 分】 过点 $\displaystyle (\dfrac{1}{2}, 0)$ 且满足关系式 $\displaystyle y'\arcsin x+\dfrac{y}{\sqrt{1-x^{2}}}=1$ 的曲线方程

9. 【2004-2-4 分】 微分方程 $\displaystyle (y+x^{3}) d x-2 x ~d y=0$ 确定 $\displaystyle y|_{x=1}=\dfrac{6}{5}$ 的特解 为

10. 【2005-12-4 分】 微分方程 $\displaystyle x y'+2 y=x \ln x$ 满足 $\displaystyle y(1)=-\dfrac{1}{9}$ 的解为

11. 【2008-24-4 分】 微分方程 $\displaystyle (y+x^{2} e^{-x}) d x-x d y=0$ 的通解是 $\displaystyle y=$

12. 【2011-12-4 分】 微分方程 $\displaystyle y'+y=e^{-x} cos x$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=0$ 的解 $\displaystyle y=$

13. 【2012-2-4 分】 微分方程 $\displaystyle y d x+(x-3 y^{2}) d y=0$ 满足条件 $\displaystyle y|_{x=1}=1$ 的解为 $\displaystyle y=$

14. 【2025-3-5 分】 微分方程 $\displaystyle x y'-y+x^{2} e^{x}=0$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=-e$ 的解为 $\displaystyle y=$

大题

（一）齐次微分方程的求解

1. 【1996-4-7 分】 求微分方程 $\displaystyle \dfrac{d y}{~d x}=\dfrac{y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}$ 的通解.

2. 【1999-2-7 分】 求初值问题

$$\begin{cases}(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}) d x-x ~d y=0(x>0) \\ y|_{x=1}=0 \end{cases}$$

的解

（二）一阶线性微分方程的求解

1. 【1989-3-6 分】 微分方程 $\displaystyle y'+\dfrac{1-x}{x} y=\dfrac{e^{2 x}}{x}(0<x<+\infty)$ 满足 $\displaystyle y(1)=0$ 的解.

2. 【1990-23-6 分】 求微分方程 $\displaystyle x \ln x d y+(y-\ln x) d x=0$ 满足条件 $\displaystyle y|_{x=e}=1$ 的 特解.

3. 【1995-3-8 分】 设 $\displaystyle y=e^{x}$ 是微分方程 $\displaystyle x y'+p(x) y=x$ 的一个解,求此微分方程满足条件 $\displaystyle y|_{x=\ln 2}=0$ 的特解.

4. 【1996-3-8 分】 设 $\displaystyle y(x)$ 是

$$\begin{cases}y'+a y=f(x) \\ y|_{x=0}=0 \end{cases}$$

的解，其中 a 为正常数:(2)若 $\displaystyle |f(x)| \le k$（$\displaystyle k$为常数）,证明:当 $\displaystyle x \ge 0$ 时,有 $\displaystyle |y(x)| \le \dfrac{k}{a}(1-e^{-a x})$ .

5. 【1999-3-6 分】 设有微分方程 $\displaystyle y'-2 y=\varphi(x)$ ,其中

$$\varphi(x)= \begin{cases}2,& x\le1 \\0,& x>1\end{cases}$$

试求在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内的连续函数 $\displaystyle y=y(x)$ ,使之在 $\displaystyle (-\infty, 1)$ 和 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内都满足所给方程,且满足条件 $\displaystyle y(0)=0$ .

6. 【2002-2-7 分】 求微分方程 $\displaystyle x ~d y+(x-2 y) d x=0$ 的一个解 $\displaystyle y=y(x)$ ,使得 由曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 与直线 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=2$ 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小.

7. 【2018-1-10 分】 已知微分方程 $\displaystyle y'+y=f(x)$ ,其中 $\displaystyle f(x)$ 是 R 上的连续函数. (I)若 $\displaystyle f(x)=x$ ,求方程的通解; (II)若 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 T 的函数,证明:方程存在唯一的以 T 为周期的解.

8. 【2019-23-10 分】 设函数 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y'-x y=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\sqrt{e}$ 的特解. (1)求 $\displaystyle y(x)$ : (2)设平面区域 $\displaystyle D={(x, y) | 1 \le x \le 2,0 \le y \le y(x)}$ ,求 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的 体积.

9. 【2022-13-10 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y'+\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}$ 的满足 $\displaystyle y(1)=3$ 的解,求曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 的渐近线.

10. 【2022-2-12 分】 设 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle 2 x y'-4 y=2 \ln x-1$ 满足 $\displaystyle y(1)=\dfrac{1}{4}$ 的解, 求曲线 $\displaystyle y=y(x)(1 \le x \le e)$ 的弧长