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二、对闭区间上连续函数性质的考查

小题​

（一）零点定理​

  1. 【2004-34-4 分】 设 f′(x)\displaystyle f'(x) 在 [a,b]\displaystyle [a,b] 上连续，且 f′(a)>0\displaystyle f'(a)>0，f′(b)<0\displaystyle f'(b)<0，则下列结论中错误的是( ) A. 至少存在一点 x0∈(a,b)\displaystyle x_{0} \in(a,b)，使得 f(x0)>f(a)\displaystyle f(x_{0})>f(a) B. 至少存在一点 x0∈(a,b)\displaystyle x_{0} \in(a,b)，使得 f(x0)>f(b)\displaystyle f(x_{0})>f(b) C. 至少存在一点 x0∈(a,b)\displaystyle x_{0} \in(a,b)，使得 f′(x0)=0\displaystyle f'(x_{0})=0 D. 至少存在一点 x0∈(a,b)\displaystyle x_{0} \in(a,b)，使得 f(x0)=0\displaystyle f(x_{0})=0

大题​

（一）零点定理​

  1. 【2016-2-11 分】 已知函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 [0,3π2]\displaystyle \left[0, \dfrac{3 \pi}{2}\right] 上连续，在 (0,3π2)\displaystyle \left(0, \dfrac{3 \pi}{2}\right) 内是函数 cos⁡x2x−3π\displaystyle \dfrac{\cos x}{2 x-3 \pi} 的一个原函数，且 f(0)=0\displaystyle f(0)=0。 (1)求 f(x)\displaystyle f(x) 在区间 [0,3π2]\displaystyle \left[0, \dfrac{3 \pi}{2}\right] 上的平均值； (2)证明 f(x)\displaystyle f(x) 在区间 (0,3π2)\displaystyle \left(0, \dfrac{3 \pi}{2}\right) 内存在唯一零点。

（二）介值定理​

  1. 【2002-34-6 分】 设函数 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x) 在 [a,b]\displaystyle [a,b] 上连续，且 g(x)>0\displaystyle g(x)>0，利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点 ξ∈[a,b]\displaystyle \xi \in[a,b]，使
∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) d x