一、对定理内容的考查

小题

1. 【1987-45-2 分】 若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a,b)$ 内可导，$\displaystyle x_1,x_2$是区间内任意两点，且 $\displaystyle x_1<x_2$，则至少存在一点 $\displaystyle \xi$，使得( ) A. $\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a), a<\xi<b$ B. $\displaystyle f(b)-f\left(x_{1}\right)=f'(\xi)\left(b-x_{1}\right), x_{1}<\xi<b$ C. $\displaystyle f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=f'(\xi)\left(x_{2}-x_{1}\right), x_{1}<\xi<x_{2}$ D. $\displaystyle f\left(x_{2}\right)-f(a)=f'(\xi)\left(x_{2}-a\right), a<\xi<x_{2}$

2. 【1987-3-3 分】 积分中值定理的条件是____，结论是____。

3. 【1995-123-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle [0,1]$上，$\displaystyle f''(x)>0$，则 $\displaystyle f'(1),f'(0),f(1)-f(0)$ 或 $\displaystyle f(0)-f(1)$ 的大小顺序是( ) A. $\displaystyle f'(1)>f'(0)>f(1)-f(0)$ B. $\displaystyle f'(1)>f(1)-f(0)>f'(0)$ C. $\displaystyle f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)$ D. $\displaystyle f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0)$

4. 【1996-3-5 分】 求函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$ 在 $\displaystyle x=0$ 点处带拉格朗日型余项的 $\displaystyle n$ 阶泰勒展开式。

5. 【1996-35-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 处处可导，则( ) A. 当 $\displaystyle \lim _{x \to -\infty} f(x)=-\infty$，必有 $\displaystyle \lim _{x \to -\infty} f'(x)=-\infty$ B. 当 $\displaystyle \lim _{x \to -\infty} f'(x)=-\infty$，必有 $\displaystyle \lim _{x \to -\infty} f(x)=-\infty$ C. 当 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f(x)=+\infty$，必有 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f'(x)=+\infty$ D. 当 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f'(x)=+\infty$，必有 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f(x)=+\infty$

6. 【2003-2-4 分】 $\displaystyle y=2^{x}$ 的麦克劳林公式中 $\displaystyle x^{n}$ 项的系数是____。

7. 【2002-34-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a,b]$ 上有定义，在开区间 $\displaystyle (a,b)$ 内可导，则( ) A. 当 $\displaystyle f(a) f(b)<0$ 时，存在 $\displaystyle \xi \in(a,b)$，使 $\displaystyle f(\xi)=0$ B. 对任何 $\displaystyle \xi \in(a,b)$，有 $\displaystyle \lim _{x \to \xi}[f(x)-f(\xi)]=0$ C. 当 $\displaystyle f(a)=f(b)$ 时，存在 $\displaystyle \xi \in(a,b)$，使 $\displaystyle f'(\xi)=0$ D. 存在 $\displaystyle \xi \in(a,b)$，使 $\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

8. 【2002-12-3 分】 设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界且可导，则( ) A. 当 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f(x)=0$ 时，必有 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f'(x)=0$ B. 当 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f'(x)$ 存在时，必有 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f'(x)=0$ C. 当 $\displaystyle \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=0$ 时，必有 $\displaystyle \lim _{x \to 0^{+}} f'(x)=0$ D. 当 $\displaystyle \lim _{x \to 0^{+}} f'(x)$ 存在时，必有 $\displaystyle \lim _{x \to 0^{+}} f'(x)=0$

9. 【2004-34-4 分】 函数

$$f(x)=\dfrac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^{2}}$$

在下列哪个区间有界( ) A. $\displaystyle (-1,0)$    B. $\displaystyle (0,1)$    C. $\displaystyle (1,2)$    D. $\displaystyle (2,3)$

10. 【2005-34-4 分】 以下四个命题中，正确的是( ) A. 若 $\displaystyle f'(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$ 内连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$内有界 B. 若 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$内连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$内有界 C. 若 $\displaystyle f'(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$ 内有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$内有界 D. 若 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$内有界，则 $\displaystyle f'(x)$ 在$\displaystyle (0,1)$ 内有界

11. 【2008-2-4 分】 设 $\displaystyle f(x)=x^{2}(x-1)(x-2)$，则 $\displaystyle f'(x)$ 的零点个数为( ) A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle 1$    C. $\displaystyle 2$    D. $\displaystyle 3$

大题

1. 【1988-3-8 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导数，且 $\displaystyle m \le f(x) \le M$。 (1) 求

$$\lim _{a \to 0^{+}} \dfrac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] d t$$

(2) 证明

$$\left|\dfrac{1}{2 a} \int_{-a}^{a} f(t) d t-f(x)\right| \leq M-m\quad(a>0)$$

2. 【1990-4-6 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,c]$ 上连续，其导数 $\displaystyle f'(x)$ 在开区间 $\displaystyle (0,c)$ 内存在且单调减少，$\displaystyle f(0)=0$，试用拉格朗日中值定理证明不等式 $\displaystyle f(a+b) \le f(a)+f(b)$，其中常数 $\displaystyle a,b$ 满足条件 $\displaystyle 0 \le a \le b \le a+b \le c$。

3. 【2001-34-6 分】 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \to \infty} f'(x)=e$，$\displaystyle \lim _{x \to \infty}\left(\dfrac{x+c}{x-c}\right)^{x}=\lim _{x \to \infty}[f(x)-f(x-1)]$，求 $\displaystyle c$ 的值。

4. 【2003-2-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a,b]$ 连续，在开区间 $\displaystyle (a,b)$ 内可导，且 $\displaystyle f'(x)>0$。若极限 $\displaystyle \lim _{x \to a^{+}} \dfrac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明： (1) 在 $\displaystyle (a,b)$ 内 $\displaystyle f(x)>0$； (2) 在 $\displaystyle (a,b)$ 内存在点 $\displaystyle \xi$，使

$$\dfrac{b^{2}-a^{2}}{\int_{a}^{b} f(x) d x}=\dfrac{2 \xi}{f(\xi)}$$

(3) 在 $\displaystyle (a,b)$ 内存在与(2)中相异的点 $\displaystyle \eta$，满足

$$f'(\eta)(b^{2}-a^{2})=\dfrac{2 \xi}{\xi-a} \int_{a}^{b} f(x) d x$$

5. 【2008-2-11 分】 (Ⅰ)证明积分中值定理：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\displaystyle \eta \in[a,b]$，使得

$$\int_{a}^{b} f(x) d x=f(\eta)(b-a)$$

(Ⅱ)若函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足 $\displaystyle \varphi(2)>\varphi(1)$，$\displaystyle \varphi(2)>\int_{2}^{3} \varphi(x) d x$，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(1,3)$，使得 $\displaystyle \varphi''(\xi)<0$。

6. 【2013-3-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(0)=0$，且 $\displaystyle \lim _{x \to +\infty} f(x)=2$，证明 (1)存在 $\displaystyle a>0$，使得 $\displaystyle f(a)=1$； (2)对(1)中的 $\displaystyle a$，存在 $\displaystyle \xi \in(0,a)$，使得 $\displaystyle f'(\xi)=\dfrac{1}{a}$。

7. 【2019-2-11 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle [0,1]$上具有2阶导数，且 $\displaystyle f(0)=0$，$\displaystyle f(1)=1$，$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=1$，证明： (1)存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$，使得 $\displaystyle f'(\xi)=0$； (2)存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$，使得 $\displaystyle f''(\eta)<-2$。

8. 【2020-13-10 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在区间$\displaystyle [0,2]$ 上有连续导数，$\displaystyle f(0)=f(2)=0$，$\displaystyle M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$， 证明(1)存在 $\displaystyle \xi \in(0,2)$，使 $\displaystyle |f'(\xi)| \ge M$； (2)若对任意 $\displaystyle x \in(0,2)$，$\displaystyle |f'(x)| \le M$，则 $\displaystyle M=0$。