七、液体的静压力（数三不做）

小题

1. 【2020-2-5 分】 斜边长为 $2a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水平面相齐。设重力加速度为 $g$，水密度为 $\rho$，则该平板一侧所受的水压力为 ______。

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答案：

$$F=\frac{1}{3}\rho g{a}^3.$$

解析： 等腰直角三角形的斜边长为 $2a$。其斜边上的高为 $a$，因此平板从水面到最低点的深度为 $a$。

以水面为原点，取竖直向下为 $y$ 轴正方向。深度为 $y$ 处，三角形的水平宽度由相似三角形得

$$w(y)=2(a-y),0\le y\le a.$$

深度为 $y$ 处的水压强为

$$p(y)=\rho gy.$$

取厚度为 $dy$ 的水平窄条，其面积为

$$dA=w(y)dy=2(a-y)dy.$$

因此该窄条一侧所受压力为

$$dF=p(y)dA=2\rho gy(a-y)dy.$$

总压力为

$$\begin{array}{rl}F& =2\rho g{\int }_0^{a}y(a-y)dy\\ & =2\rho g{\left[\frac{a{y}^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]}_0^a\\ & =2\rho g\left(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}\right)\\ & =\frac{1}{3}\rho g{a}^3.\end{array}$$

大题

1. 【2002-2-7 分】 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 $l$ 为对称轴，闸门的上部为矩形 $ABCD$，下部由二次抛物线与线段 $AB$ 所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与下部承受的水压力之比为 $5:4$，闸门矩形部分的高 $h$ 应为多少米？

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答案：

$$h=2\mathrm{m}.$$

解析： 由图知，矩形部分关于对称轴的半宽为 $1\mathrm{m}$，故矩形宽为 $2\mathrm{m}$；下部抛物线弓形的高为 $1\mathrm{m}$。

以水面为原点，取竖直向下为 $y$ 轴正方向。矩形部分对应

$$0\le y\le h.$$

水的重度记为 $\rho g$。在深度 $y$ 处，矩形水平窄条宽为 $2$，故矩形部分所受水压力为

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =\rho g{\int }_0^{h}2ydy\\ & =\rho g{h}^2.\end{array}$$

下面计算抛物线部分的水压力。

以线段 $AB$ 的中点为原点，取竖直向下为局部纵坐标 $t$。由图知抛物线经过

$$(\pm 1,0),(0,1),$$

故其方程可写为

$$t=1-x^2.$$

于是深度增量为 $t$ 时，水平窄条的半宽为

$$x=\sqrt{1-t},$$

全宽为

$$2\sqrt{1-t},0\le t\le 1.$$

该窄条距水面的总深度为 $h+t$，故抛物线部分所受水压力为

$$\begin{array}{rl}{F}_2& =2\rho g{\int }_0^1(h+t)\sqrt{1-t}dt\\ & =2\rho g\left[h{\int }_0^1\sqrt{1-t}dt+{\int }_0^{1}t\sqrt{1-t}dt\right].\end{array}$$

其中

$${\int }_0^1\sqrt{1-t}dt=\frac{2}{3},$$

且令 $u=1-t$，可得

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}t\sqrt{1-t}dt& ={\int }_0^1(1-u)u^{\frac{1}{2}}du\\ & =\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\\ & =\frac{4}{15}.\end{array}$$

因此

$$F_2=2\rho g\left(\frac{2h}{3}+\frac{4}{15}\right)=\rho g\left(\frac{4h}{3}+\frac{8}{15}\right).$$

由题意

$$F_1:F_2=5:4,$$

即

$$\frac{\rho g{h}^2}{\rho g\left(\frac{4h}{3}+\frac{8}{15}\right)}=\frac{5}{4}.$$

约去 $\rho g$，整理得

$$\begin{array}{rl}4h^2& =5\left(\frac{4h}{3}+\frac{8}{15}\right),\\ 12h^2& =20h+8,\\ 3h^2-5h-2& =0,\\ (3h+1)(h-2)& =0.\end{array}$$

由于 $h>0$，故

$$h=2\mathrm{m}.$$