四、旋转曲面面积（数三不做）

大题

（一）参数方程下旋转曲面面积

1. 【2016-2-11 分】 设 $D$ 是由曲线

$$y=\sqrt{1-x^2}(0\le x\le 1)$$

与

$$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t,\\ y={\sin }^{3}t,\end{array}0\le t\le \frac{\pi }{2}$$

围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

查看答案与解析

答案：

$$V=\frac{18\pi }{35},S=\frac{16\pi }{5}.$$

解析： 参数曲线满足

$$x^{2/3}+y^{2/3}=1,$$

故在第一象限内可写成

$$y=(1-x^{2/3}{)}^{3/2}.$$

在 $0\le x\le 1$ 上，圆弧 $y=\sqrt{1-x^2}$ 位于星形线弧的上方。因此绕 $x$ 轴旋转所得体积为

$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_0^1\left[(1-x^2)-(1-x^{2/3}{)}^3\right]dx\\ & =\pi {\int }_0^1\left(3x^{2/3}-3x^{4/3}\right)dx\\ & =\pi \left(3\cdot \frac{3}{5}-3\cdot \frac{3}{7}\right)\\ & =\frac{18\pi }{35}.\end{array}$$

旋转体的表面由两部分组成。

圆弧绕 $x$ 轴旋转生成半径为 $1$ 的半球面，面积为

$$S_1=2\pi .$$

参数曲线绕 $x$ 轴旋转所得曲面面积为

$$S_2=2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}y\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt.$$

由

$$\frac{dx}{dt}=-3{\cos }^{2}t\sin t,\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cos t,$$

且 $0\le t\le \frac{\pi }{2}$，得

$$\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}=3\sin t\cos t.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{S}_2& =2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}t\cdot 3\sin t\cos tdt\\ & =6\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t\cos tdt\\ & =\frac{6\pi }{5}.\end{array}$$

所以旋转体的总表面积为

$$S=S_1+S_2=2\pi +\frac{6\pi }{5}=\frac{16\pi }{5}.$$

（二）直角坐标系下旋转曲面面积

1. 【1998-2-8 分】 设有曲线

$$y=\sqrt{x-1},$$

过原点作其切线，求由此曲线、切线及 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的表面积。

查看答案与解析

答案：

$$S=\frac{\pi }{6}(11\sqrt{5}-1).$$

解析： 设切点为 $(x_0,y_0)$，则

$$y_0=\sqrt{x_0-1},y^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2y_0}.$$

切线经过原点，故

$$0-y_0=\frac{1}{2y_0}(0-x_0),$$

即

$$x_0=2y_0^2=2(x_0-1).$$

解得

$$x_0=2,y_0=1.$$

因此切线方程为

$$y=\frac{x}{2}.$$

旋转体的表面由切线段生成的圆锥侧面和曲线弧生成的旋转曲面组成。

切线段生成的曲面面积为

$$\begin{array}{rl}{S}_1& =2\pi {\int }_0^2\frac{x}{2}\sqrt{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}dx\\ & =2\pi {\int }_0^2\frac{x\sqrt{5}}{4}dx\\ & =\pi \sqrt{5}.\end{array}$$

曲线弧 $y=\sqrt{x-1}$（$1\le x\le 2$）生成的曲面面积为

$$\begin{array}{rl}{S}_2& =2\pi {\int }_1^{2}y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx\\ & =2\pi {\int }_1^2\sqrt{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{4(x-1)}}dx\\ & =\pi {\int }_1^2\sqrt{4x-3}dx\\ & =\frac{\pi }{6}{\left[(4x-3{)}^{3/2}\right]}_1^2\\ & =\frac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1).\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{rl}S& =S_1+S_2\\ & =\pi \sqrt{5}+\frac{\pi }{6}(5\sqrt{5}-1)\\ & =\frac{\pi }{6}(11\sqrt{5}-1).\end{array}$$

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2. 【2004-2-12 分】 曲线

$$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

与直线 $x=0$，$x=t$（$t>0$）及 $y=0$ 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 $V(t)$，侧面积为 $S(t)$，在 $x=t$ 处的底面积为 $F(t)$。

（1）求 $\frac{S(t)}{V(t)}$ 的值；

（2）计算极限 $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{S(t)}{F(t)}$。

查看答案与解析

答案：

$$\frac{S(t)}{V(t)}=2,\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{S(t)}{F(t)}=1.$$

解析： 记

$$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x,$$

则

$$y^{\prime }=\sinh x,\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\sqrt{1+{\sinh }^{2}x}=\cosh x.$$

旋转体体积为

$$V(t)=\pi {\int }_0^t{\cosh }^{2}xdx.$$

侧面积为

$$\begin{array}{rl}S(t)& =2\pi {\int }_0^{t}y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx\\ & =2\pi {\int }_0^t{\cosh }^{2}xdx\\ & =2V(t).\end{array}$$

因此

$$\frac{S(t)}{V(t)}=2.$$

在 $x=t$ 处的底面积为

$$F(t)=\pi {\cosh }^{2}t.$$

又

$${\int }_0^t{\cosh }^{2}xdx=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sinh 2t,$$

故

$$\begin{array}{rl}\frac{S(t)}{F(t)}& =\frac{2\pi {\int }_0^t{\cosh }^{2}xdx}{\pi {\cosh }^{2}t}\\ & =\frac{t+\sinh t\cosh t}{{\cosh }^{2}t}\\ & =\frac{t}{{\cosh }^{2}t}+\tanh t.\end{array}$$

当 $t\to +\infty$ 时，

$$\frac{t}{{\cosh }^{2}t}\to 0,\tanh t\to 1,$$

所以

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{S(t)}{F(t)}=1.$$

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3. 【2021-2-12 分】 已知

$$\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx=\frac{1}{6}{x}^2-x+C.$$

$L$ 为曲线 $y=f(x)(4\le x\le 9)$，$L$ 的弧长为 $S$，$L$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 $A$，求 $S$ 和 $A$。

查看答案与解析

答案：

$$S=\frac{22}{3},A=\frac{425\pi }{9}.$$

解析： 由不定积分两边求导，得

$$\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\frac{x}{3}-1,$$

所以

$$f(x)=\sqrt{x}\left(\frac{x}{3}-1\right)=\frac{(x-3)\sqrt{x}}{3}.$$

在 $[4,9]$ 上，$f(x)>0$。求导得

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{1}{3}\left(\sqrt{x}+\frac{x-3}{2\sqrt{x}}\right)\\ & =\frac{x-1}{2\sqrt{x}}.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}& =\sqrt{1+\frac{(x-1{)}^2}{4x}}\\ & =\sqrt{\frac{(x+1{)}^2}{4x}}\\ & =\frac{x+1}{2\sqrt{x}}.\end{array}$$

故弧长为

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_4^9\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx\\ & ={\int }_4^9\frac{x+1}{2\sqrt{x}}dx\\ & ={\left[\frac{1}{3}{x}^{3/2}+\sqrt{x}\right]}_4^9\\ & =12-\frac{14}{3}\\ & =\frac{22}{3}.\end{array}$$

曲线绕 $x$ 轴旋转所得曲面的面积为

$$\begin{array}{rl}A& =2\pi {\int }_4^{9}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx\\ & =2\pi {\int }_4^9\frac{(x-3)\sqrt{x}}{3}\cdot \frac{x+1}{2\sqrt{x}}dx\\ & =\frac{\pi }{3}{\int }_4^9(x-3)(x+1)dx\\ & =\frac{\pi }{3}{\int }_4^9(x^2-2x-3)dx\\ & =\frac{\pi }{3}{\left[\frac{x^3}{3}-x^2-3x\right]}_4^9\\ & =\frac{425\pi }{9}.\end{array}$$