三、三角有理式的积分

小题

1. 【1993-3-3 分】

$$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}dx=\_\_\_.$$

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答案：

$$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}dx=\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C.$$

解析： 先将正切函数写成正弦、余弦的形式：

$$\frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin x}{{\cos }^{\frac{3}{2}}x}.$$

令

$$u=\cos x,$$

则 $du=-\sin xdx$。于是

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}dx& =-\int u^{-\frac{3}{2}}du\\ & =-\frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+C\\ & =2u^{-\frac{1}{2}}+C\\ & =\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C.\end{array}$$

关键是识别出分子中的 $\sin xdx$ 与 $\cos x$ 的微分相对应。在实数范围内，原被积函数需满足 $\cos x>0$。

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2. 【1994-123-5 分】 求

$$\int \frac{dx}{\sin (2x)+2\sin x}.$$

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答案：

$$\int \frac{dx}{\sin (2x)+2\sin x}=\frac{1}{4}\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+\frac{1}{8}{\tan }^2\frac{x}{2}+C.$$

解析： 先化简分母：

$$\sin (2x)+2\sin x=2\sin x\cos x+2\sin x=2\sin x(1+\cos x).$$

对三角有理式采用万能代换

$$t=\tan \frac{x}{2}.$$

此时

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2},$$

且

$$1+\cos x=\frac{2}{1+t^2}.$$

因而

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sin (2x)+2\sin x}& =\int \frac{dx}{2\sin x(1+\cos x)}\\ & =\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2\cdot \frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}}\\ & =\frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{t}+t\right)dt\\ & =\frac{1}{4}\ln |t|+\frac{1}{8}{t}^2+C.\end{array}$$

代回 $t=\tan \frac{x}{2}$，得到

$$\int \frac{dx}{\sin (2x)+2\sin x}=\frac{1}{4}\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+\frac{1}{8}{\tan }^2\frac{x}{2}+C.$$

原被积函数在 $\sin x(1+\cos x)=0$ 的点无定义，因此所得原函数应理解为定义域各连续区间上的表达式。

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3. 【1996-3-5 分】 求

$$\int \frac{dx}{1+\sin x}.$$

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答案：

$$\int \frac{dx}{1+\sin x}=\tan x-\sec x+C.$$

解析： 分子、分母同乘 $1-\sin x$，有

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{1+\sin x}& =\frac{1-\sin x}{1-{\sin }^{2}x}\\ & =\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}\\ & ={\sec }^{2}x-\sec x\tan x.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{1+\sin x}& =\int \left({\sec }^{2}x-\sec x\tan x\right)dx\\ & =\tan x-\sec x+C.\end{array}$$

其中使用了

$$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x.$$

也可将答案写成与其等价的形式

$$-\frac{\cos x}{1+\sin x}+C.$$

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1. 【1987-3-10 分】 计算不定积分

$$\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x},$$

其中 $a,b$ 为不全为零的非负数。

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答案： 当 $a>0,b>0$ 时，

$$\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x}=\frac{1}{ab}\arctan \left(\frac{a}{b}\tan x\right)+C.$$

当 $a=0,b>0$ 时，

$$\int \frac{dx}{b^2{\cos }^{2}x}=\frac{1}{b^2}\tan x+C.$$

当 $a>0,b=0$ 时，

$$\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x}=-\frac{1}{a^2}\cot x+C.$$

解析： 由于 $a,b$ 允许取零，必须分类讨论。

（1）当 $a>0,b>0$ 时

在 $\cos x\ne 0$ 的连续区间内，令

$$t=\tan x,$$

则

$${\sin }^{2}x=\frac{t^2}{1+t^2},{\cos }^{2}x=\frac{1}{1+t^2},dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x}& =\int \frac{\frac{dt}{1+t^2}}{\frac{a^2{t}^2+b^2}{1+t^2}}\\ & =\int \frac{dt}{a^2{t}^2+b^2}.\end{array}$$

再令

$$u=\frac{a}{b}t,$$

则 $dt=\frac{b}{a}du$，从而

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dt}{a^2{t}^2+b^2}& =\frac{1}{ab}\int \frac{du}{1+u^2}\\ & =\frac{1}{ab}\arctan u+C\\ & =\frac{1}{ab}\arctan \left(\frac{a}{b}\tan x\right)+C.\end{array}$$

（2）当 $a=0,b>0$ 时

原积分化为

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{b^2{\cos }^{2}x}& =\frac{1}{b^2}\int {\sec }^{2}xdx\\ & =\frac{1}{b^2}\tan x+C.\end{array}$$

（3）当 $a>0,b=0$ 时

原积分化为

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x}& =\frac{1}{a^2}\int {\csc }^{2}xdx\\ & =-\frac{1}{a^2}\cot x+C.\end{array}$$

题设排除了 $a=b=0$ 的情形。对于 $a>0,b>0$，分母恒正；但反正切表达式受分支影响，仍应在每个连续区间内理解，不同区间的积分常数可以不同。