二、有理函数的积分

小题

1. 【1987-5-4 分】 求不定积分

$$\int \frac{xdx}{x^4+2x^2+5}.$$

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答案：

$$\int \frac{xdx}{x^4+2x^2+5}=\frac{1}{4}\arctan \frac{x^2+1}{2}+C.$$

解析： 注意到分母可配成平方和：

$$x^4+2x^2+5=(x^2+1{)}^2+4.$$

令

$$u=x^2+1,$$

则 $du=2xdx$，所以

$$\begin{array}{rl}\int \frac{xdx}{x^4+2x^2+5}& =\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+4}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\arctan \frac{u}{2}+C\\ & =\frac{1}{4}\arctan \frac{x^2+1}{2}+C.\end{array}$$

关键是将四次式视为关于 $x^2+1$ 的二次式，再使用公式

$$\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a}+C.$$

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2. 【1995-3-5 分】 设

$$f(x^2-1)=\ln \frac{x^2}{x^2-2},$$

且 $f[\phi (x)]=\ln x$，求 $\int \phi (x)dx$。

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答案：

$$\int \phi (x)dx=x+2\ln |x-1|+C,x>0,x\ne 1.$$

解析： 令

$$t=x^2-1,$$

则 $x^2=t+1$，从而 $x^2-2=t-1$。因此

$$f(t)=\ln \frac{t+1}{t-1}.$$

把自变量改写为 $u$，得

$$f(u)=\ln \frac{u+1}{u-1}.$$

由 $f[\phi (x)]=\ln x$，有

$$\ln \frac{\phi (x)+1}{\phi (x)-1}=\ln x.$$

因为对数函数为一一对应函数，所以

$$\frac{\phi (x)+1}{\phi (x)-1}=x.$$

解得

$$\phi (x)=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}.$$

因而

$$\begin{array}{rl}\int \phi (x)dx& =\int \left(1+\frac{2}{x-1}\right)dx\\ & =x+2\ln |x-1|+C.\end{array}$$

由 $\ln x$ 有意义且 $\phi (x)$ 有定义，需满足 $x>0$ 且 $x\ne 1$。

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3. 【1999-2-3 分】

$$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx=\_\_\_.$$

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答案：

$$\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)+4\arctan \frac{x-3}{2}+C.$$

解析： 先将分母配方：

$$x^2-6x+13=(x-3{)}^2+4.$$

同时将分子拆成分母导数与常数之和：

$$x+5=\frac{1}{2}(2x-6)+8.$$

因此

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{2x-6}{x^2-6x+13}dx+8\int \frac{dx}{(x-3{)}^2+4}\\ & =\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)+8\cdot \frac{1}{2}\arctan \frac{x-3}{2}+C\\ & =\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)+4\arctan \frac{x-3}{2}+C.\end{array}$$

由于 $x^2-6x+13=(x-3{)}^2+4>0$，对数中无需再写绝对值。

大题

1. 【2019-2-10 分】 求不定积分

$$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}dx.$$

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答案：

$$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}dx=\ln (x^2+x+1)-2\ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+C.$$

解析： 由于分母含有重因式 $(x-1{)}^2$ 和不可约二次因式 $x^2+x+1$，作部分分式分解：

$$\frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}.$$

两边同乘 $(x-1{)}^2(x^2+x+1)$，得

$$3x+6=A(x-1)(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1{)}^2.$$

展开并比较同次幂系数：

$$\{\begin{array}{l}A+C=0,\\ B-2C+D=0,\\ B+C-2D=3,\\ -A+B+D=6.\end{array}$$

解得

$$A=-2,B=3,C=2,D=1.$$

故

$$\frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=-\frac{2}{x-1}+\frac{3}{(x-1{)}^2}+\frac{2x+1}{x^2+x+1}.$$

逐项积分：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}dx& =-2\int \frac{dx}{x-1}+3\int \frac{dx}{(x-1{)}^2}+\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx\\ & =-2\ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+\ln (x^2+x+1)+C.\end{array}$$

又因为

$$x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0,$$

所以 $\ln (x^2+x+1)$ 中不必加绝对值。最终

$$\boxed{\ln (x^2+x+1)-2\ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+C}.$$