一、不定积分的概念及性质

小题

1. 【1987-3-3 分】 $\int f^{\prime }(x)dx=\_\_\_$；

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答案： $f(x)+C$。

解析： 由不定积分的定义，函数 $f(x)$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的一个原函数，因此

$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C,$$

其中 $C$ 为任意常数。

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2. 【1990-3-3 分】 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，则 $d\left[\int f(x)dx\right]$ 等于（ ）。

A. $f(x)$    B. $f(x)dx$    C. $f(x)+C$    D. $f^{\prime }(x)dx$

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答案： B。

解析： 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

对其取微分，有

$$d[F(x)+C]=F^{\prime }(x)dx=f(x)dx.$$

因此应选 B。A 缺少微分因子 $dx$；C 是不定积分的表达式，不是其微分；D 把被积函数误写成了其导数。

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3. 【1992-3-3 分】 若 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$，则 $f(x)$ 有一个原函数为（ ）。

A. $1+\sin x$    B. $1-\sin x$    C. $1+\cos x$    D. $1-\cos x$

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答案： D。

解析： 由条件 $f^{\prime }(x)=\sin x$，可知

$$f(x)=-\cos x+C.$$

选项 D 中

$$(1-\cos x{)}^{\prime }=\sin x,$$

因而 $1-\cos x$ 是满足题设导数条件的一个函数，故选 D。其余选项的导数分别为 $\cos x$、$-\cos x$、$-\sin x$，均不符合题意。

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4. 【1995-45-3 分】 设 $f^{\prime }(\ln x)=1+x$，则 $f(x)=\_\_\_$。

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答案： $f(x)=x+\ln x+C(x>0)$。

解析： 令 $t=\ln x$，则 $x=e^t$，原条件化为

$$f^{\prime }(t)=1+e^t.$$

两边关于 $t$ 积分，得

$$f(t)=t+e^t+C.$$

将自变量重新记为 $x$，可得

$$f(x)=x+\ln x+C,$$

其中由对数的定义可知 $x>0$。

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5. 【1996-45-3 分】 设 $\int xf(x)dx=\arcsin x+C$，则 $\int \frac{1}{f(x)}dx=\_\_\_$。

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答案： $-\frac{1}{3}(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}+C$。

解析： 对已知不定积分两边求导，得

$$xf(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$

从而

$$f(x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}},\frac{1}{f(x)}=x\sqrt{1-x^2}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{f(x)}dx& =\int x\sqrt{1-x^2}dx\\ & =-\frac{1}{2}\int (1-x^2{)}^{\frac{1}{2}}d(1-x^2)\\ & =-\frac{1}{3}(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}+C.\end{array}$$

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6. 【2004-1-4 分】 已知 $f^{\prime }(e^x)=x{e}^{-x}$，且 $f(1)=0$，则 $f(x)=\_\_\_$。

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答案： $f(x)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x(x>0)$。

解析： 令 $t=e^x$，则 $x=\ln t$，且 $e^{-x}=\frac{1}{t}$。于是

$$f^{\prime }(t)=\frac{\ln t}{t}.$$

积分得

$$f(t)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}t+C.$$

又由 $f(1)=0$，得到 $C=0$，所以

$$f(x)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x,x>0.$$

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7. 【2014-12-4 分】 设 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的可导奇函数，且 $f^{\prime }(x)=2(x-1),x\in [0,2]$，则 $f(7)=\_\_\_$。

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答案： $1$。

解析： 由于 $f(x)$ 的周期为 $4$，所以

$$f(2)=f(-2).$$

又因为 $f(x)$ 为奇函数，故 $f(-2)=-f(2)$，从而

$$f(2)=0.$$

在 $[0,2]$ 上积分得

$$f(x)=x^2-2x+C.$$

代入 $f(2)=0$，得 $C=0$，故 $f(1)=-1$。再由周期性和奇偶性，

$$f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=1.$$

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8. 【2016-12-4 分】 已知函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(x-1),& x<1,\\ \ln x,& x\ge 1,\end{array}$$

则 $f(x)$ 的一个原函数是（ ）。

$$\begin{array}{rl}& A.F(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2,& x<1,\\ x(\ln x-1),& x\ge 1;\end{array}\\ & B.F(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2,& x<1,\\ x(\ln x+1)-1,& x\ge 1;\end{array}\\ & C.F(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2,& x<1,\\ x(\ln x+1)+1,& x\ge 1;\end{array}\\ & D.F(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2,& x<1,\\ x(\ln x-1)+1,& x\ge 1.\end{array}\end{array}$$

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答案： D。

解析： 当 $x<1$ 时，

$$\int 2(x-1)dx=(x-1{)}^2+C_1.$$

当 $x\ge 1$ 时，

$$\int \ln xdx=x\ln x-x+C_2=x(\ln x-1)+C_2.$$

原函数必须在 $x=1$ 处连续。选项中左支在 $x=1$ 处的极限为 $0$，故右支也应满足

$$-1+C_2=0,$$

即 $C_2=1$。因此应选 D。A 在连接点不连续；B、C 的右支求导分别不是 $\ln x$。

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9. 【2024-2-5 分】

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},& x\le 0,\\ (x+1)\cos x,& x>0,\end{array}$$

求 $f(x)$ 的原函数为（ ）。

$$\begin{array}{rl}& A.F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right),& x\le 0,\\ (x+1)\cos x-\sin x,& x>0;\end{array}\\ & B.F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1,& x\le 0,\\ (x+1)\cos x-\sin x,& x>0;\end{array}\\ & C.F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right),& x\le 0,\\ (x+1)\sin x+\cos x,& x>0;\end{array}\\ & D.F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1,& x\le 0,\\ (x+1)\sin x+\cos x,& x>0.\end{array}\end{array}$$

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答案： D。

解析： 当 $x\le 0$ 时，

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+C_1.$$

注意 $\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$ 的导数为 $-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，故 A、B、C 的左支不符合题意。

当 $x>0$ 时，利用分部积分，

$$\begin{array}{rl}\int (x+1)\cos xdx& =\int x\cos xdx+\int \cos xdx\\ & =x\sin x+\cos x+\sin x+C_2\\ & =(x+1)\sin x+\cos x+C_2.\end{array}$$

为使原函数在 $x=0$ 处连续，左右两支在 $x=0$ 处的值应相等。选项 D 中左支值为 $1$，右支极限也为 $1$，故 D 正确。