大题

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11. 【1996-45-6 分】 设某种商品的单价为$p$时，售出的商品数量$Q$可以表示成$Q=\frac{a}{p+b}-c$，其中$a,b,c$均为正数，且$a>bc$。

(1)求$p$在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；

(2)要使销售额最大，商品单价$p$应取何值？最大销售额是多少？

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答案： 在有经济意义的价格范围

$$0\le p\le \frac{a}{c}-b$$

内：

(1) 当

$$0\le p<\sqrt{\frac{ab}{c}}-b$$

时，销售额随价格增加而增加；当

$$\sqrt{\frac{ab}{c}}-b<p\le \frac{a}{c}-b$$

时，销售额随价格增加而减少；

(2) 最优单价为

$$p^{\ast }=\sqrt{\frac{ab}{c}}-b,$$

最大销售额为

$$R_{\max }=a+bc-2\sqrt{abc}={\left(\sqrt{a}-\sqrt{bc}\right)}^2.$$

解析： 销售额函数为

$$\begin{array}{rl}R(p)& =pQ\\ & =p\left(\frac{a}{p+b}-c\right)\\ & =\frac{ap}{p+b}-cp.\end{array}$$

为了使销售量非负，应有

$$\frac{a}{p+b}-c\ge 0,$$

即

$$0\le p\le \frac{a}{c}-b.$$

求导得

$$R^{\prime }(p)=\frac{ab}{(p+b{)}^2}-c.$$

令 $R^{\prime }(p)=0$，得

$$(p+b{)}^2=\frac{ab}{c}.$$

由于 $p+b>0$，故

$$p^{\ast }=\sqrt{\frac{ab}{c}}-b.$$

由 $a>bc$ 可知 $p^{\ast }>0$。当

$$p<p^{\ast }$$

时，$R^{\prime }(p)>0$；当

$$p>p^{\ast }$$

时，$R^{\prime }(p)<0$。因此销售额先增加后减少，且在 $p=p^{\ast }$ 时取得最大值。

将 $p^{\ast }$ 代入，利用

$$R(p)=a-\frac{ab}{p+b}-cp,$$

得

$$\begin{array}{rl}{R}_{\max }& =a-\frac{ab}{\sqrt{ab/c}}-c\left(\sqrt{\frac{ab}{c}}-b\right)\\ & =a-\sqrt{abc}-\sqrt{abc}+bc\\ & =a+bc-2\sqrt{abc}\\ & ={\left(\sqrt{a}-\sqrt{bc}\right)}^2.\end{array}$$

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12. 【1997-4-7 分】 假设某种商品的需求量$Q$是单价$p$(单位：元)的函数：$Q=12000-80p$，商品的总成本是需求量的函数：$C=25000+50Q$，每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额。

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答案： 使销售利润最大的商品单价为

$$p=101\text{ 元},$$

最大利润额为

$$167080\text{ 元}.$$

解析： 每单位商品需纳税 $2$ 元，因此总税额为 $2Q$。销售利润为

$$\begin{array}{rl}L& =pQ-C-2Q\\ & =pQ-(25000+50Q)-2Q\\ & =(p-52)Q-25000.\end{array}$$

代入需求函数 $Q=12000-80p$，得

$$\begin{array}{rl}L(p)& =(p-52)(12000-80p)-25000\\ & =-80p^2+16160p-649000.\end{array}$$

于是

$$L^{\prime }(p)=-160p+16160.$$

令 $L^{\prime }(p)=0$，得

$$p=101.$$

又

$$L^{\prime \prime }(p)=-160<0,$$

故 $p=101$ 元时利润最大。

此时需求量为

$$Q=12000-80\times 101=3920.$$

最大利润为

$$\begin{array}{rl}{L}_{\max }& =(101-52)\times 3920-25000\\ & =167080\text{ 元}.\end{array}$$

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13. 【1997-3-6 分】 一商家销售某种商品的价格满足关系$p=7-0.2x$(万元/吨)，$x$为销售量(单位：吨)，商品的成本函数$C=3x+1$(万元)。 (1)若每销售一吨商品，政府要征税$t$(万元)，求该商家获最大利润时的销售量； (2)$t$为何值时，政府税收总额最大。

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答案： (1) 当 $0\le t<4$ 时，商家获最大利润时的销售量为

$$x=10-\frac{5}{2}t.$$

当 $t\ge 4$ 时，最优销售量为 $x=0$。

(2) 当

$$t=2\text{ 万元/吨}$$

时，政府税收总额最大，最大税收为 $10$ 万元。

解析： 销售收入为

$$R(x)=px=(7-0.2x)x.$$

每销售一吨征税 $t$ 万元，故总税额为 $tx$。商家的利润函数为

$$\begin{array}{rl}L(x)& =R(x)-C(x)-tx\\ & =(7-0.2x)x-(3x+1)-tx\\ & =-0.2x^2+(4-t)x-1.\end{array}$$

于是

$$L^{\prime }(x)=-0.4x+4-t,$$

且

$$L^{\prime \prime }(x)=-0.4<0.$$

当 $0\le t<4$ 时，令 $L^{\prime }(x)=0$，得

$$x^{\ast }=\frac{4-t}{0.4}=10-\frac{5}{2}t.$$

由于二阶导数恒为负，$x^{\ast }$ 为唯一的最大利润点。

当 $t\ge 4$ 时，对任意 $x>0$ 都有 $L^{\prime }(x)<0$，故利润随销售量增加而减少，最优销售量为 $x=0$。

政府税收总额为

$$\begin{array}{rl}T(t)& =t{x}^{\ast }\\ & =t\left(10-\frac{5}{2}t\right)\\ & =10t-\frac{5}{2}{t}^2,0\le t\le 4.\end{array}$$

因此

$$T^{\prime }(t)=10-5t,T^{\prime \prime }(t)=-5<0.$$

令 $T^{\prime }(t)=0$，得 $t=2$。此时

$$x^{\ast }=10-\frac{5}{2}\times 2=5,$$

故最大税收为

$$T_{\max }=2\times 5=10\text{ 万元}.$$

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14. 【1997-3-6 分】 在经济学中，称函数$Q(x)=A[\delta K^{-x}+(1-\delta )L^{-x}{]}^{-\frac{1}{x}}$为固定替代弹性生产函数，而称函数$\bar{Q}=A{K}^{\delta }{L}^{1-\delta }$为C-D生产函数(简称C-D生产函数)。试证明：当$x\to 0$时，固定替代弹性生产函数变为C-D生产函数，即有${\lim }_{x\to 0}Q(x)=\bar{Q}$。

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答案：

$$\underset{x\to 0}{\lim }Q(x)=A{K}^{\delta }{L}^{1-\delta }=\bar{Q}.$$

解析： 设

$$S(x)=\delta K^{-x}+(1-\delta )L^{-x}.$$

则

$$Q(x)=A[S(x){]}^{-1/x}.$$

由于

$$S(0)=\delta +(1-\delta )=1,$$

故

$$\ln \frac{Q(x)}{A}=-\frac{\ln S(x)}{x}.$$

当 $x\to 0$ 时，上式右端为 $\frac{0}{0}$ 型。由洛必达法则，

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\ln \frac{Q(x)}{A}& =\underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{S^{\prime }(x)}{S(x)}\right)\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\delta (\ln K)K^{-x}+(1-\delta )(\ln L)L^{-x}}{\delta K^{-x}+(1-\delta )L^{-x}}\\ & =\delta \ln K+(1-\delta )\ln L.\end{array}$$

于是

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{Q(x)}{A}& =\exp \left[\delta \ln K+(1-\delta )\ln L\right]\\ & =K^{\delta }{L}^{1-\delta }.\end{array}$$

因此

$$\underset{x\to 0}{\lim }Q(x)=A{K}^{\delta }{L}^{1-\delta }=\bar{Q}.$$

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15. 【1998-34-6 分】 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定$t=0$)就售出，总收入为$R_0$(元)，如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，$t$年末总收入为$R=R_0{e}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}}$。假定银行的年利率为$r$，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求$r=0.06$时的$t$值。

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答案： 当

$$t=\frac{1}{25r^2}$$

时售出，可使总收入的现值最大。

当 $r=0.06$ 时，

$$t=\frac{100}{9}\approx 11.11\text{ 年}.$$

解析： 连续复利率为 $r$ 时，$t$ 年末收入的现值为

$$\begin{array}{rl}V(t)& =R(t)e^{-rt}\\ & =R_0{e}^{\frac{2}{5}\sqrt{t}-rt},t\ge 0.\end{array}$$

由于指数函数严格递增，只需使

$$\phi (t)=\frac{2}{5}\sqrt{t}-rt$$

取得最大值。

对 $t>0$，有

$${\phi }^{\prime }(t)=\frac{1}{5\sqrt{t}}-r.$$

令 ${\phi }^{\prime }(t)=0$，得

$$\sqrt{t}=\frac{1}{5r},$$

即

$$t^{\ast }=\frac{1}{25r^2}.$$

又

$${\phi }^{\prime \prime }(t)=-\frac{1}{10t^{3/2}}<0,$$

故 $t^{\ast }$ 为极大值点。并且当 $t\to +\infty$ 时，$\phi (t)\to -\infty$，故该极大值也是全局最大值。

当 $r=0.06$ 时，

$$t^{\ast }=\frac{1}{25(0.06{)}^2}=\frac{1}{0.09}=\frac{100}{9}\approx \mathrm{11.11.}$$

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16. 【2000-34-6 分】 假设某企业在两个相互分割的市场出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$p_1=18-2Q_1$，$p_2=12-Q_2$，其中$p_1$和$p_2$分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是$C=2Q+5$，其中$Q$表示该产品在两个市场的销售总量，即$Q=Q_1+Q_2$。 (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； (2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。

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答案： (1) 实行价格差别策略时，

$$Q_1=4,p_1=10;Q_2=5,p_2=7,$$

最大利润为

$${\pi }_d=52.$$

(2) 实行统一价格策略时，统一价格为

$$p=8,$$

两个市场的销售量分别为

$$Q_1=5,Q_2=4,$$

最大利润为

$${\pi }_u=49.$$

因此价格差别策略比统一价格策略多获利润

$$52-49=3.$$

解析： (1) 实行价格差别策略时，总利润为

$$\begin{array}{rl}\pi (Q_1,Q_2)& =p_1{Q}_1+p_2{Q}_2-C\\ & =(18-2Q_1)Q_1+(12-Q_2)Q_2\\ & -2(Q_1+Q_2)-5\\ & =16Q_1-2Q_1^2+10Q_2-Q_2^2-5.\end{array}$$

一阶偏导数为

$${\pi }_{Q_1}=16-4Q_1,{\pi }_{Q_2}=10-2Q_2.$$

令其均为零，得

$$Q_1=4,Q_2=5.$$

由于

$${\pi }_{Q_1{Q}_1}=-4<0,{\pi }_{Q_2{Q}_2}=-2<0,{\pi }_{Q_1{Q}_2}=0,$$

Hesse 矩阵负定，故该点为唯一最大值点。

相应价格为

$$p_1=18-2\times 4=10,$$$$p_2=12-5=7.$$

最大利润为

$$\begin{array}{rl}{\pi }_d& =10\times 4+7\times 5-[2(4+5)+5]\\ & =75-23\\ & =52.\end{array}$$

(2) 实行统一价格策略。若两个市场均有销售，则 $0\le p\le 12$，并且

$$Q_1=\frac{18-p}{2},Q_2=12-p.$$

总销售量为

$$Q=Q_1+Q_2=21-\frac{3}{2}p.$$

利润函数为

$$\begin{array}{rl}\pi (p)& =pQ-[2Q+5]\\ & =(p-2)\left(21-\frac{3}{2}p\right)-5\\ & =-\frac{3}{2}{p}^2+24p-47.\end{array}$$

于是

$${\pi }^{\prime }(p)=-3p+24.$$

令 ${\pi }^{\prime }(p)=0$，得

$$p=8.$$

又

$${\pi }^{\prime \prime }(p)=-3<0,$$

故 $p=8$ 时利润最大。此时

$$Q_1=\frac{18-8}{2}=5,Q_2=12-8=4.$$

最大利润为

$${\pi }_u=(8-2)(5+4)-5=49.$$

还需考察只向第一个市场销售的情形。若 $12<p\le 18$，则

$$Q_1=\frac{18-p}{2},Q_2=0.$$

此时

$${\pi }_1(p)=\frac{(p-2)(18-p)}{2}-5,$$

且在 $p\ge 12$ 上

$${\pi }_1^{\prime }(p)=10-p<0.$$

故该区间最大利润在 $p=12$ 处取得，仅为 $25<49$。因此统一价格策略的全局最优解确为 $p=8$。

比较得

$${\pi }_d=52>49={\pi }_u.$$

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17. 【2001-4-7 分】 某商品进价为$a$(元/件)，根据以往经验，当销售价为$b$(元/件)时，销售量为$c$件（$a,b,c$均为正常数，且$b\ge \frac{4}{3}a$），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。

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答案： 当销售价定为

$$p=\frac{5}{8}b+\frac{1}{2}a$$

时，可获得最大利润，最大利润为

$$L_{\max }=\frac{c(5b-4a{)}^2}{16b}\text{ 元}.$$

解析： 设降价后增加的销售量为 $x$ 件。由“销售价每下降 $10\%$，销售量增加 $40\%$”可知，价格下降量与销售增加量成线性关系。

当销售量增加 $0.4c$ 件时，价格下降 $0.1b$ 元，因此

$$\frac{\text{价格下降量}}{\text{销售增加量}}=\frac{0.1b}{0.4c}=\frac{b}{4c}.$$

故销售量增加 $x$ 件时，销售价格为

$$p=b-\frac{b}{4c}x.$$

此时总销售量为 $c+x$，利润函数为

$$\begin{array}{rl}L(x)& =(p-a)(c+x)\\ & =\left(b-\frac{b}{4c}x-a\right)(c+x).\end{array}$$

求导得

$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(x)& =b-a-\frac{b}{4c}x-\frac{b}{4c}(c+x)\\ & =\frac{3b}{4}-a-\frac{b}{2c}x.\end{array}$$

令 $L^{\prime }(x)=0$，得

$$x^{\ast }=\frac{c(3b-4a)}{2b}.$$

由 $b\ge \frac{4}{3}a$，知 $x^{\ast }\ge 0$。又

$$L^{\prime \prime }(x)=-\frac{b}{2c}<0,$$

故 $x^{\ast }$ 为最大利润点。

相应销售价格为

$$\begin{array}{rl}{p}^{\ast }& =b-\frac{b}{4c}{x}^{\ast }\\ & =b-\frac{3b-4a}{8}\\ & =\frac{5}{8}b+\frac{1}{2}a.\end{array}$$

此时每件利润为

$$\begin{array}{rl}{p}^{\ast }-a& =\frac{5b+4a}{8}-a\\ & =\frac{5b-4a}{8},\end{array}$$

总销售量为

$$\begin{array}{rl}c+x^{\ast }& =c+\frac{c(3b-4a)}{2b}\\ & =\frac{c(5b-4a)}{2b}.\end{array}$$

因此最大利润为

$$\begin{array}{rl}{L}_{\max }& =(p^{\ast }-a)(c+x^{\ast })\\ & =\frac{5b-4a}{8}\cdot \frac{c(5b-4a)}{2b}\\ & =\frac{c(5b-4a{)}^2}{16b}\text{ 元}.\end{array}$$

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18. 【2002-4-7 分】 设某商品的需求量$Q$是价格$p$的单调减少函数：$Q=Q(p)$，其需求弹性$\eta =\frac{2p^2}{192-p^2}>0$。

(1)设$R$为总收益函数，证明$\frac{dR}{dp}=Q(1-\eta )$；

(2)求$p=6$时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。

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答案： (1)

$$\frac{dR}{dp}=Q(1-\eta ).$$

(2)当 $p=6$ 时，总收益对价格的弹性为

$$E_R=\frac{7}{13}.$$

其经济意义是：在 $p=6$ 附近，价格每提高 $1\%$，总收益约提高 $\frac{7}{13}\%$；价格每降低 $1\%$，总收益约降低 $\frac{7}{13}\%$。

解析： 由于需求量 $Q=Q(p)$ 随价格单调减少，需求弹性定义为

$$\eta =-\frac{p}{Q}\frac{dQ}{dp}.$$

总收益为

$$R=pQ(p).$$

因此

$$\begin{array}{rl}\frac{dR}{dp}& =Q+p\frac{dQ}{dp}\\ & =Q\left(1+\frac{p}{Q}\frac{dQ}{dp}\right)\\ & =Q(1-\eta ).\end{array}$$

故(1)得证。

总收益对价格的弹性为

$$E_R=\frac{p}{R}\frac{dR}{dp}.$$

由 $R=pQ$ 及(1)，得

$$\begin{array}{rl}{E}_R& =\frac{p}{pQ}\cdot Q(1-\eta )\\ & =1-\eta .\end{array}$$

当 $p=6$ 时，

$$\eta (6)=\frac{2\times 6^2}{192-6^2}=\frac{72}{156}=\frac{6}{13}.$$

所以

$$E_R=1-\frac{6}{13}=\frac{7}{13}.$$

由于 $E_R>0$，总收益与价格在该点附近同方向变动。

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19. 【2003-4-8 分】 设某商品从时刻0到时刻$t$的销售量为$x(t)=kt$，$t\in [0,T]$，$(k>0)$。欲在$T$时将数量为$A$的该商品销售完，试求：

(1)$t$时的商品剩余量，并确定$k$的值；

(2)在时间段$[0,T]$上的平均剩余量。

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答案： (1)

$$k=\frac{A}{T},S(t)=A\left(1-\frac{t}{T}\right).$$

(2)平均剩余量为

$$\overline{S}=\frac{A}{2}.$$

解析： 由题意，$x(t)=kt$ 表示从时刻 $0$ 到时刻 $t$ 的累计销售量。

因此，时刻 $t$ 的剩余量为

$$S(t)=A-x(t)=A-kt.$$

在 $T$ 时商品恰好销售完，故

$$x(T)=kT=A,$$

从而

$$k=\frac{A}{T}.$$

因此

$$S(t)=A-\frac{A}{T}t=A\left(1-\frac{t}{T}\right).$$

时间段 $[0,T]$ 上的平均剩余量为

$$\begin{array}{rl}\overline{S}& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}S(t)dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}A\left(1-\frac{t}{T}\right)dt\\ & =\frac{A}{T}{\left[t-\frac{t^2}{2T}\right]}_0^T\\ & =\frac{A}{T}\cdot \frac{T}{2}\\ & =\frac{A}{2}.\end{array}$$

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20. 【2004-34-9 分】 设某商品的需求函数为$Q=100-5P$，其中价格$P\in (0,20)$，$Q$为需求量。

(1)求需求量对价格的弹性$E_d(E_d>0)$；

(2)推导$\frac{dR}{dP}=Q(1-E_d)$（其中$R$为收益），并用弹性$E_d$说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。

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答案： (1)

$$E_d=\frac{P}{20-P}.$$

(2)

$$\frac{dR}{dP}=Q(1-E_d).$$

当

$$10<P<20$$

时，降低价格会使收益增加。

解析： 需求量对价格的弹性定义为

$$E_d=-\frac{P}{Q}\frac{dQ}{dP}.$$

由

$$Q=100-5P$$

得

$$\frac{dQ}{dP}=-5.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{E}_d& =-\frac{P}{100-5P}(-5)\\ & =\frac{5P}{100-5P}\\ & =\frac{P}{20-P}.\end{array}$$

总收益为

$$R=PQ(P).$$

故

$$\begin{array}{rl}\frac{dR}{dP}& =Q+P\frac{dQ}{dP}\\ & =Q\left(1+\frac{P}{Q}\frac{dQ}{dP}\right)\\ & =Q(1-E_d).\end{array}$$

若降低价格时收益反而增加，则当 $dP<0$ 时应有 $dR>0$，因而需要

$$\frac{dR}{dP}<0.$$

又因 $Q>0$，故

$$1-E_d<0,$$

即

$$E_d>1.$$

代入 $E_d=\frac{P}{20-P}$，得

$$\frac{P}{20-P}>1.$$

由于 $0<P<20$，分母为正，于是

$$P>10.$$

故当 $10<P<20$ 时，降低价格会使收益增加。

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21. 【2012-3-10 分】 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为$x$(件)和$y$(件)，且这两种产品的边际成本分别为$20+\frac{x}{2}$(万元/件)与$6+y$(万元/件)。

(Ⅰ)求生产甲乙两种产品的总成本函数$C(x,y)$(万元)；

(Ⅱ)当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小，求最小总成本；

(Ⅲ)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

查看答案与解析

答案： (Ⅰ)

$$C(x,y)=10000+20x+\frac{x^2}{4}+6y+\frac{y^2}{2}.$$

(Ⅱ)当

$$x=24,y=26$$

时，总成本最小，最小总成本为

$$C_{\min }=11118\text{ 万元}.$$

(Ⅲ)甲产品的边际成本为

$$M{C}_x=32\text{ 万元/件}.$$

其经济意义是：在该最优产量附近，甲产品产量增加1件时，总成本约增加32万元；同时甲、乙两种产品的边际成本相等，无法再通过调整两种产品的产量结构降低总成本。

解析： 由边际成本的定义，

$$\frac{\partial C}{\partial x}=20+\frac{x}{2},\frac{\partial C}{\partial y}=6+y.$$

先对 $x$ 积分，得

$$C(x,y)=20x+\frac{x^2}{4}+\phi (y).$$

再由

$$\frac{\partial C}{\partial y}={\phi }^{\prime }(y)=6+y$$

可得

$$\phi (y)=6y+\frac{y^2}{2}+C_0.$$

固定成本为 $10000$ 万元，即

$$C(0,0)=10000,$$

故 $C_0=10000$。于是

$$C(x,y)=10000+20x+\frac{x^2}{4}+6y+\frac{y^2}{2}.$$

当总产量为 $50$ 件时，约束为

$$x+y=50.$$

令 $y=50-x$，则

$$\begin{array}{rl}C(x,50-x)& =10000+20x+\frac{x^2}{4}+6(50-x)+\frac{(50-x{)}^2}{2}.\end{array}$$

求导得

$$\begin{array}{rl}\frac{dC}{dx}& =20+\frac{x}{2}-6-(50-x)\\ & =\frac{3x}{2}-36.\end{array}$$

令 $\frac{dC}{dx}=0$，得

$$x=24,y=50-24=26.$$

又

$$\frac{d^{2}C}{d{x}^2}=\frac{3}{2}>0,$$

故此时总成本最小。

最小总成本为

$$\begin{array}{rl}{C}_{\min }& =10000+20\times 24+\frac{24^2}{4}+6\times 26+\frac{26^2}{2}\\ & =10000+480+144+156+338\\ & =11118\text{ 万元}.\end{array}$$

此时甲产品的边际成本为

$$M{C}_x=20+\frac{24}{2}=32\text{ 万元/件}.$$

同时乙产品的边际成本为

$$M{C}_y=6+26=32\text{ 万元/件}.$$

二者相等，这也说明在总产量固定时，当前产量分配已达到成本最小状态。

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22. 【2013-3-10 分】 设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为$P=60-\frac{Q}{1000}$，($P$是单价，单位：元，$Q$是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：

(1)该商品的边际利润。

(2)当$P=50$时的边际利润，并解释其经济意义。

(3)使得利润最大的定价$P$。

查看答案与解析

答案： (1)边际利润为

$$L^{\prime }(Q)=40-\frac{Q}{500}\text{ 元/件}.$$

(2)当 $P=50$ 时，

$$L^{\prime }(Q)=20\text{ 元/件}.$$

其经济意义是：在当前产销量附近，每增加销售1件产品，企业利润约增加20元。

(3)使利润最大的定价为

$$P=40\text{ 元}.$$

解析： 总收益为

$$\begin{array}{rl}R(Q)& =PQ\\ & =\left(60-\frac{Q}{1000}\right)Q\\ & =60Q-\frac{Q^2}{1000}.\end{array}$$

总成本为

$$C(Q)=60000+20Q.$$

因此利润函数为

$$\begin{array}{rl}L(Q)& =R(Q)-C(Q)\\ & =40Q-\frac{Q^2}{1000}-60000.\end{array}$$

故边际利润为

$$L^{\prime }(Q)=40-\frac{Q}{500}.$$

当 $P=50$ 时，由价格函数

$$50=60-\frac{Q}{1000}$$

得

$$Q=10000.$$

于是

$$L^{\prime }(10000)=40-\frac{10000}{500}=20\text{ 元/件}.$$

为求利润最大值，令

$$L^{\prime }(Q)=0,$$

即

$$40-\frac{Q}{500}=0,$$

解得

$$Q=20000.$$

又

$$L^{\prime \prime }(Q)=-\frac{1}{500}<0,$$

故此时利润取得最大值。

对应价格为

$$P=60-\frac{20000}{1000}=40\text{ 元}.$$

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23. 【2015-3-10 分】 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设$Q$为该商品的需求量，$p$为价格，$MC$为边际成本，$\eta$为需求弹性$(\eta >0)$。

(1)证明定价模型为$p=\frac{MC}{1-\frac{1}{\eta }}$；

(2)若该商品的成本函数为$C(Q)=1600+Q^2$，需求函数为$Q=40-p$，试由(1)中的定价模型确定此商品的价格。

查看答案与解析

答案： (1)利润最大化定价模型为

$$p=\frac{MC}{1-\frac{1}{\eta }}.$$

(2)该商品的最优价格为

$$p=30.$$

解析： (1)设利润函数为

$$L(Q)=p(Q)Q-C(Q).$$

利润最大时应满足一阶必要条件

$$L^{\prime }(Q)=0,$$

即

$$p+Q\frac{dp}{dQ}-MC=0.$$

按需求弹性的通常定义，

$$\eta =-\frac{p}{Q}\frac{dQ}{dp}>0.$$

由此得

$$\frac{dQ}{dp}=-\frac{\eta Q}{p},$$

从而

$$\frac{dp}{dQ}=-\frac{p}{\eta Q}.$$

代入利润最大化的一阶条件，得

$$\begin{array}{rl}MC& =p+Q\frac{dp}{dQ}\\ & =p-Q\frac{p}{\eta Q}\\ & =p\left(1-\frac{1}{\eta }\right).\end{array}$$

因此

$$\boxed{p=\frac{MC}{1-\frac{1}{\eta }}}.$$

这也表明，要使最优价格为正且高于边际成本，通常需要

$$\eta >1.$$

(2)由成本函数

$$C(Q)=1600+Q^2$$

得边际成本

$$MC=C^{\prime }(Q)=2Q.$$

由需求函数

$$Q=40-p$$

可得

$$\frac{dQ}{dp}=-1,$$

故需求弹性为

$$\eta =-\frac{p}{Q}\frac{dQ}{dp}=\frac{p}{Q}.$$

将其代入定价模型，得

$$p=\frac{2Q}{1-\frac{Q}{p}}.$$

整理得

$$\begin{array}{rl}p\left(1-\frac{Q}{p}\right)& =2Q,\\ p-Q& =2Q,\\ p& =3Q.\end{array}$$

又由

$$p+Q=40,$$

解得

$$Q=10,p=30.$$

因此该商品的最优价格为

$$\boxed{p=30}.$$

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24. 【2016-3-10 分】 设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数$Q=Q(p)$，需求弹性$\eta =\frac{p}{120-p}(\eta >0)$，$p$为单价(万元)。

(1)求需求函数的表达式；

(2)求$p=100$万元时的边际收益，并说明其经济意义。

查看答案与解析

答案： (1)需求函数为

$$Q=10(120-p)=1200-10p,0\le p<120.$$

(2)当 $p=100$ 万元时，边际收益为

$$MR=80\text{ 万元/件}.$$

其经济意义是：当单价为100万元、需求量为200件时，在当前产销量附近每增加销售1件商品，总收益约增加80万元。

解析： (1)由需求弹性的定义

$$\eta =-\frac{p}{Q}\frac{dQ}{dp}$$

以及题设

$$\eta =\frac{p}{120-p},$$

得

$$-\frac{p}{Q}\frac{dQ}{dp}=\frac{p}{120-p}.$$

当 $p>0$ 时，约去 $p$，得

$$\frac{1}{Q}\frac{dQ}{dp}=-\frac{1}{120-p}.$$

分离变量并积分：

$$\int \frac{dQ}{Q}=-\int \frac{dp}{120-p},$$

故

$$\ln Q=\ln (120-p)+C,$$

从而

$$Q=A(120-p),$$

其中 $A>0$ 为常数。

商品的最大需求量为1200件。价格最低取 $p=0$ 时需求量最大，因此

$$Q(0)=120A=1200,$$

解得

$$A=10.$$

所以需求函数为

$$\boxed{Q=10(120-p)=1200-10p}.$$

(2)当

$$p=100$$

时，需求量为

$$Q=1200-10\times 100=200.$$

由需求函数解出反需求函数

$$p=120-\frac{Q}{10}.$$

总收益为

$$\begin{array}{rl}R(Q)& =pQ\\ & =\left(120-\frac{Q}{10}\right)Q\\ & =120Q-\frac{Q^2}{10}.\end{array}$$

因此边际收益为

$$MR=R^{\prime }(Q)=120-\frac{Q}{5}.$$

在 $Q=200$ 时，

$$MR=120-\frac{200}{5}=80\text{ 万元/件}.$$

故

$$\boxed{MR=80\text{ 万元/件}}.$$