四、多元函数的极值｜大题·最值的计算与有界闭区域上的最值

大题

（二）最值的计算

1. 【1990-45-9 分】 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入 $R$（万元）与电台广告费用 $x_1$（万元）及报纸广告费用 $x_2$（万元）之间的关系有如下经验公式：

$$R=15+14x_1+32x_2-8x_1{x}_2-2x_1^2-10x_2^2.$$

(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2) 若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。

查看答案与解析

答案： (1) 电台广告费用为 $1.5$ 万元，报纸广告费用为 $1$ 万元时最优，最大销售收入为

$$\boxed{41.5\text{ 万元}}.$$

(2) 当广告费用总额为 $1.5$ 万元时，应全部用于报纸广告，即

$$\boxed{x_1=0,x_2=1.5},$$

此时销售收入最大，为

$$\boxed{40.5\text{ 万元}}.$$

解析： (1) 由

$$R_{x_1}=14-8x_2-4x_1,$$$$R_{x_2}=32-8x_1-20x_2,$$

令一阶偏导数为零，得

$$\{\begin{array}{l}14-8x_2-4x_1=0,\\ 32-8x_1-20x_2=0.\end{array}$$

化简为

$$\{\begin{array}{l}2x_1+4x_2=7,\\ 2x_1+5x_2=8,\end{array}$$

解得

$$x_1=\frac{3}{2},x_2=1.$$

二阶偏导数为

$$R_{x_1{x}_1}=-4,R_{x_1{x}_2}=-8,R_{x_2{x}_2}=-20.$$

Hessian 行列式为

$$(-4)(-20)-(-8{)}^2=16>0,$$

且 $R_{x_1{x}_1}<0$，故该驻点为严格极大值点。又因为 $R$ 是严格凹二次函数，所以它也是全局最大值点。

代入得

$$R\left(\frac{3}{2},1\right)=15+14\cdot \frac{3}{2}+32-8\cdot \frac{3}{2}-2{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-10=\frac{83}{2}.$$

因此最大销售收入为 $41.5$ 万元。

(2) 广告费用总额为 $1.5$ 万元，故

$$x_1+x_2=\frac{3}{2},x_1\ge 0,x_2\ge 0.$$

令

$$x_2=\frac{3}{2}-x_1,0\le x_1\le \frac{3}{2}.$$

代入收益函数，得

$$R(x_1)=15+14x_1+32\left(\frac{3}{2}-x_1\right)-8x_1\left(\frac{3}{2}-x_1\right)-2x_1^2-10{\left(\frac{3}{2}-x_1\right)}^2.$$

整理得

$$R(x_1)=\frac{81}{2}-4x_1^2.$$

在区间 $\left[0,\frac{3}{2}\right]$ 上，$R(x_1)$ 在 $x_1=0$ 时取得最大值。因此

$$x_1=0,x_2=\frac{3}{2},$$

且

$$R_{\max }=\frac{81}{2}=\mathrm{40.5.}$$

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2. 【1994-2-6 分】 在椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上求一点，使其到直线 $2x+3y-6=0$ 的距离最短。

查看答案与解析

答案： 所求点为

$$\boxed{\left(\frac{8}{5},\frac{3}{5}\right)},$$

最短距离为

$$\boxed{\frac{1}{\sqrt{13}}}.$$

解析： 椭圆可参数化为

$$x=2\cos t,y=\sin t.$$

椭圆上任一点到直线 $2x+3y-6=0$ 的距离为

$$d=\frac{|2x+3y-6|}{\sqrt{13}}.$$

在椭圆上，

$$2x+3y=4\cos t+3\sin t\le \sqrt{4^2+3^2}=5.$$

因此

$$2x+3y-6\le -1<0,$$

从而

$$d=\frac{6-2x-3y}{\sqrt{13}}.$$

要使距离最短，只需使 $2x+3y$ 最大。由

$$4\cos t+3\sin t\le 5,$$

等号成立当且仅当

$$\cos t=\frac{4}{5},\sin t=\frac{3}{5}.$$

故

$$x=2\cos t=\frac{8}{5},y=\sin t=\frac{3}{5}.$$

此时

$$d_{\min }=\frac{6-5}{\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}.$$

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3. 【1999-34-6 分】 设生产某种产品必须投入两种要素，$x_1$ 和 $x_2$ 分别为两要素的投入量，$Q$ 为产出量；若生产函数为 $Q=2x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }$，其中 $\alpha$，$\beta$ 为正常数，且 $\alpha +\beta =1$。假设两种要素的价格分别为 $p_1$ 和 $p_2$，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

查看答案与解析

答案： 当

$$\boxed{x_1=6{\left(\frac{\alpha p_2}{\beta p_1}\right)}^{\beta }},$$$$\boxed{x_2=6{\left(\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}\right)}^{\alpha }}$$

时，投入总费用最小。

解析： 产出量为 $12$，故约束条件为

$$2x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }=12,$$

即

$$x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }=6.$$

投入总费用为

$$C=p_1{x}_1+p_2{x}_2.$$

构造拉格朗日函数

$$L=p_1{x}_1+p_2{x}_2+\lambda \left(6-x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }\right).$$

由

$$L_{x_1}=p_1-\lambda \alpha x_1^{\alpha -1}{x}_2^{\beta }=0,$$$$L_{x_2}=p_2-\lambda \beta x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta -1}=0,$$

结合 $x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }=6$，得

$$p_1{x}_1=6\lambda \alpha ,p_2{x}_2=6\lambda \beta .$$

于是

$$\frac{p_1{x}_1}{p_2{x}_2}=\frac{\alpha }{\beta },$$

即

$$x_2=\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}{x}_1.$$

代入约束条件，利用 $\alpha +\beta =1$，有

$$x_1^{\alpha }{\left(\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}{x}_1\right)}^{\beta }=6,$$

所以

$$x_1{\left(\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}\right)}^{\beta }=6,$$

从而

$$x_1=6{\left(\frac{\alpha p_2}{\beta p_1}\right)}^{\beta }.$$

进一步得到

$$x_2=\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}{x}_1=6{\left(\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}\right)}^{\alpha }.$$

当 $x_1\to 0^{+}$ 或 $x_1\to +\infty$ 时，在约束条件下总费用均趋于 $+\infty$，而上述驻点唯一，因此该点给出全局最小费用。

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4. 【2008-24-11 分】 求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $z=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=4$ 下的最大值与最小值。

查看答案与解析

答案：

$$\boxed{u_{\min }=6},$$

在点

$$\boxed{(1,1,2)}$$

处取得；

$$\boxed{u_{\max }=72},$$

在点

$$\boxed{(-2,-2,8)}$$

处取得。

解析： 由约束条件

$$z=x^2+y^2,$$

有 $z\ge 0$。另一个约束给出

$$x+y=4-z.$$

由柯西不等式，

$$(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)=2z.$$

故

$$(4-z{)}^2\le 2z.$$

化简得

$$z^2-10z+16\le 0,$$

即

$$2\le z\le 8.$$

目标函数可写为

$$u=x^2+y^2+z^2=z+z^2.$$

由于 $z\ge 0$，函数 $z+z^2$ 严格递增，故

$$u_{\min }=2+2^2=6,$$$$u_{\max }=8+8^2=72.$$

当 $z=2$ 时，

$$x+y=2,x^2+y^2=2.$$

由

$$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy,$$

得 $xy=1$，因此 $x=y=1$。

当 $z=8$ 时，

$$x+y=-4,x^2+y^2=8.$$

同理得 $xy=4$，故 $x=y=-2$。

所以最小值在 $(1,1,2)$ 处取得，最大值在 $(-2,-2,8)$ 处取得。

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5. 【2008-1-11 分】 已知曲线 $C:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2z^2=0\\ x+y+3z=5\end{array}$，求曲线 $C$ 上距离 $xOy$ 平面最远的点和最近的点。

查看答案与解析

答案： 距离 $xOy$ 平面最近的点为

$$\boxed{(1,1,1)},$$

最近距离为

$$\boxed{1};$$

距离 $xOy$ 平面最远的点为

$$\boxed{(-5,-5,5)},$$

最远距离为

$$\boxed{5}.$$

解析： 点 $(x,y,z)$ 到 $xOy$ 平面的距离为

$$|z|.$$

由曲线方程，

$$x^2+y^2=2z^2,$$$$x+y=5-3z.$$

由柯西不等式，

$$(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)=4z^2.$$

因此

$$(5-3z{)}^2\le 4z^2.$$

化简得

$$5z^2-30z+25\le 0,$$

即

$$z^2-6z+5\le 0.$$

故

$$1\le z\le 5.$$

特别地，曲线上的 $z$ 恒为正，因此距离就是 $z$。于是最近距离对应 $z=1$，最远距离对应 $z=5$。

当 $z=1$ 时，

$$x+y=2,x^2+y^2=2.$$

由此得 $xy=1$，故

$$x=y=1.$$

所以最近点为 $(1,1,1)$。

当 $z=5$ 时，

$$x+y=-10,x^2+y^2=50.$$

由此得 $xy=25$，故

$$x=y=-5.$$

所以最远点为 $(-5,-5,5)$。

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6. 【2010-3-10 分】 求函数 $u=xy+2yz$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=10$ 下的最大值和最小值。

查看答案与解析

答案： 最大值为

$$\boxed{5\sqrt{5}},$$

可在点

$$(1,\sqrt{5},2),(-1,-\sqrt{5},-2)$$

处取得；最小值为

$$\boxed{-5\sqrt{5}},$$

可在点

$$(-1,\sqrt{5},-2),(1,-\sqrt{5},2)$$

处取得。

解析： 将函数写成

$$u=y(x+2z).$$

由柯西不等式，

$$(x+2z{)}^2\le (1^2+2^2)(x^2+z^2)=5(x^2+z^2).$$

又由约束条件

$$x^2+z^2=10-y^2,$$

故

$$u^2=y^2(x+2z{)}^2\le 5y^2(10-y^2).$$

令 $t=y^2$，则 $0\le t\le 10$，并且

$$5t(10-t)=125-5(t-5{)}^2\le 125.$$

因此

$$|u|\le 5\sqrt{5}.$$

当且仅当

$$y^2=5$$

且向量 $(x,z)$ 与 $(1,2)$ 共线时，等号成立。

由

$$x^2+z^2=5$$

可得

$$(x,z)=(1,2)\text{或}(-1,-2).$$

根据 $y$ 与 $x+2z$ 的符号组合，即得上述最大值点与最小值点。

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7. 【2013-2-10 分】 求曲线 $x^3-xy+y^3=1(x\ge 0,y\ge 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

查看答案与解析

答案： 最短距离为

$$\boxed{1},$$

在点 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 处取得；最长距离为

$$\boxed{\sqrt{2}},$$

在点 $(1,1)$ 处取得。

解析： 设

$$s=x+y,p=xy.$$

由于 $x,y\ge 0$，故 $s\ge 0$，$p\ge 0$。原约束可化为

$$x^3+y^3-xy=1,$$

即

$$s^3-3ps-p=1.$$

因此

$$p=\frac{s^3-1}{3s+1}.$$

由 $p\ge 0$ 得 $s\ge 1$。

又因为 $x,y$ 为方程

$$t^2-st+p=0$$

的两个非负实根，故判别式满足

$$s^2-4p\ge 0.$$

代入 $p$，得

$$s^2-4p=\frac{-s^3+s^2+4}{3s+1}=\frac{(2-s)(s^2+s+2)}{3s+1}\ge 0.$$

所以

$$1\le s\le 2.$$

点到原点距离的平方为

$$r^2=x^2+y^2=s^2-2p=\frac{s^3+s^2+2}{3s+1}.$$

令

$$\phi (s)=\frac{s^3+s^2+2}{3s+1},$$

则

$${\phi }^{\prime }(s)=\frac{2(3s^3+3s^2+s-3)}{(3s+1{)}^2}.$$

当 $1\le s\le 2$ 时，

$$3s^3+3s^2+s-3>0,$$

故 $\phi (s)$ 严格递增。

于是

$$r_{omannumeral1}^2=\phi (1)=1,r_{omannumeral2}^2=\phi (2)=2.$$

当 $s=1$ 时，$p=0$，故点为 $(1,0)$ 或 $(0,1)$；当 $s=2$ 时，$p=1$，故 $x=y=1$。

因此最短距离为 $1$，最长距离为 $\sqrt{2}$。

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8. 【2018-123-10 分】 将长为 $2\mathrm{m}$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

查看答案与解析

答案： 存在最小值，且

$$\boxed{S_{\min }=\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}{\mathrm{m}}^2}.$$

此时围成圆、正方形、正三角形的三段铁丝长度分别为

$$\boxed{\frac{2\pi }{\pi +4+3\sqrt{3}},\frac{8}{\pi +4+3\sqrt{3}},\frac{6\sqrt{3}}{\pi +4+3\sqrt{3}}}\mathrm{m}.$$

解析： 设三段铁丝的长度分别为 $x,y,z$，则

$$x+y+z=2,x,y,z\ge 0.$$

圆、正方形和正三角形的面积分别为

$$S_1=\frac{x^2}{4\pi },S_2=\frac{y^2}{16},S_3=\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2.$$

故总面积为

$$S=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{y^2}{16}+\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2.$$

定义拉格朗日函数

$$L=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{y^2}{16}+\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2-\lambda (x+y+z-2).$$

由

$$L_x=\frac{x}{2\pi }-\lambda =0,$$$$L_y=\frac{y}{8}-\lambda =0,$$$$L_z=\frac{\sqrt{3}}{18}z-\lambda =0,$$

得

$$x=2\pi \lambda ,y=8\lambda ,z=6\sqrt{3}\lambda .$$

代入 $x+y+z=2$，得

$$\lambda =\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}.$$

于是

$$x=\frac{2\pi }{\pi +4+3\sqrt{3}},$$$$y=\frac{8}{\pi +4+3\sqrt{3}},$$$$z=\frac{6\sqrt{3}}{\pi +4+3\sqrt{3}}.$$

由于 $S$ 是严格凸二次函数，而约束集合为非空紧集，因此该驻点给出唯一的全局最小值。

又由驻点方程

$$\frac{x}{2\pi }=\frac{y}{8}=\frac{\sqrt{3}z}{18}=\lambda ,$$

有

$$2S=\lambda (x+y+z)=2\lambda .$$

故

$$S_{\min }=\lambda =\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}{\mathrm{m}}^2.$$

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9. 【2021-1-12 分】 求曲线 $C:\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2-z=6,\\ 4x+2y+z=30\end{array}$ 距离 $XOY$ 平面的最大值。

查看答案与解析

答案： 曲线 $C$ 到 $XOY$ 平面的最大距离为

$$\boxed{66},$$

在点

$$\boxed{(-8,-2,66)}$$

处取得。

解析： 由第二个约束，

$$z=30-4x-2y.$$

将其代入第一个约束，得

$$x^2+2y^2+4x+2y-36=0.$$

配方可得

$$(x+2{)}^2+2{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{81}{2}.$$

令

$$u=x+2,v=y+\frac{1}{2}.$$

则约束化为

$$u^2+2v^2=\frac{81}{2},$$

而

$$z=39-4u-2v.$$

由柯西不等式，

$$(4u+2v{)}^2\le \left(4^2+\frac{2^2}{2}\right)(u^2+2v^2).$$

因此

$$(4u+2v{)}^2\le 18\cdot \frac{81}{2}=729,$$

即

$$-27\le 4u+2v\le 27.$$

所以

$$12\le z=39-(4u+2v)\le 66.$$

可见曲线上的 $z$ 恒为正，因此点到 $XOY$ 平面的距离就是 $z$。

当 $4u+2v=-27$ 时，$z$ 取得最大值 $66$。等号条件给出

$$(u,v)=\left(-6,-\frac{3}{2}\right).$$

故

$$x=u-2=-8,y=v-\frac{1}{2}=-2,z=66.$$

因此最大距离为 $66$，对应点为 $(-8,-2,66)$。

（三）有界闭区域上的最值

1. 【1995-5-9 分】 求二元函数 $z=f(x,y)=x^{2}y(4-x-y)$ 在由直线 $x+y=6$、$x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的极值、最大值与最小值。

查看答案与解析

答案： 在区域 $D$ 的内部，函数仅有一个极大值点

$$(2,1),$$

极大值为

$$f(2,1)=4.$$

函数在 $D$ 上的最大值为

$$\boxed{4},$$

在点 $(2,1)$ 处取得；最小值为

$$\boxed{-64},$$

在点 $(4,2)$ 处取得。

若把边界点也按区域 $D$ 的相对邻域定义局部极值，则坐标轴上还存在若干非严格局部极值点，详见解析。

解析： 区域为

$$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 6\}.$$

先考查区域内部。由

$$f_x=xy(8-3x-2y),f_y=x^2(4-x-2y),$$

在 $D$ 内部有 $x>0,y>0$，故驻点满足

$$\{\begin{array}{l}8-3x-2y=0,\\ 4-x-2y=0.\end{array}$$

解得

$$(x,y)=(2,1).$$

二阶偏导数为

$$f_{xx}=y(8-6x-2y),$$$$f_{xy}=x(8-3x-4y),$$$$f_{yy}=-2x^2.$$

在 $(2,1)$ 处，

$$f_{xx}=-6,f_{xy}=-4,f_{yy}=-8,$$

从而

$$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2=48-16=32>0,$$

且 $f_{xx}<0$，所以 $(2,1)$ 是严格极大值点，

$$f(2,1)=4.$$

下面考查边界。

在 $x=0$ 或 $y=0$ 上，均有

$$f(x,y)=0.$$

在斜边 $x+y=6$ 上，令 $y=6-x$，其中 $0\le x\le 6$，则

$$f(x,6-x)=x^2(6-x)(-2)=2x^2(x-6).$$

记

$$\phi (x)=2x^2(x-6),$$

则

$${\phi }^{\prime }(x)=6x(x-4).$$

因此只需比较

$$\phi (0)=0,\phi (4)=-64,\phi (6)=0.$$

再与内部驻点的函数值 $4$ 比较，得到

$$\underset{D}{\max }f=4,\underset{D}{\min }f=-64.$$

补充说明：若按区域 $D$ 的相对邻域讨论边界局部极值，则

• 在 $x=0,0\le y<4$ 以及 $y=0,0\le x<4$ 上，函数值 $0$ 为非严格局部极小值；
• 在 $x=0,4<y\le 6$ 以及 $y=0,4<x\le 6$ 上，函数值 $0$ 为非严格局部极大值；
• $(4,2)$ 为严格局部极小值点，同时也是全局最小值点。

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2. 【2005-2-10 分】 已知函数 $z=f(x,y)$ 的全微分 $dz=2xdx-2ydy$，并且 $f(1,1)=2$，求 $f(x,y)$ 在椭圆域

$$D=\left\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\right\}$$

上的最大值和最小值。

查看答案与解析

答案：

$$f(x,y)=x^2-y^2+2.$$

在区域 $D$ 上，最大值为

$$\boxed{3},$$

在点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 处取得；最小值为

$$\boxed{-2},$$

在点 $(0,2)$ 和 $(0,-2)$ 处取得。

解析： 由全微分

$$df=2xdx-2ydy,$$

可知

$$f_x=2x,f_y=-2y.$$

对 $x$ 积分，得

$$f(x,y)=x^2+\phi (y).$$

再由

$${\phi }^{\prime }(y)=-2y,$$

得

$$f(x,y)=x^2-y^2+C.$$

利用条件 $f(1,1)=2$，有

$$1-1+C=2,$$

故 $C=2$，即

$$f(x,y)=x^2-y^2+2.$$

令

$$u=x^2,v=\frac{y^2}{4},$$

则

$$u\ge 0,v\ge 0,u+v\le 1,$$

且

$$f=2+u-4v.$$

这是三角形 $u\ge 0,v\ge 0,u+v\le 1$ 上的线性函数，其最大值和最小值必在顶点处取得。

三个顶点对应的函数值为

$$(u,v)=(0,0):f=2,$$$$(u,v)=(1,0):f=3,$$$$(u,v)=(0,1):f=-2.$$

因此最大值为 $3$，对应 $x^2=1,y=0$；最小值为 $-2$，对应 $x=0,y^2=4$。

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3. 【2005-4-8 分】 求 $f(x,y)=x^2-y^2+2$ 在椭圆域

$$D=\left\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\right\}$$

上的最大值和最小值。

查看答案与解析

答案： 函数在 $D$ 上的最大值为

$$\boxed{3},$$

在点 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 处取得；最小值为

$$\boxed{-2},$$

在点 $(0,2)$ 和 $(0,-2)$ 处取得。

解析： 令

$$u=x^2,v=\frac{y^2}{4}.$$

则椭圆域化为

$$u\ge 0,v\ge 0,u+v\le 1,$$

而

$$f(x,y)=2+u-4v.$$

对固定的 $v$，函数随 $u$ 增大而增大；对固定的 $u$，函数随 $v$ 增大而减小。

因此最大值在

$$u=1,v=0$$

处取得，即

$$x=\pm 1,y=0,$$

此时

$$f=3.$$

最小值在

$$u=0,v=1$$

处取得，即

$$x=0,y=\pm 2,$$

此时

$$f=-2.$$

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4. 【2007-1-11 分】 求函数 $f(x,y)=x^2+2y^2-x^2{y}^2$ 在区域

$$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,y\ge 0\}$$

上的最大值和最小值。

查看答案与解析

答案： 函数在区域 $D$ 上的最大值为

$$\boxed{8},$$

在点 $(0,2)$ 处取得；最小值为

$$\boxed{0},$$

在点 $(0,0)$ 处取得。

解析： 先考查区域内部。由

$$f_x=2x(1-y^2),$$$$f_y=2y(2-x^2),$$

在 $y>0$ 且 $x^2+y^2<4$ 时，驻点满足

$$\{\begin{array}{l}2x(1-y^2)=0,\\ 2y(2-x^2)=0.\end{array}$$

得到内部驻点

$$(\sqrt{2},1),(-\sqrt{2},1).$$

在这两点处

$$f=2.$$

又

$$f_{xx}=2(1-y^2),f_{yy}=4-2x^2,f_{xy}=-4xy.$$

在 $(\pm \sqrt{2},1)$ 处，

$$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2<0,$$

故它们均为鞍点，不是极值点。

考查直径边界 $y=0$，有

$$f(x,0)=x^2,-2\le x\le 2,$$

因此该边界上的最小值为 $0$，最大值为 $4$。

考查半圆边界 $x^2+y^2=4,y\ge 0$。令

$$t=y^2,0\le t\le 4,$$

则 $x^2=4-t$，从而

$$f=(4-t)+2t-(4-t)t=t^2-3t+4.$$

配方得

$$f={\left(t-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}.$$

所以半圆边界上的最小值为 $\frac{7}{4}$，而最大值在端点处比较：

$$f{|}_{t=0}=4,f{|}_{t=4}=8.$$

综合内部驻点和全部边界，得到

$$\underset{D}{\min }f=0,$$

在 $(0,0)$ 处取得；

$$\underset{D}{\max }f=8,$$

在 $(0,2)$ 处取得。