三、极值和拐点｜大题·对概念的直接考查

大题

（一）对概念的直接考查

1. 【1988-45-6 分】 $f(x)={\int }_0^x{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t$，求：

(1)$f^{\prime }(x)$；(2)单调性；(3)奇偶；(4)拐点；(5)凹凸；(6)水平渐近线。

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答案： (1) $f^{\prime }(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$；

(2) $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上严格单调增加；

(3) $f(x)$ 为奇函数；

(4) 拐点为 $(0,0)$；

(5) 凹区间为 $(-\infty ,0)$，凸区间为 $(0,+\infty )$；

(6) 水平渐近线为

$$y=\sqrt{\frac{\pi }{2}},y=-\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

解析： 由变上限积分求导公式，得

$$f^{\prime }(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}>0.$$

因此 $f(x)$ 在整个实数轴上严格单调增加。

被积函数 $e^{-t^2/2}$ 是偶函数，故

$$f(-x)={\int }_0^{-x}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=-{\int }_0^x{e}^{-\frac{u^2}{2}}\mathrm{d}u=-f(x),$$

所以 $f(x)$ 为奇函数，且 $f(0)=0$。

再求二阶导数：

$$f^{\prime \prime }(x)=-x{e}^{-\frac{x^2}{2}}.$$

由于指数因子恒正，故

$$f^{\prime \prime }(x)>0(x<0),f^{\prime \prime }(x)<0(x>0).$$

于是曲线在 $(-\infty ,0)$ 上为凹的，在 $(0,+\infty )$ 上为凸的；二阶导数在 $x=0$ 两侧变号，因此拐点为

$$(0,f(0))=(0,0).$$

最后，由高斯积分

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{\pi }{2}},$$

得

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

又因 $f$ 为奇函数，

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

故两条水平渐近线分别为

$$y=\sqrt{\frac{\pi }{2}},y=-\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

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2. 【1988-3-12 分】 $y=\frac{6}{x^2-2x+4}$，填表：

单调增加区间
单调减少区间
极值点
极值
凹(∪)区间
凸(∩)区间
拐点
渐近线

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答案：

项目	结果
单调增加区间	$(-\infty ,1)$
单调减少区间	$(1,+\infty )$
极值点	$x=1$
极值	极大值 $y(1)=2$
凹(∪)区间	$(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$
凸(∩)区间	$(0,2)$
拐点	$\left(0,\frac{3}{2}\right)$，$\left(2,\frac{3}{2}\right)$
渐近线	水平渐近线 $y=0$

解析： 将函数写成

$$y=\frac{6}{(x-1{)}^2+3}.$$

定义域为 $\mathbb{R}$。求导得

$$y^{\prime }=-\frac{12(x-1)}{{\left[(x-1{)}^2+3\right]}^2}.$$

分母恒正，因此

$$y^{\prime }>0(x<1),y^{\prime }<0(x>1).$$

所以函数在 $(-\infty ,1)$ 上增加，在 $(1,+\infty )$ 上减少，并在 $x=1$ 处取得极大值

$$y(1)=\frac{6}{3}=2.$$

二阶导数为

$$y^{\prime \prime }=\frac{36\left[(x-1{)}^2-1\right]}{{\left[(x-1{)}^2+3\right]}^3}=\frac{36x(x-2)}{{\left[(x-1{)}^2+3\right]}^3}.$$

故

$$y^{\prime \prime }>0(x<0\text{ 或 }x>2),$$$$y^{\prime \prime }<0(0<x<2).$$

因此凹区间为 $(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$，凸区间为 $(0,2)$。

在 $x=0,2$ 处二阶导数变号，且

$$y(0)=y(2)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},$$

故拐点为

$$\left(0,\frac{3}{2}\right),\left(2,\frac{3}{2}\right).$$

又

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{6}{x^2-2x+4}=0,$$

所以水平渐近线为 $y=0$。由于分母恒大于零，不存在垂直渐近线。

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3. 【1989-5-12 分】 $y=\frac{2x^2}{(1-x{)}^2}$，求单调区间、极值、凹凸、拐点、渐近线并作图。

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答案： - 单调减少区间：$(-\infty ,0)$，$(1,+\infty )$；

• 单调增加区间：$(0,1)$；
• 极小值点：$x=0$，极小值为 $0$；
• 凸区间：$\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)$；
• 凹区间：$\left(-\frac{1}{2},1\right)\cup (1,+\infty )$；
• 拐点：$\left(-\frac{1}{2},\frac{2}{9}\right)$；
• 垂直渐近线：$x=1$；
• 水平渐近线：$y=2$。

解析： 函数定义域为

$$(-\infty ,1)\cup (1,+\infty ).$$

求一阶导数：

$$y^{\prime }=\frac{-4x}{(x-1{)}^3}.$$

因为临界点为 $x=0$，间断点为 $x=1$，考察导数符号可得

$$y^{\prime }<0(x<0),$$$$y^{\prime }>0(0<x<1),$$$$y^{\prime }<0(x>1).$$

所以函数在 $(-\infty ,0)$ 和 $(1,+\infty )$ 上减少，在 $(0,1)$ 上增加。

在 $x=0$ 处，导数由负变正，故有极小值

$$y(0)=0.$$

再求二阶导数：

$$y^{\prime \prime }=\frac{4(2x+1)}{(x-1{)}^4}.$$

分母恒正，所以二阶导数的符号由 $2x+1$ 决定：

$$y^{\prime \prime }<0\left(x<-\frac{1}{2}\right),$$$$y^{\prime \prime }>0\left(x>-\frac{1}{2},x\ne 1\right).$$

因此凸区间为

$$\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right),$$

凹区间为

$$\left(-\frac{1}{2},1\right)\cup (1,+\infty ).$$

在 $x=-\frac{1}{2}$ 处二阶导数变号，且

$$y\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{{\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{2}{9},$$

故拐点为

$$\left(-\frac{1}{2},\frac{2}{9}\right).$$

当 $x\to 1^{-}$ 或 $x\to 1^{+}$ 时，

$$y\to +\infty ,$$

故 $x=1$ 是垂直渐近线。

又

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2}{(1-x{)}^2}=2,$$

故 $y=2$ 是水平渐近线。

作图时还应注意：曲线经过原点，且除原点外函数值均为正；左支从水平渐近线 $y=2$ 附近下降到原点，再上升至 $+\infty$；右支从 $+\infty$ 单调下降并趋近于 $y=2$。

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4. 【1993-123-7 分】 作 $y=(x+6)e^{\frac{1}{x}}$ 图像。

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答案： 函数的主要特征如下：

• 定义域：$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$；
• 与 $x$ 轴交点：$(-6,0)$；
• 单调增加区间：$(-\infty ,-2)$，$(3,+\infty )$；
• 单调减少区间：$(-2,0)$，$(0,3)$；
• 极大值点：$\left(-2,4e^{-1/2}\right)$；
• 极小值点：$\left(3,9e^{1/3}\right)$；
• 凸区间：$\left(-\infty ,-\frac{6}{13}\right)$；
• 凹区间：$\left(-\frac{6}{13},0\right)\cup (0,+\infty )$；
• 拐点：$\left(-\frac{6}{13},\frac{72}{13}{e}^{-13/6}\right)$；
• 垂直渐近线：$x=0$（右侧）；
• 斜渐近线：$y=x+7$。

解析： 函数定义域为 $x\ne 0$。一阶导数为

$$y^{\prime }=e^{1/x}\left(1-\frac{x+6}{x^2}\right)=e^{1/x}\frac{(x-3)(x+2)}{x^2}.$$

由于 $e^{1/x}>0$ 且 $x^2>0$，导数符号由 $(x-3)(x+2)$ 决定。因此

$$y^{\prime }>0(x<-2\text{ 或 }x>3),$$$$y^{\prime }<0(-2<x<0\text{ 或 }0<x<3).$$

所以函数在 $(-\infty ,-2)$、$(3,+\infty )$ 上增加，在 $(-2,0)$、$(0,3)$ 上减少。

于是

$$y(-2)=4e^{-1/2}$$

为极大值，

$$y(3)=9e^{1/3}$$

为极小值。

二阶导数为

$$y^{\prime \prime }=e^{1/x}\frac{13x+6}{x^4}.$$

故

$$y^{\prime \prime }<0\left(x<-\frac{6}{13}\right),$$$$y^{\prime \prime }>0\left(x>-\frac{6}{13},x\ne 0\right).$$

因此凸区间为

$$\left(-\infty ,-\frac{6}{13}\right),$$

凹区间为

$$\left(-\frac{6}{13},0\right)\cup (0,+\infty ).$$

在 $x=-\frac{6}{13}$ 处二阶导数变号，故拐点为

$$\left(-\frac{6}{13},\left(6-\frac{6}{13}\right)e^{-13/6}\right)=\left(-\frac{6}{13},\frac{72}{13}{e}^{-13/6}\right).$$

函数与 $x$ 轴的交点由 $x+6=0$ 得

$$(-6,0).$$

考察 $x=0$ 附近：

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x+6)e^{1/x}=+\infty ,$$$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x+6)e^{1/x}=0.$$

所以 $x=0$ 是右侧垂直渐近线。

再求无穷远处的斜渐近线。由

$$e^{1/x}=1+\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right),$$

得

$$(x+6)e^{1/x}=x+7+o(1).$$

因此斜渐近线为

$$y=x+7.$$

据以上性质即可准确作出图像：左支经过 $(-6,0)$，在 $x=-2$ 处取得极大值，随后趋于原点上方；右支从 $x=0^{+}$ 处的正无穷下降至 $x=3$ 处极小值，再上升并趋近斜渐近线。

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5. 【1994-3-9 分】 $y=\frac{x^3+4}{x^2}$：

(1)增减极值；(2)凹凸拐点；(3)渐近线；(4)作图。

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答案： (1) 单调增加区间为 $(-\infty ,0)$、$(2,+\infty )$，单调减少区间为 $(0,2)$；在 $x=2$ 处取得极小值 $3$。

(2) 凹区间为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，无凸区间，无拐点。

(3) 垂直渐近线为 $x=0$，斜渐近线为 $y=x$。

(4) 曲线与 $x$ 轴交于 $(-\sqrt[3]{4},0)$，据上述性质作图。

解析： 先化简为

$$y=x+\frac{4}{x^2},x\ne 0.$$

求一阶导数：

$$y^{\prime }=1-\frac{8}{x^3}=\frac{x^3-8}{x^3}.$$

由于

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),$$

且 $x^2+2x+4>0$，故导数符号如下：

$$y^{\prime }>0(x<0),$$$$y^{\prime }<0(0<x<2),$$$$y^{\prime }>0(x>2).$$

因此函数在 $(-\infty ,0)$ 和 $(2,+\infty )$ 上增加，在 $(0,2)$ 上减少。

在 $x=2$ 处导数由负变正，故取得极小值

$$y(2)=2+\frac{4}{2^2}=3.$$

再求二阶导数：

$$y^{\prime \prime }=\frac{24}{x^4}>0(x\ne 0).$$

所以曲线在定义域的两个区间 $(-\infty ,0)$ 与 $(0,+\infty )$ 上均为凹的，不存在凸区间。虽然 $x=0$ 将定义域分开，但函数在该点无定义，且二阶导数并未发生符号改变，因此不存在拐点。

当 $x\to 0^{\pm }$ 时，

$$y=x+\frac{4}{x^2}\to +\infty ,$$

所以垂直渐近线为

$$x=0.$$

又

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{4}{x^2}=0,$$

所以斜渐近线为

$$y=x.$$

横轴交点由

$$x^3+4=0$$

得

$$x=-\sqrt[3]{4}.$$

因此曲线经过 $(-\sqrt[3]{4},0)$。左支从负无穷处沿斜渐近线 $y=x$ 上升，穿过横轴后趋于 $+\infty$；右支从 $+\infty$ 下降至极小点 $(2,3)$，再上升并趋近斜渐近线 $y=x$。

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6. 【1996-3-8 分】 $2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$确定$y(x)$，求驻点并判别极值。

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答案： 曲线所确定的函数 $y=y(x)$ 只有一个驻点 $(1,1)$，且该点为极小值点，极小值为 $1$。

解析： 令

$$F(x,y)=2y^3-2y^2+2xy-x^2-1.$$

由隐函数求导法，对方程 $F(x,y)=0$ 两边关于 $x$ 求导，得

$$(6y^2-4y+2x)y^{\prime }+2y-2x=0.$$

于是

$$y^{\prime }=\frac{x-y}{3y^2-2y+x}.$$

驻点处应有 $y^{\prime }=0$，故

$$x=y.$$

将 $x=y$ 代入原方程，得

$$2y^3-y^2-1=0.$$

因

$$2y^3-y^2-1=(y-1)(2y^2+y+1),$$

而 $2y^2+y+1>0$，故唯一实根为

$$y=1,$$

从而

$$x=1.$$

在点 $(1,1)$ 处，

$$F_y=6y^2-4y+2x=4\ne 0,$$

故该曲线在此点附近确实可以确定可微函数 $y=y(x)$。

再对关系

$$F_x+F_y{y}^{\prime }=0$$

求导，得

$$F_{xx}+2F_{xy}{y}^{\prime }+F_{yy}(y^{\prime }{)}^2+F_y{y}^{\prime \prime }=0.$$

在驻点 $(1,1)$ 处，$y^{\prime }=0$，且

$$F_{xx}=-2,F_y=4.$$

所以

$$y^{\prime \prime }(1)=-\frac{F_{xx}}{F_y}=\frac{1}{2}>0.$$

因此 $x=1$ 为极小值点，极小值为

$$y(1)=1.$$

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7. 【1999-2-8 分】 $y=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}$：(1)单调极值；(2)凹凸拐点；(3)渐近线。

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答案： (1) 单调增加区间为 $(-\infty ,1)$、$(3,+\infty )$，单调减少区间为 $(1,3)$；在 $x=3$ 处取得极小值 $\frac{27}{4}$。$x=0$ 为驻点，但不是极值点。

(2) 凸区间为 $(-\infty ,0)$，凹区间为 $(0,1)$、$(1,+\infty )$；拐点为 $(0,0)$。

(3) 垂直渐近线为 $x=1$，斜渐近线为 $y=x+2$。

解析： 函数的定义域为

$$(-\infty ,1)\cup (1,+\infty ).$$

求一阶导数：

$$y^{\prime }=\frac{3x^2(x-1{)}^2-2x^3(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{x^2(x-3)}{(x-1{)}^3}.$$

由于 $x^2\ge 0$，根据 $x-3$ 与 $x-1$ 的符号可得：

$$y^{\prime }>0,x\in (-\infty ,1)\cup (3,+\infty ),$$$$y^{\prime }<0,x\in (1,3).$$

因此函数在 $(-\infty ,1)$ 与 $(3,+\infty )$ 上单调增加，在 $(1,3)$ 上单调减少。

虽然 $y^{\prime }(0)=0$，但导数在 $x=0$ 两侧均为正，故 $x=0$ 不是极值点。在 $x=3$ 处，导数由负变正，所以函数取得极小值

$$y(3)=\frac{27}{4}.$$

再求二阶导数：

$$y^{\prime \prime }=\frac{6x}{(x-1{)}^4}.$$

因分母恒为正，故 $y^{\prime \prime }$ 的符号由 $x$ 决定：

$$y^{\prime \prime }<0,x<0,$$$$y^{\prime \prime }>0,x>0,x\ne 1.$$

所以曲线在 $(-\infty ,0)$ 上为凸的，在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty )$ 上为凹的。二阶导数在 $x=0$ 两侧变号，且函数在 $x=0$ 处连续，因此拐点为

$$(0,y(0))=(0,0).$$

当 $x\to 1^{\pm }$ 时，

$$y=\frac{x^3}{(x-1{)}^2}\to +\infty ,$$

故垂直渐近线为

$$x=1.$$

作多项式除法：

$$\frac{x^3}{(x-1{)}^2}=x+2+\frac{3x-2}{(x-1{)}^2}.$$

于是

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[y-(x+2)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x-2}{(x-1{)}^2}=0.$$

故斜渐近线为

$$y=x+2.$$

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8. 【2000-34-7 分】 $y=(x-1)e^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}$，求单调极值、渐近线。

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答案： 函数在 $(-\infty ,-1)$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调增加，在 $(-1,0)$ 上单调减少。

在 $x=-1$ 处取得极大值

$$y(-1)=-2e^{\frac{\pi }{4}},$$

在 $x=0$ 处取得极小值

$$y(0)=-e^{\frac{\pi }{2}}.$$

当 $x\to -\infty$ 时，斜渐近线为

$$y=x-2;$$

当 $x\to +\infty$ 时，斜渐近线为

$$y=e^{\pi }x-2e^{\pi }.$$

解析： 求导得

$$y^{\prime }=e^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}\left(1+\frac{x-1}{1+x^2}\right).$$

整理得

$$y^{\prime }=e^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}\frac{x(x+1)}{1+x^2}.$$

由于指数因子及分母均为正，故 $y^{\prime }$ 的符号由 $x(x+1)$ 决定。因此

$$y^{\prime }>0,x\in (-\infty ,-1)\cup (0,+\infty ),$$$$y^{\prime }<0,x\in (-1,0).$$

所以 $x=-1$ 为极大值点，且

$$y(-1)=(-2)e^{\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}}=-2e^{\frac{\pi }{4}}.$$

$x=0$ 为极小值点，且

$$y(0)=-e^{\frac{\pi }{2}}.$$

下面求渐近线。

当 $x\to +\infty$ 时，

$$\arctan x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$

故

$$e^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}=e^{\pi }\left[1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right].$$

于是

$$y=(x-1)e^{\pi }\left[1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right]=e^{\pi }x-2e^{\pi }+o(1).$$

因此当 $x\to +\infty$ 时的斜渐近线为

$$y=e^{\pi }x-2e^{\pi }.$$

当 $x\to -\infty$ 时，

$$\arctan x=-\frac{\pi }{2}-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right),$$

从而

$$e^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}=1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right).$$

因此

$$y=(x-1)\left[1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right]=x-2+o(1).$$

故当 $x\to -\infty$ 时的斜渐近线为

$$y=x-2.$$

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9. 【2008-4-10 分】 $f(x)={\int }_0^1|t^2-x^2|\mathrm{d}t(x>0)$，求$f^{\prime }(x)$与最值。

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答案：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2x(2x-1),& 0<x<1,\\ 2x,& x\ge 1.\end{array}$$

函数在 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 上单调减少，在 $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 上单调增加。

函数在 $x=\frac{1}{2}$ 处取得最小值

$$f_{\min }=\frac{1}{4},$$

无最大值。

解析： 由于 $x>0$，需根据 $x$ 与积分区间端点 $1$ 的大小分类讨论。

当 $0<x<1$ 时，$t^2-x^2$ 在 $t=x$ 处变号，因此

$$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)\mathrm{d}t+{\int }_x^1(t^2-x^2)\mathrm{d}t.$$

计算得

$$f(x)=\frac{1}{3}-x^2+\frac{4}{3}{x}^3,0<x<1.$$

当 $x\ge 1$ 时，对所有 $t\in [0,1]$ 都有 $t^2-x^2\le 0$，故

$$f(x)={\int }_0^1(x^2-t^2)\mathrm{d}t=x^2-\frac{1}{3}.$$

因此

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}-x^2+\frac{4}{3}{x}^3,& 0<x<1,\\ x^2-\frac{1}{3},& x\ge 1.\end{array}$$

求导得

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+4x^2=2x(2x-1),& 0<x<1,\\ 2x,& x>1.\end{array}$$

在 $x=1$ 处，左、右导数均为 $2$，故

$$f^{\prime }(1)=2.$$

于是可写成

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2x(2x-1),& 0<x<1,\\ 2x,& x\ge 1.\end{array}$$

当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。故 $x=\frac{1}{2}$ 为唯一的极小值点，也是全局最小值点。

最小值为

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}.$$

又因

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$

所以函数没有最大值。

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10. 【2010-2-10 分】 设 $f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t)e^{-t^2}\mathrm{d}t$，求 $f(x)$ 的单调区间与极值。

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答案： 函数的单调减少区间为

$$(-\infty ,-1),(0,1),$$

单调增加区间为

$$(-1,0),(1,+\infty ).$$

在 $x=0$ 处取得极大值

$$f(0)=\frac{1-e^{-1}}{2};$$

在 $x=\pm 1$ 处取得极小值

$$f(\pm 1)=0.$$

其中 $f(0)=\frac{1-e^{-1}}{2}$ 是局部极大值，$0$ 是函数的全局最小值。

解析： 设

$$\phi (x,t)=(x^2-t)e^{-t^2}.$$

由莱布尼茨公式，

$$f^{\prime }(x)=\phi (x,x^2)\cdot 2x+{\int }_1^{x^2}\frac{\partial \phi }{\partial x}(x,t)\mathrm{d}t.$$

由于

$$\phi (x,x^2)=0,\frac{\partial \phi }{\partial x}=2x{e}^{-t^2},$$

故

$$f^{\prime }(x)=2x{\int }_1^{x^2}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t.$$

因被积函数 $e^{-t^2}>0$，所以积分的符号只取决于上下限的大小：

$${\int }_1^{x^2}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\{\begin{array}{ll}>0,& |x|>1,\\ =0,& |x|=1,\\ <0,& |x|<1.\end{array}$$

再结合因子 $2x$ 的符号，得到

$$f^{\prime }(x)<0,x\in (-\infty ,-1)\cup (0,1),$$$$f^{\prime }(x)>0,x\in (-1,0)\cup (1,+\infty ).$$

因此函数在 $(-\infty ,-1)$ 和 $(0,1)$ 上单调减少，在 $(-1,0)$ 和 $(1,+\infty )$ 上单调增加。

在 $x=-1$ 与 $x=1$ 处，导数均由负变正，因此均为极小值点，且

$$f(\pm 1)={\int }_1^1(1-t)e^{-t^2}\mathrm{d}t=0.$$

在 $x=0$ 处，导数由正变负，因此为极大值点，且

$$f(0)={\int }_1^0(-t)e^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{1-e^{-1}}{2}.$$

当 $|x|>1$ 时，积分区间为 $[1,x^2]$，且在其内部有 $x^2-t\ge 0$，故 $f(x)\ge 0$；当 $|x|<1$ 时，将积分反向后同样可得 $f(x)>0$。因此

$$f(x)\ge 0,$$

且仅在 $x=\pm 1$ 时取等号，所以极小值 $0$ 同时也是全局最小值。函数随 $|x|\to \infty$ 趋于 $+\infty$，故不存在全局最大值。

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11. 【2011-2-10 分】 设函数 $y=y(x)$ 由参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}{t}^3+t+\frac{1}{3},\\ y=\frac{1}{3}{t}^3-t+\frac{1}{3}\end{array}$$

确定，求函数 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。

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答案： 极大值为 $1$，在 $x=-1$ 处取得；极小值为 $-\frac{1}{3}$，在 $x=\frac{5}{3}$ 处取得。

曲线的凸（$\cap$）区间为

$$\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right),$$

凹（$\cup$）区间为

$$\left(\frac{1}{3},+\infty \right),$$

拐点为

$$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).$$

解析： 由

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=t^2+1>0,$$

可知 $x=x(t)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上严格增加，因此参数 $t$ 与自变量 $x$ 的增减方向一致。

参数方程所确定函数的一阶导数为

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{t^2-1}{t^2+1}.$$

令 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$，得

$$t=\pm 1.$$

当 $t<-1$ 或 $t>1$ 时，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}>0$；当 $-1<t<1$ 时，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}<0$。因此：

• 当 $t=-1$ 时，导数由正变负，函数取得极大值；
• 当 $t=1$ 时，导数由负变正，函数取得极小值。

将 $t=-1$ 代入参数方程，得

$$x=-1,y=1;$$

将 $t=1$ 代入参数方程，得

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}.$$

再求二阶导数：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{4t}{(t^2+1{)}^2},$$

故

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{4t}{(t^2+1{)}^3}.$$

当 $t<0$ 时，$y^{\prime \prime }<0$；当 $t>0$ 时，$y^{\prime \prime }>0$。又因为 $x(t)$ 严格增加，且

$$x(0)=\frac{1}{3},$$

所以曲线在 $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)$ 上为凸（$\cap$），在 $\left(\frac{1}{3},+\infty \right)$ 上为凹（$\cup$）。当 $t=0$ 时，

$$x=y=\frac{1}{3},$$

且二阶导数在该点两侧变号，故拐点为

$$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).$$

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12. 【2014-2-10 分】 已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程

$$x^2+y^2{y}^{\prime }=1-y^{\prime },$$

且 $y(2)=0$，求 $y(x)$ 的极大值与极小值。

查看答案与解析

答案： 函数在 $x=-1$ 处取得极小值 $0$，在 $x=1$ 处取得极大值 $1$。

解析： 原方程可化为

$$(1+y^2)y^{\prime }=1-x^2.$$

分离变量并积分，得

$$(1+y^2)\mathrm{d}y=(1-x^2)\mathrm{d}x,$$

从而

$$y+\frac{1}{3}{y}^3=x-\frac{1}{3}{x}^3+C.$$

利用初始条件 $y(2)=0$，有

$$0=2-\frac{8}{3}+C,$$

故

$$C=\frac{2}{3}.$$

于是函数由隐式方程

$$y+\frac{1}{3}{y}^3=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}$$

确定。

由

$$y^{\prime }=\frac{1-x^2}{1+y^2},$$

且 $1+y^2>0$，可知 $y^{\prime }$ 的符号完全由 $1-x^2$ 决定：

$$y^{\prime }<0,x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ),$$$$y^{\prime }>0,x\in (-1,1).$$

因此，$x=-1$ 为极小值点，$x=1$ 为极大值点。

当 $x=-1$ 时，

$$y+\frac{1}{3}{y}^3=0.$$

由于函数 $u+\frac{1}{3}{u}^3$ 严格增加，故唯一解为 $y=0$。

当 $x=1$ 时，

$$y+\frac{1}{3}{y}^3=\frac{4}{3},$$

显然 $y=1$，且由同样的单调性知它是唯一解。

故极小值为 $0$，极大值为 $1$。

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13. 【2017-12-10 分】 已知函数 $y=y(x)$ 由方程

$$x^3+y^3-3x+3y-2=0$$

确定，求 $y(x)$ 的极值。

查看答案与解析

答案： 函数在 $x=-1$ 处取得极小值 $0$，在 $x=1$ 处取得极大值 $1$。

解析： 对隐函数方程两边关于 $x$ 求导，得

$$3x^2+3y^2{y}^{\prime }-3+3y^{\prime }=0.$$

整理得

$$(1+y^2)y^{\prime }=1-x^2,$$

即

$$y^{\prime }=\frac{1-x^2}{1+y^2}.$$

因为 $1+y^2>0$，所以：

$$y^{\prime }<0,x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ),$$$$y^{\prime }>0,x\in (-1,1).$$

因此 $x=-1$ 为极小值点，$x=1$ 为极大值点。

当 $x=-1$ 时，代入原方程得

$$-1+y^3+3+3y-2=0,$$

即

$$y^3+3y=0.$$

故 $y=0$。

当 $x=1$ 时，代入原方程得

$$1+y^3-3+3y-2=0,$$

即

$$y^3+3y-4=0.$$

因 $y=1$ 是其根，且 $u^3+3u-4$ 严格增加，故唯一实根为 $y=1$。

所以函数的极小值为 $0$，极大值为 $1$。

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14. 【2019-23-10 分】 设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^x+1,& x\le 0,\\ x^{2x},& x>0.\end{array}$$

(1)求 $f^{\prime }(x)$；

(2)求 $f(x)$ 的极值。

查看答案与解析

答案：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}(x+1)e^x,& x<0,\\ \text{不存在},& x=0,\\ 2x^{2x}(\ln x+1),& x>0.\end{array}$$

函数在 $x=-1$ 处取得极小值

$$1-\frac{1}{e},$$

在 $x=0$ 处取得极大值 $1$，在 $x=\frac{1}{e}$ 处取得极小值

$$e^{-2/e}.$$

解析： 当 $x<0$ 时，

$$f^{\prime }(x)=(x{e}^x+1{)}^{\prime }=(x+1)e^x.$$

当 $x>0$ 时，写成

$$x^{2x}=e^{2x\ln x},$$

故

$$f^{\prime }(x)=2x^{2x}(\ln x+1).$$

下面考查 $x=0$ 处的导数。左导数为

$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x+1)e^x=1.$$

右侧有

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{2x}-1}{x}.$$

由于 $2x\ln x\to 0$，且 $e^u-1\sim u$，故

$$\frac{x^{2x}-1}{x}=\frac{e^{2x\ln x}-1}{x}\sim 2\ln x\to -\infty .$$

所以 $f_{+}^{\prime }(0)$ 不存在，进而 $f^{\prime }(0)$ 不存在。

当 $x<0$ 时，$e^x>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 的符号由 $x+1$ 决定。因此函数在 $(-\infty ,-1)$ 上减少，在 $(-1,0)$ 上增加，故 $x=-1$ 为极小值点，

$$f(-1)=1-\frac{1}{e}.$$

当 $x>0$ 时，$2x^{2x}>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 的符号由 $\ln x+1$ 决定。因此函数在 $\left(0,\frac{1}{e}\right)$ 上减少，在 $\left(\frac{1}{e},+\infty \right)$ 上增加，故 $x=\frac{1}{e}$ 为极小值点，

$$f\left(\frac{1}{e}\right)={\left(\frac{1}{e}\right)}^{2/e}=e^{-2/e}.$$

又因为

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1=f(0),$$

且在 $x=0$ 左侧函数增加、右侧函数减少，所以即使 $f^{\prime }(0)$ 不存在，$x=0$ 仍为极大值点，极大值为 $1$。

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15. 【2019-1-10 分】 设函数 $y=y(x)$ 是微分方程

$$y^{\prime }+xy=e^{-\frac{x^2}{2}}$$

满足条件 $y(0)=0$ 的特解。

(1)求 $y(x)$；

(2)求曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。

查看答案与解析

答案：

$$y(x)=x{e}^{-\frac{x^2}{2}}.$$

曲线的凹（$\cup$）区间为

$$(-\sqrt{3},0)\cup (\sqrt{3},+\infty ),$$

凸（$\cap$）区间为

$$(-\infty ,-\sqrt{3})\cup (0,\sqrt{3}).$$

拐点为

$$\left(-\sqrt{3},-\sqrt{3}{e}^{-3/2}\right),(0,0),\left(\sqrt{3},\sqrt{3}{e}^{-3/2}\right).$$

解析： 原方程是一阶线性微分方程，其积分因子为

$$\mu (x)=e^{\int x\mathrm{d}x}=e^{x^2/2}.$$

方程两边同乘 $e^{x^2/2}$，得

$${\left(e^{x^2/2}y\right)}^{\prime }=1.$$

积分得

$$e^{x^2/2}y=x+C.$$

利用 $y(0)=0$，得 $C=0$，故

$$y=x{e}^{-x^2/2}.$$

求导：

$$y^{\prime }=(1-x^2)e^{-x^2/2},$$$$y^{\prime \prime }=\left(x^3-3x\right)e^{-x^2/2}=x(x^2-3)e^{-x^2/2}.$$

因为 $e^{-x^2/2}>0$，所以 $y^{\prime \prime }$ 的符号由 $x(x^2-3)$ 决定。其零点为

$$x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}.$$

作符号分析可得：

$$y^{\prime \prime }>0,x\in (-\sqrt{3},0)\cup (\sqrt{3},+\infty ),$$$$y^{\prime \prime }<0,x\in (-\infty ,-\sqrt{3})\cup (0,\sqrt{3}).$$

因此上述区间分别为凹（$\cup$）区间和凸（$\cap$）区间。由于 $y^{\prime \prime }$ 在 $x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$ 两侧均变号，故三点均为拐点。

代入函数表达式，得对应纵坐标：

$$y(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}{e}^{-3/2},y(0)=0,y(\sqrt{3})=\sqrt{3}{e}^{-3/2}.$$