一、一元函数导数的计算｜小题·参数方程的导数(数一、数二)：求某点处的导数等5类

小题

（五）参数方程的导数(数一、数二)：求某点处的导数

7. 【2020-12-4 分】 设 $y=y(x)$ 由 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1},\\ y=\ln (t+\sqrt{t^2+1})\end{array}$ 所确定，则 ${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=1}=$

查看答案与解析

答案：

$$-\sqrt{2}.$$

解析： 分别求导得

$$\frac{dx}{dt}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}},$$$$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}.$$

因此

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}.$$

再求二阶导数：

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}& =\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)}{\frac{dx}{dt}}\\ & =-\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^3}.\end{array}$$

代入 $t=1$，得

$${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=1}=-\sqrt{2}.$$

---

8. 【2021-12-5 分】 设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=2e^t+t+1,\\ y=4(t-1)e^t+t^2\end{array}$ 确定，则 ${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=0}=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{2}{3}.$$

解析： 有

$$\frac{dx}{dt}=2e^t+1,$$$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dt}& =4\left[e^t+(t-1)e^t\right]+2t\\ & =4t{e}^t+2t\\ & =2t(2e^t+1).\end{array}$$

故

$$\frac{dy}{dx}=2t,$$

从而

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{2}{2e^t+1}.$$

代入 $t=0$，得

$${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=0}=\frac{2}{3}.$$

---

9. 【2023-12-5 分】 设函数 $y=f(x)$ 由 $\{\begin{array}{l}x=2t+|t|,\\ y=|t|\sin t\end{array}$ 确定，则（ ）

A. $f(x)$ 连续，$f^{\prime }(0)$ 不存在    B. $f^{\prime }(0)$ 存在，$f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

C. $f^{\prime }(x)$ 连续，$f^{\prime \prime }(0)$ 不存在    D. $f^{\prime \prime }(0)$ 存在，$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

查看答案与解析

答案： C。

解析： 当 $t\ge 0$ 时，$x=3t$，故 $t=\frac{x}{3}$；当 $t<0$ 时，$x=t$。因此

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x\sin x,& x<0,\\ \frac{x}{3}\sin \frac{x}{3},& x\ge 0.\end{array}$$

显然 $f(0)=0$，且

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0.$$

当 $x<0$ 时，

$$f^{\prime }(x)=-\sin x-x\cos x;$$

当 $x>0$ 时，

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos \frac{x}{3}.$$

两侧均趋于 $0=f^{\prime }(0)$，所以 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

但是

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x}=-2,$$

而

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x}=\frac{2}{9}.$$

左右极限不相等，故 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在，应选 C。

A 错在 $f^{\prime }(0)$ 存在；B 错在 $f^{\prime }$ 在零点连续；D 错在 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在。

---

10. 【2025-2-5 分】 已知函数 $y=y(x)$ 由 $\{\begin{array}{l}x=\ln (1+2t),\\ 2t-{\int }_1^{y+t^2}{e}^{-u^2}du=0\end{array}$ 确定，则 ${\frac{dy}{dx}|}_{t=0}=$

查看答案与解析

答案：

$$e.$$

解析： 先代入 $t=0$。由

$${\int }_1^{y(0)}{e}^{-u^2}du=0$$

及 $e^{-u^2}>0$，得

$$y(0)=1.$$

对隐式关系关于 $t$ 求导：

$$2-e^{-(y+t^2{)}^2}\left(\frac{dy}{dt}+2t\right)=0.$$

所以

$$\frac{dy}{dt}+2t=2e^{(y+t^2{)}^2}.$$

在 $t=0$、$y=1$ 时，

$${\frac{dy}{dt}|}_{t=0}=2e.$$

另一方面，

$$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+2t},{\frac{dx}{dt}|}_{t=0}=2.$$

因此

$${\frac{dy}{dx}|}_{t=0}=\frac{2e}{2}=e.$$

（六）抽象函数的导数

1. 【1993-45-3 分】 已知 $y=f\left(\frac{3x-2}{3x+2}\right)$，$f^{\prime }(x)=\arctan x^2$，则 ${\frac{dy}{dx}|}_{x=0}=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{3\pi }{4}.$$

解析： 令

$$u=\frac{3x-2}{3x+2},$$

则由复合函数求导法则，

$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(u)\frac{du}{dx}.$$

计算得

$$\begin{array}{rl}\frac{du}{dx}& =\frac{3(3x+2)-3(3x-2)}{(3x+2{)}^2}\\ & =\frac{12}{(3x+2{)}^2}.\end{array}$$

当 $x=0$ 时，

$$u=-1,{\frac{du}{dx}|}_{x=0}=3.$$

又

$$f^{\prime }(-1)=\arctan (-1{)}^2=\arctan 1=\frac{\pi }{4},$$

所以

$${\frac{dy}{dx}|}_{x=0}=f^{\prime }(-1)\cdot 3=\frac{3\pi }{4}.$$

---

2. 【1993-3-5 分】 设 $y=\sin f(x^2)$，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。

查看答案与解析

答案：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\left[2f^{\prime }(x^2)+4x^2{f}^{\prime \prime }(x^2)\right]\cos f(x^2)-4x^2[f^{\prime }(x^2){]}^2\sin f(x^2).$$

解析： 先求一阶导数。由复合函数求导法则，

$$\frac{dy}{dx}=\cos f(x^2)\cdot f^{\prime }(x^2)\cdot 2x=2x{f}^{\prime }(x^2)\cos f(x^2).$$

再对上式求导：

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=& \left[2f^{\prime }(x^2)+4x^2{f}^{\prime \prime }(x^2)\right]\cos f(x^2)\\ & +2x{f}^{\prime }(x^2)\left[-\sin f(x^2)\right]\cdot 2x{f}^{\prime }(x^2).\end{array}$$

整理得

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\left[2f^{\prime }(x^2)+4x^2{f}^{\prime \prime }(x^2)\right]\cos f(x^2)-4x^2[f^{\prime }(x^2){]}^2\sin f(x^2).$$

本题需要同时使用乘积求导法则和多层复合函数求导法则。

---

3. 【1993-3-3 分】 若 $f(x)=-f(-x)$，在 $(0,+\infty )$ 内 $f^{\prime }(x)>0$，$f^{\prime \prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 内（ ）。

A. $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)<0, \\ {f}^{\prime \prime }(x)<0 \end{gathered}$$    B. $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)>0, \\ {f}^{\prime \prime }(x)>0 \end{gathered}$$    C. $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)>0, \\ {f}^{\prime \prime }(x)<0 \end{gathered}$$    D. $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)<0, \\ {f}^{\prime \prime }(x)>0 \end{gathered}$$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 由

$$f(x)=-f(-x)$$

可知 $f$ 为奇函数。

对等式两边关于 $x$ 求导：

$$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x),$$

所以 $f^{\prime }$ 为偶函数。

当 $x<0$ 时，$-x>0$，故

$$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)>0.$$

再对 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)$ 求导，得

$$f^{\prime \prime }(x)=-f^{\prime \prime }(-x),$$

即 $f^{\prime \prime }$ 为奇函数。因此当 $x<0$ 时，

$$f^{\prime \prime }(x)=-f^{\prime \prime }(-x)<0.$$

故在 $(-\infty ,0)$ 内有

$$f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)<0,$$

应选 C。

A、D 错在一阶导数符号；B 错在二阶导数符号。

---

4. 【1994-3-5 分】 设 $y=f(x+y)$，其中 $f$ 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 $1$，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。

查看答案与解析

答案：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{f^{\prime \prime }(x+y)}{[1-f^{\prime }(x+y){]}^3}.$$

解析： 对隐式方程

$$y=f(x+y)$$

两边关于 $x$ 求导：

$$y^{\prime }=f^{\prime }(x+y)(1+y^{\prime }).$$

于是

$$y^{\prime }[1-f^{\prime }(x+y)]=f^{\prime }(x+y).$$

由于题设 $f^{\prime }(x+y)\ne 1$，故

$$y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x+y)}{1-f^{\prime }(x+y)}.$$

令 $u=x+y$，则

$$1+y^{\prime }=1+\frac{f^{\prime }(u)}{1-f^{\prime }(u)}=\frac{1}{1-f^{\prime }(u)}.$$

对 $y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(u)}{1-f^{\prime }(u)}$ 再求导，得

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }& =\frac{f^{\prime \prime }(u)u^{\prime }}{[1-f^{\prime }(u){]}^2}\\ & =\frac{f^{\prime \prime }(u)}{[1-f^{\prime }(u){]}^2}\cdot \frac{1}{1-f^{\prime }(u)}\\ & =\frac{f^{\prime \prime }(u)}{[1-f^{\prime }(u){]}^3}.\end{array}$$

代回 $u=x+y$，即得

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{f^{\prime \prime }(x+y)}{[1-f^{\prime }(x+y){]}^3}.$$

---

5. 【1997-34-3 分】 设 $y=f(\ln x)e^{f(x)}$，其中 $f$ 可微，则 $dy=$

查看答案与解析

答案：

$$dy=e^{f(x)}\left[\frac{f^{\prime }(\ln x)}{x}+f(\ln x)f^{\prime }(x)\right]dx.$$

解析： 将

$$y=f(\ln x)e^{f(x)}$$

看作两个函数的乘积。由乘积求导法则，

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =[f(\ln x){]}^{\prime }{e}^{f(x)}+f(\ln x)[e^{f(x)}{]}^{\prime }\\ & =\frac{f^{\prime }(\ln x)}{x}{e}^{f(x)}+f(\ln x)e^{f(x)}{f}^{\prime }(x).\end{array}$$

提取公因子，得

$$y^{\prime }=e^{f(x)}\left[\frac{f^{\prime }(\ln x)}{x}+f(\ln x)f^{\prime }(x)\right].$$

因此

$$dy=y^{\prime }dx=e^{f(x)}\left[\frac{f^{\prime }(\ln x)}{x}+f(\ln x)f^{\prime }(x)\right]dx.$$

---

6. 【2006-3-4 分】 设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内可导，且 $f^{\prime }(x)=e^{f(x)}$，$f(2)=1$，则 $f^{\prime \prime \prime }(2)=$ _____。

查看答案与解析

答案：

$$2e^3.$$

解析： 由

$$f^{\prime }(x)=e^{f(x)}$$

继续求导，得

$$f^{\prime \prime }(x)=e^{f(x)}{f}^{\prime }(x).$$

又因 $f^{\prime }(x)=e^{f(x)}$，所以

$$f^{\prime \prime }(x)=e^{2f(x)}.$$

再求导：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime \prime }(x)& =2e^{2f(x)}{f}^{\prime }(x)\\ & =2e^{2f(x)}{e}^{f(x)}\\ & =2e^{3f(x)}.\end{array}$$

由 $f(2)=1$，得

$$f^{\prime \prime \prime }(2)=2e^{3f(2)}=2e^3.$$

---

7. 【2006-2-4 分】 设函数 $g(x)$ 可微，$h(x)=e^{1+g(x)}$，$h^{\prime }(1)=1$，$g^{\prime }(1)=2$，则 $g(1)$ 等于（ ）。

A. $\ln 3-1$    B. $-\ln 3-1$    C. $-\ln 2-1$    D. $\ln 2-1$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 由

$$h(x)=e^{1+g(x)}$$

求导得

$$h^{\prime }(x)=e^{1+g(x)}{g}^{\prime }(x).$$

在 $x=1$ 处，利用 $h^{\prime }(1)=1$、$g^{\prime }(1)=2$，有

$$1=e^{1+g(1)}\cdot 2.$$

故

$$e^{1+g(1)}=\frac{1}{2}.$$

两边取自然对数：

$$1+g(1)=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2.$$

所以

$$g(1)=-\ln 2-1.$$

应选 C。

---

8. 【2012-3-4 分】 设函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln \sqrt{x},& x\ge 1,\\ 2x-1,& x<1,\end{array}$$

$y=f(f(x))$，则 ${\frac{dy}{dx}|}_{x=e}=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{1}{e}.$$

解析： 先判断内层函数 $f(x)$ 在 $x=e$ 时所取的分支。由于 $e>1$，

$$f(e)=\ln \sqrt{e}=\frac{1}{2}.$$

因为 $\frac{1}{2}<1$，所以外层函数 $f(f(e))$ 应使用 $f(u)=2u-1$ 这一分支，其导数为

$$f^{\prime }(u)=2(u<1).$$

另一方面，当 $x>1$ 时，

$$f(x)=\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x,$$

故

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2x},f^{\prime }(e)=\frac{1}{2e}.$$

由复合函数求导法则，

$$y^{\prime }=f^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x).$$

因此

$${\frac{dy}{dx}|}_{x=e}=f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)f^{\prime }(e)=2\cdot \frac{1}{2e}=\frac{1}{e}.$$

（七）变限积分求导：被积函数不含求导变量

1. 【1988-3-4 分】 设 $f(x)$ 是连续函数，且

$${\int }_0^{x^3-1}f(t)dt=x-1,$$

则 $f(7)=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{1}{12}.$$

解析： 等式两边关于 $x$ 求导。由变上限积分求导公式及链式法则，

$$3x^{2}f(x^3-1)=1.$$

要求 $f(7)$，令

$$x^3-1=7,$$

得 $x=2$。代入上式：

$$3\cdot 2^{2}f(7)=1.$$

因此

$$f(7)=\frac{1}{12}.$$

本题关键是先对积分等式求导，再由积分上限 $x^3-1=7$ 确定对应的 $x$。

---

2. 【1988-12-3 分】 设 $f(x)$ 是连续函数，且

$${\int }_0^{x^3-1}f(t)dt=x,$$

则 $f(7)=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{1}{12}.$$

解析： 对等式两边关于 $x$ 求导，得

$$f(x^3-1)\cdot 3x^2=1.$$

令 $x^3-1=7$，得 $x=2$。于是

$$12f(7)=1,$$

故

$$f(7)=\frac{1}{12}.$$

虽然本题右端为 $x$，上一题右端为 $x-1$，但二者求导后均为 $1$，所以结果相同。

---

3. 【1990-12-3 分】 设 $f(x)$ 是连续函数，且

$$F(x)={\int }_x^{e^{-x}}f(t)dt,$$

则 $F^{\prime }(x)$ 等于（ ）。

A. $-e^{-x}f\left(e^{-x}\right)-f(x)$    B. $-e^{-x}f\left(e^{-x}\right)+f(x)$

C. $e^{-x}f\left(e^{-x}\right)-f(x)$    D. $e^{-x}f\left(e^{-x}\right)+f(x)$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 对于

$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt,$$

有

$$F^{\prime }(x)=f(\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x).$$

本题中

$$\alpha (x)=x,\beta (x)=e^{-x},$$

故

$${\alpha }^{\prime }(x)=1,{\beta }^{\prime }(x)=-e^{-x}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =f\left(e^{-x}\right)\left(-e^{-x}\right)-f(x)\cdot 1\\ & =-e^{-x}f\left(e^{-x}\right)-f(x).\end{array}$$

应选 A。易错点是下限项前本身带负号，而上限 $e^{-x}$ 的导数也为负数。

---

4. 【1992-3-3 分】 设 $f(x)$ 连续，

$$F(x)={\int }_0^{x^2}f(t^2)dt,$$

则 $F^{\prime }(x)$ 等于（ ）。

A. $f\left(x^4\right)$    B. $x^{2}f\left(x^4\right)$    C. $2xf\left(x^4\right)$    D. $2xf\left(x^2\right)$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 令

$$\Phi (u)={\int }_0^{u}f(t^2)dt,$$

则 $F(x)=\Phi (x^2)$。由微积分基本定理，

$${\Phi }^{\prime }(u)=f(u^2).$$

再由链式法则，

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& ={\Phi }^{\prime }(x^2)\cdot 2x\\ & =f\left((x^2{)}^2\right)\cdot 2x\\ & =2xf(x^4).\end{array}$$

应选 C。选项 D 忽略了将积分上限 $x^2$ 代入被积函数中的 $t^2$ 后应得到 $x^4$。

---

5. 【1993-45-3 分】 设 $f(x)$ 为连续函数，且

$$F(x)={\int }_{\frac{1}{x}}^{\ln x}f(t)dt,$$

则 $F^{\prime }(x)$ 等于（ ）。

A. $\frac{1}{x}f(\ln x)+\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)$    B. $f(\ln x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$

C. $\frac{1}{x}f(\ln x)-\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)$    D. $f(\ln x)-f\left(\frac{1}{x}\right)$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 由变上下限积分求导公式，

$$F^{\prime }(x)=f(\ln x)(\ln x{)}^{\prime }-f\left(\frac{1}{x}\right){\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }.$$

又

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2},$$

所以

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\frac{1}{x}f(\ln x)-f\left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right)\\ & =\frac{1}{x}f(\ln x)+\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right).\end{array}$$

应选 A。下限求导项前的负号与 $(1/x{)}^{\prime }$ 的负号相消。

---

6. 【1994-3-3 分】

$$\frac{d}{dx}\left[{\int }_0^{\cos 3x}f(t)dt\right]=\underline{}.$$

查看答案与解析

答案：

$$-3\sin 3xf(\cos 3x).$$

解析： 令

$$u(x)=\cos 3x.$$

由变上限积分求导公式和链式法则，

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{u(x)}f(t)dt=f(u(x))u^{\prime }(x).$$

而

$$u^{\prime }(x)=-3\sin 3x,$$

故

$$\frac{d}{dx}\left[{\int }_0^{\cos 3x}f(t)dt\right]=-3\sin 3xf(\cos 3x).$$

---

7. 【2004-1-4 分】 设 $f(x)$ 为连续函数，

$$F(t)={\int }_1^{t}dy{\int }_y^{t}f(x)dx,$$

则 $F^{\prime }(2)$ 等于（ ）。

A. $2f(2)$    B. $f(2)$    C. $-f(2)$    D. $0$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 积分区域为

$$1\le y\le t,y\le x\le t.$$

交换积分次序后，$x$ 的范围为 $1\le x\le t$，对固定的 $x$，有 $1\le y\le x$。因此

$$\begin{array}{rl}F(t)& ={\int }_1^{t}f(x)\left({\int }_1^{x}dy\right)dx\\ & ={\int }_1^t(x-1)f(x)dx.\end{array}$$

由微积分基本定理，

$$F^{\prime }(t)=(t-1)f(t).$$

于是

$$F^{\prime }(2)=(2-1)f(2)=f(2).$$

应选 B。

---

8. 【2013-2-4 分】 设函数

$$f(x)={\int }_{-1}^x\sqrt{1-e^t}dt,$$

则 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=0$ 处的导数

$${\frac{dx}{dy}|}_{y=0}=\underline{}.$$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{1}{\sqrt{1-e^{-1}}}=\sqrt{\frac{e}{e-1}}.$$

解析： 先确定 $y=0$ 对应的原函数自变量。由积分定义，

$$f(-1)={\int }_{-1}^{-1}\sqrt{1-e^t}dt=0,$$

故 $y=0$ 对应 $x=-1$。

由微积分基本定理，

$$f^{\prime }(x)=\sqrt{1-e^x}.$$

于是

$$f^{\prime }(-1)=\sqrt{1-e^{-1}}>0,$$

所以反函数在该点可导，且

$${\frac{dx}{dy}|}_{y=0}=\frac{1}{f^{\prime }(-1)}=\frac{1}{\sqrt{1-e^{-1}}}=\sqrt{\frac{e}{e-1}}.$$

（八）变限积分求导：被积函数含求导变量可拆分

1. 【1995-12-3 分】

$$\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{0}x\cos t^{2}dt=$$

查看答案与解析

答案：

$${\int }_{x^2}^0\cos t^{2}dt-2x^2\cos x^4.$$

解析： 由于积分变量为 $t$，而 $x$ 与 $t$ 无关，可先将 $x$ 提到积分号外：

$${\int }_{x^2}^{0}x\cos t^{2}dt=x{\int }_{x^2}^0\cos t^{2}dt.$$

对其求导，利用乘积求导法则与变上、下限积分求导公式，得

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\left[x{\int }_{x^2}^0\cos t^{2}dt\right]& ={\int }_{x^2}^0\cos t^{2}dt+x\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^0\cos t^{2}dt\\ & ={\int }_{x^2}^0\cos t^{2}dt+x\left[-\cos \left((x^2{)}^2\right)\cdot 2x\right]\\ & ={\int }_{x^2}^0\cos t^{2}dt-2x^2\cos x^4.\end{array}$$

其中下限为变量时会产生负号，这是本题容易出错之处。

---

2. 【2015-23-4 分】 设函数 $f(x)$ 连续，

$$\phi (x)={\int }_0^{x^2}xf(t)dt,$$

若 $\phi (1)=1$，${\phi }^{\prime }(1)=5$，则 $f(1)=\underline{}$。

查看答案与解析

答案：

$$2.$$

解析： 由于 $x$ 与积分变量 $t$ 无关，可写成

$$\phi (x)=x{\int }_0^{x^2}f(t)dt.$$

由 $\phi (1)=1$，得到

$${\int }_0^{1}f(t)dt=1.$$

再对 $\phi (x)$ 求导：

$$\begin{array}{rl}{\phi }^{\prime }(x)& ={\int }_0^{x^2}f(t)dt+x\cdot f(x^2)\cdot 2x\\ & ={\int }_0^{x^2}f(t)dt+2x^{2}f(x^2).\end{array}$$

令 $x=1$，结合 ${\phi }^{\prime }(1)=5$，得

$$5={\int }_0^{1}f(t)dt+2f(1)=1+2f(1).$$

因此

$$f(1)=2.$$

（九）变限积分求导：被积函数含求导变量不可拆分

1. 【1998-1-3 分】 设 $f(x)$ 连续，则

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt=().$$

A. $xf(x^2)$    B. $-xf(x^2)$    C. $2xf(x^2)$    D. $-2xf(x^2)$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 被积函数同时含有 $x$ 与 $t$，直接使用莱布尼茨公式会涉及 $f^{\prime }$，但题目只给出 $f$ 连续，因此应先作换元。

令

$$u=x^2-t^2,du=-2tdt.$$

当 $t=0$ 时，$u=x^2$；当 $t=x$ 时，$u=0$。于是

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt& =-\frac{1}{2}{\int }_{x^2}^{0}f(u)du\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{x^2}f(u)du.\end{array}$$

由微积分基本定理，

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}{\int }_0^{x^2}f(u)du\right]=\frac{1}{2}f(x^2)\cdot 2x=xf(x^2).$$

故应选 A。

---

2. 【1998-2-3 分】 设 $f(x)$ 连续，则

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt=$$

查看答案与解析

答案：

$$xf(x^2).$$

解析： 令

$$u=x^2-t^2,du=-2tdt.$$

则

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt& =-\frac{1}{2}{\int }_{x^2}^{0}f(u)du\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{x^2}f(u)du.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt& =\frac{1}{2}f(x^2)\cdot 2x\\ & =xf(x^2).\end{array}$$

本题与上一题题型相同，关键是通过换元消去被积函数内部同时出现的 $x$ 与 $t$。

---

3. 【1999-1-3 分】

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^x\sin (x-t{)}^{2}dt=\underline{}.$$

查看答案与解析

答案：

$$\sin x^2.$$

解析： 令

$$u=x-t,dt=-du.$$

当 $t=0$ 时，$u=x$；当 $t=x$ 时，$u=0$。于是

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^x\sin (x-t{)}^{2}dt& =-{\int }_x^0\sin u^{2}du\\ & ={\int }_0^x\sin u^{2}du.\end{array}$$

由微积分基本定理，

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^x\sin u^{2}du=\sin x^2.$$

这里 $\sin (x-t{)}^2$ 表示 $\sin ((x-t{)}^2)$，换元后即可直接应用变上限积分求导公式。