一、一元函数导数的计算｜小题·初等函数的导数与隐函数的导数：求导函数

小题

（一）初等函数的导数

1. 【1987-45-4 分】 已知 $y=\ln \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}$，求 $y^{\prime }$。

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答案：

$$y^{\prime }=\frac{2}{x\sqrt{1+x^2}}(x\ne 0).$$

解析： 令 $u=\sqrt{1+x^2}$，则

$$y=\ln (u-1)-\ln (u+1),$$

且

$$u^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{u}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }}{u-1}-\frac{u^{\prime }}{u+1}\\ & =u^{\prime }\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right)\\ & =\frac{x}{u}\cdot \frac{2}{u^2-1}.\end{array}$$

由于 $u^2-1=x^2$，故

$$y^{\prime }=\frac{x}{u}\cdot \frac{2}{x^2}=\frac{2}{x\sqrt{1+x^2}}.$$

本题考查对数函数与复合函数的求导。原函数中对数的真数在 $x\ne 0$ 时为正，因此导数的定义域为 $x\ne 0$。

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2. 【1987-3-3 分】 设 $y=\ln (1+ax)$，其中 $a$ 为非零常数，则 $y^{\prime }=$

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答案：

$$y^{\prime }=\frac{a}{1+ax}.$$

解析： 由复合函数求导法则，令 $u=1+ax$，则 $u^{\prime }=a$。因此

$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}=\frac{a}{1+ax}.$$

原函数要求 $1+ax>0$，导数也只在该定义域内有意义。

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3. 【1988-123-3 分】 若 $f(t)=\underset{x\to \infty }{\lim }t{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{2tx}$，则 $f^{\prime }(t)=$ _____。

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答案：

$$f^{\prime }(t)=(1+2t)e^{2t}.$$

解析： 先求极限。利用基本极限

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e,$$

有

$$\begin{array}{rl}f(t)& =t\underset{x\to \infty }{\lim }{\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\right]}^{2t}\\ & =t{e}^{2t}.\end{array}$$

于是由乘积求导法则，

$$f^{\prime }(t)=e^{2t}+2t{e}^{2t}=(1+2t)e^{2t}.$$

关键是先把极限化为关于 $t$ 的显函数，再对 $t$ 求导，不能直接把极限变量 $x$ 与求导变量 $t$ 混淆。

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4. 【1989-3-4 分】 已知 $y=\arcsin e^{-\sqrt{x}}$，求 $y^{\prime }$。

查看答案与解析

答案：

$$y^{\prime }=-\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}\sqrt{1-e^{-2\sqrt{x}}}}(x>0).$$

解析： 令

$$u=e^{-\sqrt{x}},$$

则

$$y=\arcsin u,y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}}.$$

又

$$u^{\prime }=e^{-\sqrt{x}}\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=-\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.$$

故

$$y^{\prime }=-\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}\sqrt{1-e^{-2\sqrt{x}}}}.$$

虽然原函数在 $x=0$ 处有定义，但上式在 $x=0$ 处无意义，且右导数不为有限值，所以通常写导数适用范围为 $x>0$。

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5. 【1990-3-3 分】 设 $y=e^{\tan \frac{1}{x}}\sin \frac{1}{x}$，则 $y^{\prime }=$ _____。

查看答案与解析

答案：

$$y^{\prime }=-\frac{e^{\tan \frac{1}{x}}}{x^2}\left(\sin \frac{1}{x}{\sec }^2\frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right).$$

解析： 令 $u=\frac{1}{x}$，则 $u^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$，原函数为

$$y=e^{\tan u}\sin u.$$

由乘积求导法则，

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =e^{\tan u}{\sec }^{2}u{u}^{\prime }\sin u+e^{\tan u}\cos u{u}^{\prime }\\ & =e^{\tan u}{u}^{\prime }\left(\sin u{\sec }^{2}u+\cos u\right).\end{array}$$

代入 $u=\frac{1}{x}$ 与 $u^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$，即得答案。

本题同时使用乘积求导法则和多层复合函数求导法则，容易遗漏最内层 $\frac{1}{x}$ 的导数中的负号。

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6. 【1991-3-3 分】 设 $y=\ln (1+3^{-x})$，则 $dy=$

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答案：

$$dy=-\frac{\ln 3}{1+3^x}dx.$$

解析： 先求导数。由于

$${\left(3^{-x}\right)}^{\prime }=-\ln 3\cdot 3^{-x},$$

所以

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{-\ln 3\cdot 3^{-x}}{1+3^{-x}}\\ & =-\frac{\ln 3}{1+3^x}.\end{array}$$

因此

$$dy=y^{\prime }dx=-\frac{\ln 3}{1+3^x}dx.$$

本题考查指数函数、对数函数的复合求导以及微分公式 $dy=y^{\prime }dx$。

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7. 【1992-5-3 分】 设 $f(t)=\underset{x\to \infty }{\lim }t{\left(\frac{x+t}{x-t}\right)}^x$，则 $f^{\prime }(t)=$ _____。

查看答案与解析

答案：

$$f^{\prime }(t)=(1+2t)e^{2t}.$$

解析： 先计算极限。对幂函数部分取对数：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \infty }{\lim }x\ln \frac{x+t}{x-t}& =\underset{x\to \infty }{\lim }x\ln \frac{1+\frac{t}{x}}{1-\frac{t}{x}}\\ & =\underset{x\to \infty }{\lim }x\left[\ln \left(1+\frac{t}{x}\right)-\ln \left(1-\frac{t}{x}\right)\right].\end{array}$$

当 $x\to \infty$ 时，

$$\ln \left(1+\frac{t}{x}\right)\sim \frac{t}{x},\ln \left(1-\frac{t}{x}\right)\sim -\frac{t}{x},$$

故

$$\underset{x\to \infty }{\lim }x\ln \frac{x+t}{x-t}=2t.$$

从而

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x+t}{x-t}\right)}^x=e^{2t},$$

所以

$$f(t)=t{e}^{2t}.$$

最后求导得

$$f^{\prime }(t)=e^{2t}+2t{e}^{2t}=(1+2t)e^{2t}.$$

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8. 【1995-3-3 分】 设 $y=\cos (x^2){\sin }^2\frac{1}{x}$，则 $y^{\prime }=$ _____。

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答案：

$$y^{\prime }=-2x\sin (x^2){\sin }^2\frac{1}{x}-\frac{\cos (x^2)}{x^2}\sin \frac{2}{x}.$$

解析： 由乘积求导法则，

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& ={\left[\cos (x^2)\right]}^{\prime }{\sin }^2\frac{1}{x}+\cos (x^2){\left[{\sin }^2\frac{1}{x}\right]}^{\prime }\\ & =-2x\sin (x^2){\sin }^2\frac{1}{x}+\cos (x^2)\cdot 2\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^2}\right).\end{array}$$

利用

$$2\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}=\sin \frac{2}{x},$$

得到

$$y^{\prime }=-2x\sin (x^2){\sin }^2\frac{1}{x}-\frac{\cos (x^2)}{x^2}\sin \frac{2}{x}.$$

原函数与导函数均只在 $x\ne 0$ 时有定义。易错点是遗漏 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$。

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9. 【1996-5-3 分】 设 $y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$，则 $y^{\prime \prime \prime }{|}_{x=\sqrt{3}}=$

查看答案与解析

答案：

$$y^{\prime \prime \prime }{|}_{x=\sqrt{3}}=\frac{5}{32}.$$

解析： 先求一阶导数：

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.\end{array}$$

于是

$$y^{\prime \prime }=-x(1+x^2{)}^{-\frac{3}{2}}.$$

再求一次导数：

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime \prime }& =-(1+x^2{)}^{-\frac{3}{2}}+3x^2(1+x^2{)}^{-\frac{5}{2}}\\ & =\frac{2x^2-1}{(1+x^2{)}^{\frac{5}{2}}}.\end{array}$$

当 $x=\sqrt{3}$ 时，

$$y^{\prime \prime \prime }{|}_{x=\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 3-1}{(1+3{)}^{\frac{5}{2}}}=\frac{5}{4^{\frac{5}{2}}}=\frac{5}{32}.$$

本题中 $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 是反双曲正弦函数 $\mathrm{arsinh}x$ 的表达式，其导数为 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。

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10. 【1996-45-3 分】 设方程 $x=y^y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $dy=$

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答案：

$$dy=\frac{1}{x(1+\ln y)}dx.$$

解析： 由 $x=y^y$，两边取自然对数，得

$$\ln x=y\ln y.$$

两边对 $x$ 求微分：

$$\frac{1}{x}dx=(1+\ln y)dy.$$

因此

$$dy=\frac{1}{x(1+\ln y)}dx.$$

也可利用 $x=y^y$ 写成

$$dy=\frac{1}{y^y(1+\ln y)}dx.$$

本题考查幂指函数的对数求导法。由于实数范围内 $y^y$ 的一般求导通常要求 $y>0$，还需满足 $1+\ln y\ne 0$，即 $y\ne e^{-1}$，才能由隐函数关系解出有限的 $dy$。

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11. 【1996-3-3 分】 设 $y={\left(x+e^{-\frac{x}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$，则 $y^{\prime }{|}_{x=0}=$ _____。

查看答案与解析

答案：

$$y^{\prime }{|}_{x=0}=\frac{1}{3}.$$

解析： 令

$$u=x+e^{-\frac{x}{2}},$$

则

$$y=u^{\frac{2}{3}},u^{\prime }=1-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}.$$

由复合函数求导法则，

$$y^{\prime }=\frac{2}{3}{u}^{-\frac{1}{3}}{u}^{\prime }=\frac{2}{3}{\left(x+e^{-\frac{x}{2}}\right)}^{-\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x}{2}}\right).$$

当 $x=0$ 时，

$$u(0)=1,u^{\prime }(0)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

因此

$$y^{\prime }{|}_{x=0}=\frac{2}{3}\cdot 1^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}.$$

易错点是对 $e^{-x/2}$ 求导时遗漏系数 $-\frac{1}{2}$。

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12. 【1997-2-3 分】 设 $y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}$，则 $y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=$ _____。

查看答案与解析

答案：

$$y^{\prime \prime }{|}_{x=0}=-\frac{3}{2}.$$

解析： 先利用对数运算化简：

$$y=\frac{1}{2}\left[\ln (1-x)-\ln (1+x^2)\right].$$

于是

$$y^{\prime }=-\frac{1}{2(1-x)}-\frac{x}{1+x^2}.$$

再求导，得

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }& =-\frac{1}{2(1-x{)}^2}-\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2{)}^2}\\ & =-\frac{1}{2(1-x{)}^2}-\frac{1-x^2}{(1+x^2{)}^2}.\end{array}$$

代入 $x=0$，得到

$$y^{\prime \prime }(0)=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}.$$

本题先取对数展开再求导，可显著减少根式与商式求导的计算量。

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13. 【2003-2-4 分】 已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime }=\frac{y}{x}+\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为（ ）

A. $-\frac{y^2}{x^2}$    B. $\frac{y^2}{x^2}$    C. $-\frac{x^2}{y^2}$    D. $\frac{x^2}{y^2}$

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答案： A。

解析： 由

$$y=\frac{x}{\ln x},$$

求导得

$$y^{\prime }=\frac{\ln x-1}{(\ln x{)}^2}.$$

又因为

$$\frac{y}{x}=\frac{1}{\ln x},\frac{x}{y}=\ln x,$$

代入微分方程，得到

$$\begin{array}{rl}\phi \left(\frac{x}{y}\right)& =y^{\prime }-\frac{y}{x}\\ & =\frac{\ln x-1}{(\ln x{)}^2}-\frac{1}{\ln x}\\ & =-\frac{1}{(\ln x{)}^2}.\end{array}$$

而

$$\frac{y^2}{x^2}=\frac{1}{(\ln x{)}^2},$$

故

$$\phi \left(\frac{x}{y}\right)=-\frac{y^2}{x^2}.$$

因此选择 A。其余选项分别存在符号错误或将 $\frac{x}{y}$ 与 $\frac{y}{x}$ 颠倒。

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14. 【2004-4-4 分】 设 $y=\arctan e^x-\ln \sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}$，则 ${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=$ _____。

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答案：

$${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=\frac{e-1}{e^2+1}.$$

解析： 第一项的导数为

$${\left(\arctan e^x\right)}^{\prime }=\frac{e^x}{1+e^{2x}}.$$

对第二项先化简：

$$\begin{array}{rl}-\ln \sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}& =-\frac{1}{2}\left[2x-\ln (e^{2x}+1)\right]\\ & =-x+\frac{1}{2}\ln (e^{2x}+1).\end{array}$$

故其导数为

$$-1+\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}=-\frac{1}{e^{2x}+1}.$$

因此

$$y^{\prime }=\frac{e^x}{1+e^{2x}}-\frac{1}{1+e^{2x}}=\frac{e^x-1}{1+e^{2x}}.$$

代入 $x=1$，得

$$y^{\prime }(1)=\frac{e-1}{e^2+1}.$$

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15. 【2005-2-4 分】 设 $y=(1+\sin x{)}^x$，则 $dy{|}_{x=\pi }=$

查看答案与解析

答案：

$$dy{|}_{x=\pi }=-\pi dx.$$

解析： 这是幂指函数，采用对数求导。两边取自然对数：

$$\ln y=x\ln (1+\sin x).$$

两边对 $x$ 求导，得

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln (1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}.$$

所以

$$y^{\prime }=(1+\sin x{)}^x\left[\ln (1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}\right].$$

当 $x=\pi$ 时，

$$(1+\sin \pi {)}^{\pi }=1,\ln (1+\sin \pi )=0,\frac{\pi \cos \pi }{1+\sin \pi }=-\pi .$$

因此

$$y^{\prime }(\pi )=-\pi ,$$

从而

$$dy{|}_{x=\pi }=y^{\prime }(\pi )dx=-\pi dx.$$

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16. 【2011-3-4 分】 设 $f(x)=\underset{t\to 0}{\lim }x(1+3t{)}^{\frac{x}{t}}$，则 $f^{\prime }(x)=$ _____。

查看答案与解析

答案：

$$f^{\prime }(x)=e^{3x}(1+3x).$$

解析： 先计算极限。由重要极限

$$\underset{t\to 0}{\lim }(1+3t{)}^{\frac{1}{t}}=e^3,$$

可得

$$\underset{t\to 0}{\lim }(1+3t{)}^{\frac{x}{t}}=e^{3x}.$$

因此

$$f(x)=x{e}^{3x}.$$

由乘积求导法则，

$$f^{\prime }(x)=e^{3x}+3x{e}^{3x}=e^{3x}(1+3x).$$

应先对参数 $t$ 求极限得到显函数，再对 $x$ 求导，不能直接混淆两个变量。

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17. 【2011-2-4 分】 函数 $f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为（ ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

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答案： C。

解析： 函数的定义域为

$$x\ne 1,2,3.$$

在定义域内，利用 $(\ln |u|{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$，得

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\\ & =\frac{(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\\ & =\frac{3x^2-12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}.\end{array}$$

驻点要求函数在该点有定义且导数为零，因此解

$$3x^2-12x+11=0.$$

其两根为

$$x=2\pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

这两个根分别位于 $(1,2)$ 和 $(2,3)$ 内，均属于定义域，所以共有 2 个驻点。

$x=1,2,3$ 是函数无定义的点，不能算作驻点。因此选择 C。

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18. 【2021-2-5 分】 设函数 $F(x)=\sec x$ 在 $x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1+ax+b{x}^2$，则（ ）

A. $a=1,b=-\frac{1}{2}$    B. $a=1,b=\frac{1}{2}$    C. $a=0,b=-\frac{1}{2}$    D. $a=0,b=\frac{1}{2}$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 二阶泰勒多项式为

$$P_2(x)=F(0)+F^{\prime }(0)x+\frac{F^{\prime \prime }(0)}{2}{x}^2.$$

对于 $F(x)=\sec x$，有

$$F(0)=1,$$$$F^{\prime }(x)=\sec x\tan x,F^{\prime }(0)=0.$$

再求二阶导数：

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime \prime }(x)& =(\sec x\tan x{)}^{\prime }\\ & =\sec x{\tan }^{2}x+{\sec }^{3}x,\end{array}$$

所以

$$F^{\prime \prime }(0)=1.$$

因此

$$P_2(x)=1+\frac{x^2}{2},$$

故

$$a=0,b=\frac{1}{2}.$$

选择 D。也可直接使用展开式 $\sec x=1+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。

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19. 【2021-3-5 分】 若 $y=\cos e^{-\sqrt{x}}$，则 ${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=$

查看答案与解析

答案：

$${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=\frac{\sin (e^{-1})}{2e}.$$

解析： 令

$$u=e^{-\sqrt{x}},$$

则

$$y=\cos u.$$

由链式法则，

$$y^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }.$$

又

$$u^{\prime }=e^{-\sqrt{x}}\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=-\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.$$

所以

$$y^{\prime }=\frac{e^{-\sqrt{x}}\sin \left(e^{-\sqrt{x}}\right)}{2\sqrt{x}}.$$

代入 $x=1$，得到

$$y^{\prime }(1)=\frac{e^{-1}\sin (e^{-1})}{2}=\frac{\sin (e^{-1})}{2e}.$$

本题含有三层复合：余弦函数、指数函数与根式函数，求导时需逐层使用链式法则。

（二）隐函数的导数：求导函数

1. 【1989-3-3 分】 设 $\tan y=x+y$，则 $dy=$

查看答案与解析

答案：

$$dy=\frac{dx}{{\tan }^{2}y}=\frac{dx}{(x+y{)}^2}.$$

解析： 方程两边对 $x$ 求导，得

$${\sec }^{2}y{y}^{\prime }=1+y^{\prime }.$$

移项整理：

$$\begin{array}{rl}({\sec }^{2}y-1)y^{\prime }& =1,\\ {\tan }^{2}y{y}^{\prime }& =1.\end{array}$$

因此

$$y^{\prime }=\frac{1}{{\tan }^{2}y}.$$

由原方程 $\tan y=x+y$，还可写成

$$y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}.$$

所以

$$dy=y^{\prime }dx=\frac{dx}{(x+y{)}^2}.$$

本题考查隐函数求导。对 $\tan y$ 求导时必须乘以 $y^{\prime }$，不能遗漏链式法则中的这一因子。

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2. 【1990-3-5 分】 求由 $2y-x=(x-y)\ln (x-y)$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的微分 $dy$。

查看答案与解析

答案：

$$dy=\frac{\ln (x-y)+2}{\ln (x-y)+3}dx.$$

解析： 由对数的定义，需有 $x-y>0$。方程两边对 $x$ 求导：

$$2y^{\prime }-1=(1-y^{\prime })\ln (x-y)+(x-y)\frac{1-y^{\prime }}{x-y}.$$

右端整理为

$$(1-y^{\prime })[\ln (x-y)+1].$$

于是

$$2y^{\prime }-1=(1-y^{\prime })[\ln (x-y)+1].$$

展开并收集含 $y^{\prime }$ 的项：

$$\begin{array}{rl}2y^{\prime }-1& =\ln (x-y)+1-y^{\prime }[\ln (x-y)+1],\\ \{\ln (x-y)+3\}{y}^{\prime }& =\ln (x-y)+2.\end{array}$$

故

$$y^{\prime }=\frac{\ln (x-y)+2}{\ln (x-y)+3},$$

从而

$$dy=\frac{\ln (x-y)+2}{\ln (x-y)+3}dx.$$

关键在于对 $(x-y)\ln (x-y)$ 使用乘积法则，并对 $\ln (x-y)$ 使用链式法则。

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3. 【1992-12-3 分】 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\cos (xy)=0$ 确定，则 $\frac{dy}{dx}=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y\sin (xy)-e^{x+y}}{e^{x+y}-x\sin (xy)}.$$

解析： 方程两边对 $x$ 求导：

$$e^{x+y}(1+y^{\prime })-\sin (xy)(y+x{y}^{\prime })=0.$$

展开后，将含 $y^{\prime }$ 的项合并：

$$e^{x+y}+e^{x+y}{y}^{\prime }-y\sin (xy)-x\sin (xy)y^{\prime }=0,$$

即

$$[e^{x+y}-x\sin (xy)]y^{\prime }=y\sin (xy)-e^{x+y}.$$

所以

$$y^{\prime }=\frac{y\sin (xy)-e^{x+y}}{e^{x+y}-x\sin (xy)}.$$

本题同时包含 $e^{x+y}$ 与 $\cos (xy)$ 两个复合函数。求导时分别有

$$(e^{x+y}{)}^{\prime }=e^{x+y}(1+y^{\prime }),$$$$[\cos (xy){]}^{\prime }=-\sin (xy)(y+x{y}^{\prime }).$$

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4. 【1993-3-3 分】 函数 $y=y(x)$ 由方程 $\sin (x^2+y^2)+e^x-x{y}^2=0$ 所确定，则 $\frac{dy}{dx}=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-e^x-2x\cos (x^2+y^2)}{2y[\cos (x^2+y^2)-x]}.$$

解析： 方程两边对 $x$ 求导，得到

$$\cos (x^2+y^2)(2x+2y{y}^{\prime })+e^x-y^2-2xy{y}^{\prime }=0.$$

将不含 $y^{\prime }$ 的项与含 $y^{\prime }$ 的项分别合并：

$$2x\cos (x^2+y^2)+e^x-y^2+2y[\cos (x^2+y^2)-x]y^{\prime }=0.$$

因此

$$2y[\cos (x^2+y^2)-x]y^{\prime }=y^2-e^x-2x\cos (x^2+y^2),$$

从而

$$y^{\prime }=\frac{y^2-e^x-2x\cos (x^2+y^2)}{2y[\cos (x^2+y^2)-x]}.$$

其中

$$(-x{y}^2{)}^{\prime }=-y^2-2xy{y}^{\prime },$$

容易因乘积法则而漏掉其中一项。

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5. 【1994-45-3 分】 设方程 $e^{xy}+y^2=\cos x$ 确定的 $y$ 为 $x$ 的函数，则 $\frac{dy}{dx}=$

查看答案与解析

答案：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\sin x+y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+2y}.$$

解析： 方程两边对 $x$ 求导：

$$e^{xy}(y+x{y}^{\prime })+2y{y}^{\prime }=-\sin x.$$

整理含 $y^{\prime }$ 的项：

$$(x{e}^{xy}+2y)y^{\prime }=-\sin x-y{e}^{xy}.$$

因此

$$y^{\prime }=-\frac{\sin x+y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+2y}.$$

求 $e^{xy}$ 的导数时，应先求指数 $xy$ 的导数：

$$(xy{)}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }.$$

若只写成 $x{y}^{\prime }$，就会遗漏乘积法则中的 $y$ 项。

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6. 【1995-3-5 分】 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x{e}^{f(y)}=e^y$ 确定，其中 $f$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime }\ne 1$，求 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。

查看答案与解析

答案：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{f^{\prime \prime }(y)-[1-f^{\prime }(y){]}^2}{x^2[1-f^{\prime }(y){]}^3}.$$

解析： 由

$$x{e}^{f(y)}=e^y$$

可知 $x>0$。两边取对数，得到

$$\ln x+f(y)=y.$$

对 $x$ 求导：

$$\frac{1}{x}+f^{\prime }(y)y^{\prime }=y^{\prime }.$$

因此

$$[1-f^{\prime }(y)]y^{\prime }=\frac{1}{x},$$

即

$$y^{\prime }=\frac{1}{x[1-f^{\prime }(y)]}.$$

再对关系式

$$\frac{1}{x}+f^{\prime }(y)y^{\prime }=y^{\prime }$$

求导，得

$$-\frac{1}{x^2}+f^{\prime \prime }(y)(y^{\prime }{)}^2+f^{\prime }(y)y^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }.$$

于是

$$[1-f^{\prime }(y)]y^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}+f^{\prime \prime }(y)(y^{\prime }{)}^2.$$

代入

$$(y^{\prime }{)}^2=\frac{1}{x^2[1-f^{\prime }(y){]}^2},$$

得到

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }& =-\frac{1}{x^2[1-f^{\prime }(y)]}+\frac{f^{\prime \prime }(y)}{x^2[1-f^{\prime }(y){]}^3}\\ & =\frac{f^{\prime \prime }(y)-[1-f^{\prime }(y){]}^2}{x^2[1-f^{\prime }(y){]}^3}.\end{array}$$

条件 $f^{\prime }(y)\ne 1$ 保证上述分母不为零。本题先取对数可显著简化求导过程。