二、渐近线

小题

1. 【1989-123-3 分】 当 $x>0$ 时，曲线 $y=x\sin \frac{1}{x}$（ ）

A. 有且仅有水平渐近线    B. 有且仅有铅直渐近线

C. 既有水平渐近线，也有铅直渐近线    D. 既无水平渐近线，也无铅直渐近线

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答案： A

解析： 当 $x\to +\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$，且 $\sin \frac{1}{x}\sim \frac{1}{x}$，所以

$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}=1$。

因此曲线有水平渐近线

$y=1$。

另一方面，当 $x\to 0^{+}$ 时，由

$\left|x\sin \frac{1}{x}\right|\le x$，

得

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$，

极限为有限值，故 $x=0$ 不是铅直渐近线。

所以该曲线有且仅有水平渐近线，选 A。

错误选项说明：B、C 均错误，因为不存在铅直渐近线；D 错误，因为存在水平渐近线 $y=1$。

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2. 【1991-12-3 分】 曲线 $y=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$（ ）

A. 没有渐近线    B. 仅有水平渐近线

C. 仅有铅直渐近线    D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线

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答案： D

解析： 函数的分母满足

$1-e^{-x^2}=0⟺x=0$。

当 $x\to 0$ 时，

$1-e^{-x^2}\sim x^2$，且 $1+e^{-x^2}\to 2$，

故

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}=+\infty$。

因此 $x=0$ 是铅直渐近线。

当 $x\to \pm \infty$ 时，$e^{-x^2}\to 0$，从而

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}=1$。

因此 $y=1$ 是水平渐近线。

所以该曲线既有水平渐近线又有铅直渐近线，选 D。

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3. 【1994-345-3 分】 曲线 $y=e^{\frac{1}{x^2}}\arctan \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有（ ）。

A. 1 条    B. 2 条    C. 3 条    D. 4 条

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答案： B

解析： 先考查可能的铅直渐近线。函数的表达式在 $x=0,1,-2$ 处无定义。

当 $x\to 0$ 时，

$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}\to -\frac{1}{2}$，

因此

$\arctan \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}\to -\arctan \frac{1}{2}\ne 0$。

又因为 $e^{1/x^2}\to +\infty$，所以

$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x^2}}\arctan \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}=-\infty$。

故 $x=0$ 是铅直渐近线。

当 $x\to 1$ 或 $x\to -2$ 时，分式趋于正、负无穷大，反正切函数分别趋于 $\pm \frac{\pi }{2}$，而指数因子趋于有限正数。因此函数的单侧极限均为有限值，$x=1$ 与 $x=-2$ 都不是铅直渐近线。

再考查无穷远处。当 $x\to \pm \infty$ 时，

$e^{1/x^2}\to 1$，

且

$\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{x^2+x+1}{x^2+x-2}\to 1$。

所以

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。

故 $y=\frac{\pi }{4}$ 是水平渐近线。

综上，曲线共有两条渐近线：

$x=0,y=\frac{\pi }{4}$。

故选 B。

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4. 【1995-3-3 分】 曲线 $y=x^2{e}^{-x^2}$ 的渐近线方程为 _____。

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答案： $y=0$

解析： 函数在全体实数上有定义，不存在使函数趋于无穷大的有限点，因此没有铅直渐近线。

当 $x\to \pm \infty$ 时，指数函数 $e^{x^2}$ 的增长速度快于多项式 $x^2$，故

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2}{e^{x^2}}=0$。

因此曲线的水平渐近线为

$y=0$。

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5. 【1998-2-3 分】 曲线 $y=x\ln \left(e+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的渐近线方程为 _____。

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答案： $y=x+\frac{1}{e}$

解析： 当 $x\to +\infty$ 时，先求斜渐近线的斜率：

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(e+\frac{1}{x}\right)=1$。

再求截距：

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-ax)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left[\ln \left(e+\frac{1}{x}\right)-1\right]$。

由于

$\ln \left(e+\frac{1}{x}\right)-1=\ln \left(1+\frac{1}{ex}\right)$，

所以

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{ex}\right)=\frac{1}{e}$。

因此斜渐近线为

$y=x+\frac{1}{e}$。

另外，当 $x\to 0^{+}$ 时，

$x\ln \left(e+\frac{1}{x}\right)\sim x\ln \frac{1}{x}\to 0$，

故 $x=0$ 不是铅直渐近线。

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6. 【2000-2-3 分】 曲线 $y=(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线方程为 _____。

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答案： $y=2x+1$

解析： 当 $x\to \pm \infty$ 时，斜渐近线的斜率为

$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{(2x-1)e^{1/x}}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(2-\frac{1}{x}\right)e^{1/x}=2$。

截距为

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[(2x-1)e^{1/x}-2x\right]$。

令 $t=\frac{1}{x}$，则 $t\to 0$，从而

$b=\underset{t\to 0}{\lim }\left[\left(\frac{2}{t}-1\right)e^t-\frac{2}{t}\right]$。

整理得

$b=\underset{t\to 0}{\lim }\left[2\frac{e^t-1}{t}-e^t\right]=2-1=1$。

因此曲线在 $x\to \pm \infty$ 时的斜渐近线均为

$y=2x+1$。

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7. 【2003-4-4 分】 曲线 $y=x{e}^{\frac{1}{x^2}}$（ ）

A. 仅有水平渐近线    B. 仅有铅直渐近线

C. 既有铅直又有水平渐近线    D. 既有铅直又有斜渐近线

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答案： D

解析： 当 $x\to 0^{+}$ 时，$x{e}^{1/x^2}\to +\infty$；当 $x\to 0^{-}$ 时，$x{e}^{1/x^2}\to -\infty$。

因此 $x=0$ 是铅直渐近线。

当 $x\to \pm \infty$ 时，斜渐近线的斜率为

$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x{e}^{1/x^2}}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{e}^{1/x^2}=1$。

截距为

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(x{e}^{1/x^2}-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }x\left(e^{1/x^2}-1\right)$。

由 $e^u-1\sim u$，取 $u=\frac{1}{x^2}$，得

$x\left(e^{1/x^2}-1\right)\sim \frac{1}{x}\to 0$。

所以斜渐近线为

$y=x$。

综上，该曲线既有铅直渐近线 $x=0$，又有斜渐近线 $y=x$，故选 D。

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8. 【2005-2-4 分】 曲线 $y=\frac{(1+x{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ 的斜渐近线方程为 _____。

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答案： $y=x+\frac{3}{2}$

解析： 函数的实数定义域为 $x>0$。将函数改写为

$y=x{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{3}{2}}$。

当 $x\to +\infty$ 时，斜渐近线的斜率为

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{3}{2}}=1$。

截距为

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{3}{2}}-1\right]$。

利用

$(1+u{)}^{\frac{3}{2}}-1\sim \frac{3}{2}u(u\to 0)$，

可得

$b=\frac{3}{2}$。

因此斜渐近线为

$y=x+\frac{3}{2}$。

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9. 【2005-1-4 分】 曲线 $y=\frac{x^2}{2x+1}$ 的斜渐近线方程为 _____。

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答案： $y=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}$

解析： 对有理式作多项式除法：

$\frac{x^2}{2x+1}=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4(2x+1)}$。

当 $x\to \pm \infty$ 时，

$\frac{1}{4(2x+1)}\to 0$。

因此

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{x^2}{2x+1}-\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)\right]=0$，

故斜渐近线为

$y=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}$。

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10. 【2006-2-4 分】 曲线 $y=\frac{x+4\sin x}{5x-2\cos x}$ 的水平渐近线方程为 _____。

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答案： $y=\frac{1}{5}$

解析： 当 $x\to \pm \infty$ 时，将分子、分母同除以 $x$：

$\frac{x+4\sin x}{5x-2\cos x}=\frac{1+4\frac{\sin x}{x}}{5-2\frac{\cos x}{x}}$。

由于 $\sin x$ 与 $\cos x$ 有界，故

$\frac{\sin x}{x}\to 0,\frac{\cos x}{x}\to 0$。

因此

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+4\sin x}{5x-2\cos x}=\frac{1}{5}$。

故水平渐近线为

$y=\frac{1}{5}$。

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11. 【2007-1234-4 分】 曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)$ 渐近线的条数为（ ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

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答案： D

解析： 先考查有限间断点。当 $x\to 0^{+}$ 时，

$\frac{1}{x}\to +\infty$，而 $\ln (1+e^x)\to \ln 2$，故

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left[\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)\right]=+\infty$。

同理，当 $x\to 0^{-}$ 时，函数趋于 $-\infty$。因此

$x=0$

是铅直渐近线。

当 $x\to +\infty$ 时，

$\ln (1+e^x)=x+\ln (1+e^{-x})$，

所以

$y-x=\frac{1}{x}+\ln (1+e^{-x})\to 0$。

故 $x\to +\infty$ 时的斜渐近线为

$y=x$。

当 $x\to -\infty$ 时，

$\frac{1}{x}\to 0,\ln (1+e^x)\to 0$，

从而

$y\to 0$。

故 $x\to -\infty$ 时的水平渐近线为

$y=0$。

综上，共有 $3$ 条渐近线，故选 D。

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12. 【2010-2-4 分】 曲线 $y=\frac{2x^3}{x^2+1}$ 的渐近线方程为 _____。

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答案： $y=2x$

解析： 对函数作代数变形：

$\frac{2x^3}{x^2+1}=2x-\frac{2x}{x^2+1}$。

当 $x\to \pm \infty$ 时，

$\frac{2x}{x^2+1}\to 0$，

因此

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{2x^3}{x^2+1}-2x\right)=0$。

故曲线的斜渐近线为

$y=2x$。

此外，$x^2+1>0$，函数在全体实数上有定义，所以没有铅直渐近线。

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13. 【2012-123-4 分】 曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为（ ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

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答案： C

解析： 因

$\frac{x^2+x}{x^2-1}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x}{x-1}(x\ne \pm 1)$，

所以分别考查 $x=1$ 与 $x=-1$。

当 $x\to 1$ 时，$\frac{x}{x-1}$ 趋于无穷，因此

$x=1$

是铅直渐近线。

当 $x\to -1$ 时，

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x}{x-1}=\frac{1}{2}$，

极限有限，故 $x=-1$ 是可去间断点，不是铅直渐近线。

又当 $x\to \pm \infty$ 时，

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+x}{x^2-1}=1$，

故水平渐近线为

$y=1$。

因此曲线共有 $2$ 条渐近线，故选 C。

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14. 【2014-123-4 分】 下列曲线中有渐近线的是（ ）

A. $y=x+\sin x$    B. $y=x^2+\sin x$    C. $y=x+\sin \frac{1}{x}$    D. $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$

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答案： C

解析： 对选项 C，当 $x\to \pm \infty$ 时，

$\sin \frac{1}{x}\to 0$，

因此

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(x+\sin \frac{1}{x}-x\right)=0$。

故曲线 C 有斜渐近线

$y=x$。

其余选项分析如下：

• A 中 $y-x=\sin x$ 不趋于 $0$，也不趋于某个常数，故 $y=x+b$ 不能成为其斜渐近线；
• B、D 的主要增长项均为 $x^2$，不可能存在形如 $y=ax+b$ 的水平或斜渐近线；
• 各函数在有限定义域边界附近也不存在函数值趋于无穷的情形，因此无相应铅直渐近线。

故选 C。

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15. 【2016-2-4 分】 曲线 $y=\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan (1+x^2)$ 的斜渐近线方程为 _____。

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答案： $y=x+\frac{\pi }{2}$

解析： 先将有理式变形：

$\frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{1+x^2}$。

于是

$y=x-\frac{x}{1+x^2}+\arctan (1+x^2)$。

当 $x\to \pm \infty$ 时，

$-\frac{x}{1+x^2}\to 0$，

且由于 $1+x^2\to +\infty$，有

$\arctan (1+x^2)\to \frac{\pi }{2}$。

因此

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[y-\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]=0$。

故曲线的斜渐近线为

$y=x+\frac{\pi }{2}$。

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16. 【2017-2-4 分】 曲线 $y=x\left(1+\arcsin \frac{2}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为 _____。

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答案： $y=x+2$

解析： 函数的定义域满足

$\left|\frac{2}{x}\right|\le 1$，

即 $|x|\ge 2$。

当 $x\to \pm \infty$ 时，先求斜率：

$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(1+\arcsin \frac{2}{x}\right)=1$。

再求截距：

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }x\arcsin \frac{2}{x}$。

令 $u=\frac{2}{x}$，则 $u\to 0$，且 $x=\frac{2}{u}$，所以

$b=2\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\arcsin u}{u}=2$。

因此曲线在 $x\to +\infty$ 与 $x\to -\infty$ 时具有同一条斜渐近线

$y=x+2$。

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17. 【2023-12-5 分】 $y=x\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程是（ ）。

A. $y=x+e$    B. $y=x+\frac{1}{e}$    C. $y=x$    D. $y=x-\frac{1}{e}$

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答案： B

解析： 当 $x\to \pm \infty$ 时，斜渐近线斜率为

$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)=1$。

截距为

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(y-x)$

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }x\left[\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-1\right]$。

注意到

$\ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)-1=\ln \left(1+\frac{1}{e(x-1)}\right)$，

故

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{e(x-1)}\right)$。

利用 $\ln (1+u)\sim u$，得

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{e(x-1)}=\frac{1}{e}$。

因此斜渐近线为

$y=x+\frac{1}{e}$，

故选 B。

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18. 【2025-3-5 分】 设 $g(x)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{3+x}{3-x}$ 的反函数，则曲线 $y=g(x)$ 的渐近线方程为 _____。

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答案： $y=3$，$y=-3$

解析： 设

$y=\frac{1}{2}\ln \frac{3+x}{3-x}$，

则

$e^{2y}=\frac{3+x}{3-x}$。

解出 $x$：

$e^{2y}(3-x)=3+x$，

$x(e^{2y}+1)=3(e^{2y}-1)$，

所以

$x=3\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}$。

交换自变量与因变量，得到反函数

$g(x)=3\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$。

当 $x\to +\infty$ 时，

$g(x)\to 3$；

当 $x\to -\infty$ 时，

$g(x)\to -3$。

因此曲线有两条水平渐近线：

$$y=3,y=-3$$

。

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19. 【2025-2-5 分】 曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3x^2+1}$ 的渐近线方程为 _____。

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答案： $y=x-1$

解析： 设

$y=\sqrt[3]{x^3-3x^2+1}$。

当 $x\to \pm \infty$ 时，斜渐近线的斜率为

$a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}=1$。

再求截距：

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(y-x)$。

利用立方差公式，

$y-x=\frac{y^3-x^3}{y^2+xy+x^2}=\frac{-3x^2+1}{y^2+xy+x^2}$。

分子、分母同除以 $x^2$，得

$b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-3+\frac{1}{x^2}}{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2+\frac{y}{x}+1}$。

由 $\frac{y}{x}\to 1$，可得

$b=\frac{-3}{1+1+1}=-1$。

因此曲线的斜渐近线为

$y=x-1$。

大题

1. 【2020-2-10 分】 求曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}(x>0)$ 的斜渐近线方程。

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答案： $y=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}$

解析： 当 $x\to +\infty$ 时，将函数写成

$y=x{\left(\frac{x}{1+x}\right)}^x=x{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{-x}$。

设斜渐近线为 $y=ax+b$。首先求斜率：

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{-x}=\frac{1}{e}$。

再求截距：

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-\frac{x}{e}\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{-x}-e^{-1}\right]$。

令

$u_x=1-x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$，

则 $u_x\to 0$，并且

${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{-x}=e^{-1}{e}^{u_x}$。

所以

$b=\frac{1}{e}\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{u_x}-1\right)$

$=\frac{1}{e}\underset{x\to +\infty }{\lim }x{u}_x$，

其中使用了 $e^u-1\sim u(u\to 0)$。

又由展开式

$\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$，

可得

$u_x=1-x\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]$

$=\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$。

因此

$b=\frac{1}{e}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}$。

故所求斜渐近线为

$y=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}$。