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三、曲线弧长(数三不做)

小题​

（一）参数方程下曲线的弧长​

  1. 【1995-3-5 分】 求摆线
{x=1−cos⁡ty=t−sin⁡t\begin{cases}x=1-\cos t \\ y=t-\sin t\end{cases}

一拱 (0≤t≤2π)\displaystyle (0 \le t \le 2 \pi) 的弧长。

（二）直角坐标系下曲线的弧长​

  1. 【2011-12-4 分】 曲线 y=∫0xtan⁡tdt(0≤x≤π4)\displaystyle y=\int_{0}^{x} \tan t d t\left(0 \le x \le \dfrac{\pi}{4}\right) 的弧长 s=\displaystyle s=

  2. 【2019-2-4 分】 曲线 y=ln⁡cos⁡x(0≤x≤π6)\displaystyle y=\ln \cos x\left(0 \le x \le \dfrac{\pi}{6}\right) 的弧长为_______。

  3. 【2023-2-5 分】 曲线 y=∫−3x3−t2dt\displaystyle y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} d t 的弧长。

（三）极坐标系下曲线的弧长​

  1. 【1996-12-5 分】 求心形线 r=a(1+cos⁡θ)\displaystyle r=a(1+\cos \theta) 的全长，其中 a>0\displaystyle a>0 是常数

  2. 【2010-2-4 分】 当 0≤θ≤π\displaystyle 0 \le \theta \le \pi 时，对数螺线 r=eθ\displaystyle r=e^{\theta} 的弧长为

大题​

（一）直角坐标系下曲线的弧长​

  1. 【1992-3-7 分】 计算曲线 y=ln⁡(1−x2)\displaystyle y=\ln (1-x^{2}) 上相应于 0≤x≤12\displaystyle 0 \le x \le \dfrac{1}{2} 的一段弧的长度。

  2. 【2001-2-7 分】 设 ρ=ρ(x)\displaystyle \rho=\rho(x) 是抛物线 y=x\displaystyle y=\sqrt{x} 上任一点 M(x,y)(x≥1)\displaystyle M(x, y)(x \ge 1) 处的曲率半径，s=s(x)\displaystyle s=s(x) 是抛物线上介于点 A(1,1)\displaystyle A(1,1) 与 M\displaystyle M 之间的弧长，计算 3ρd2ρds2−(dρds)2\displaystyle 3 \rho \dfrac{d^{2} \rho}{d s^{2}}-\left(\dfrac{d \rho}{d s}\right)^{2} 的值(在直角坐标系下曲率公式为 k=∣y′′∣[1+(y′)2]32\displaystyle k=\dfrac{|y^{\prime \prime}|}{\left[1+(y')^{2}\right]^{\frac{3}{2}}})