二、简单几何体的体积

小题

（一）自变量与旋转轴一致

1. 【1996-3-5 分】 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 $\displaystyle 2 a$，$\displaystyle 2 b$，用过此柱体底面的短轴且与底面成 $\displaystyle \alpha$ 角 $\displaystyle \left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的平面截此柱体，得一锲形体(如图)，求此锲形体的体积$\displaystyle V$。

题图：1996-3-5 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1996_3_5.png）

2. 【1988-3-4 分】 曲线 $\displaystyle y=\sin^{\frac{3}{2}} x(0 \le x \le \pi)$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成的图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所形成的旋转体体积为( ) A. $\displaystyle \dfrac{4}{3}$ B. $\displaystyle \dfrac{4}{3} \pi$ C. $\displaystyle \dfrac{2}{3} \pi^{2}$ D. $\displaystyle \dfrac{2}{3} \pi$

3. 【1989-3-3 分】 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}\right)$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积( ) A. $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$    B. $\displaystyle \pi$ C. $\displaystyle \dfrac{\pi^{2}}{2}$    D. $\displaystyle \pi^{2}$

4. 【1996-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$，$\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)<f(x)<m$ ($\displaystyle m$ 为常数)，由曲线 $\displaystyle y=g(x)$，$\displaystyle y=f(x)$，$\displaystyle x=a$ 及 $\displaystyle x=b$ 所围成平面图形绕直线 $\displaystyle y=m$ 旋转而成的旋转体体积为( ) A. $\displaystyle \int_{a}^{b} \pi[2 m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] d x$ B. $\displaystyle \int_{a}^{b} \pi[2 m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] d x$ C. $\displaystyle \int_{a}^{b} \pi[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] d x$ D. $\displaystyle \int_{a}^{b} \pi[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] d x$

5. 【2010-3-4 分】 设位于曲线 $\displaystyle y=\dfrac{1}{\sqrt{x(1+\ln ^{2} x)}} \ \ (e \le x<+\infty)$ 下方$\displaystyle x$轴上方的无界区域为 $\displaystyle G$，则 $\displaystyle G$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得空间区域的体积为

6. 【2011-3-4 分】 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x^{2}-1}$，直线 $\displaystyle x=2$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围的平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为

7. 【2021-3-5 分】 设平面区域 $\displaystyle D$ 由曲线段 $\displaystyle y=\sqrt{x} \cdot \sin \pi x(0 \le x \le 1)$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成，则 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所形成旋转体的体积为

（二）自变量与旋转轴垂直

1. 【2020-3-4 分】 设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) | \dfrac{x}{2} \le y \le \dfrac{1}{1+x^{2}}, 0 \le x \le 1\right\}$，$\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转所成旋转体体积为____。

大题

（一）自变量与旋转轴一致

1. 【1987-3-8 分】 设 $\displaystyle D$ 是曲线 $\displaystyle y=\sin x+1$ 与三条直线 $\displaystyle x=0$，$\displaystyle x=\pi$，$\displaystyle y=0$ 围成的曲边梯形。求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所生成的旋转体体积

2. 【1988-45-8 分】 在曲线 $\displaystyle y=x^{2}(x \ge 0)$ 上某点 $\displaystyle A$ 处作一切线，使之与曲线以及 $\displaystyle x$ 轴所围图形的面积为 $\displaystyle \dfrac{1}{12}$，试求: (1)切点 $\displaystyle A$ 的坐标； (2)过切点 $\displaystyle A$ 的切线方程； (3)由上述所围平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积

3. 【1989-3-10 分】 设抛物线 $\displaystyle y=a x^{2}+b x+c$ 过原点，当 $\displaystyle 0 \le x \le 1$ 时 $\displaystyle y \ge 0$，又知该抛物线与 $\displaystyle x$ 轴及直线 $\displaystyle x=1$ 所围成的面积为 $\displaystyle \dfrac{1}{3}$。试确定 $\displaystyle a,b,c$ 的值，使此图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $\displaystyle V$ 最小。

4. 【1990-23-6 分】 过点 $\displaystyle P(1,0)$ 作抛物线 $\displaystyle y=\sqrt{x-2}$ 的切线与上述抛物线及 $\displaystyle x$ 轴围成一平面图形，求此图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。

5. 【1994-3-9 分】 求曲线 $\displaystyle y=3-|x^{2}-1|$ 与 $\displaystyle x$ 轴围成的封闭图形绕直线 $\displaystyle y=3$ 旋转所得的旋转体体积。

6. 【1994-4-8 分】 已知曲线 $\displaystyle y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $\displaystyle y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\displaystyle (x_{0}, y_{0})$ 处有公共切线，求: (1)常数 $\displaystyle a$ 及切点 $\displaystyle (x_{0}, y_{0})$； (2)两曲线与 $\displaystyle x$ 轴围成的平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所得旋转体的体积

7. 【1994-5-8 分】 已知曲线 $\displaystyle y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $\displaystyle y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\displaystyle (x_{0}, y_{0})$ 处有公共切线，求: (1)常数 $\displaystyle a$ 及切点 $\displaystyle (x_{0}, y_{0})$； (2)两曲线与 $\displaystyle x$ 轴围成的平面图形的面积 $\displaystyle S$。

8. 【1996-5-9 分】 已知一抛物线通过 $\displaystyle x$ 轴上的两点 $\displaystyle A(1,0)$，$\displaystyle B(3,0)$。 1)求证:两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 $\displaystyle x$ 轴与该抛物线所围图形的面积； 2)计算上述两个平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比

9. 【1997-2-8 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间$\displaystyle [0,1]$ 上连续，在开区间$\displaystyle (0,1)$ 内大于零，并满足 $\displaystyle x f'(x)=f(x)+\dfrac{3 a}{2} x^{2}$($\displaystyle a$ 为常数)，又曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 与 $\displaystyle x=1$、$\displaystyle y=0$ 所围的图形 $\displaystyle S$ 的面积值为2，求函数 $\displaystyle y=f(x)$，并问 $\displaystyle a$ 为何值时，图形 $\displaystyle S$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。

10. 【1998-4-7 分】 设直线 $\displaystyle y=a x$ 与抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 所围成图形的面积为 $\displaystyle S_{1}$，它们与直线 $\displaystyle x=1$ 所围成的图形面积为 $\displaystyle S_{2}$，并且 $\displaystyle a<1$。 (1)试确定 $\displaystyle a$ 的值，使 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$ 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积

11. 【2003-1-10 分】 过坐标原点作曲线 $\displaystyle y=\ln x$ 的切线，该切线与曲线 $\displaystyle y=\ln x$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成平面图形 $\displaystyle D$。 (1)求 $\displaystyle D$ 的面积 $\displaystyle A$； (2)求 $\displaystyle D$ 绕直线 $\displaystyle x=e$ 旋转一周所得的旋转体的体积 $\displaystyle V$。

12. 【2007-2-11 分】 设 $\displaystyle D$ 是位于曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x} a^{-\frac{x}{2 a}}(a>1,0 \le x<+\infty)$ 下方，$\displaystyle x$ 轴上方的无界区域。 (1)求区域 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $\displaystyle V(a)$； (2)当 $\displaystyle a$ 为何值时，$\displaystyle V(a)$ 最小？并求此最小值。

13. 【2012-2-12 分】 过点$\displaystyle (0,1)$ 作曲线 $\displaystyle L: y=\ln x$ 的切线，切点为 $\displaystyle A$，又 $\displaystyle L$ 与 $\displaystyle x$ 轴交于 $\displaystyle B$ 点，区域 $\displaystyle D$ 由 $\displaystyle L$ 与直线 $\displaystyle AB$ 围成，求区域 $\displaystyle D$ 的面积及 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

14. 【2014-2-11 分】 已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)$，$\displaystyle f(y, y)=(y+1)^{2}-(2-y) \ln y$，求曲线 $\displaystyle f(x, y)=0$ 所围图形绕直线 $\displaystyle y=-1$ 旋转所成旋转体的体积。

15. 【2024-2-12 分】 设 $\displaystyle t>0$，平面有界区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $\displaystyle x=t$，$\displaystyle x=2 t$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成，$\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $\displaystyle V(t)$，求 $\displaystyle V(t)$ 的最大值。

（二）自变量与旋转轴垂直

1. 【1991-3-9 分】 曲线 $\displaystyle y=(x-1)(x-2)$ 和 $\displaystyle x$ 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 $\displaystyle y$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积

2. 【1993-3-9 分】 设平面图形 $\displaystyle A$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \le 2 x$ 与 $\displaystyle y \ge x$ 所确定，求图形 $\displaystyle A$ 绕直线 $\displaystyle x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积

3. 【1997-4-7 分】 求曲线 $\displaystyle y=x^{2}-2 x$、$\displaystyle y=0$、$\displaystyle x=1$、$\displaystyle x=3$ 所围成的平面图形的面积 $\displaystyle S$，并求该平面围绕 $\displaystyle y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $\displaystyle V$。

4. 【2002-3-7 分】 设 $\displaystyle D_{1}$ 是由抛物线 $\displaystyle y=2 x^{2}$ 和直线 $\displaystyle x=a$，$\displaystyle x=2$ 及 $\displaystyle y=0$ 所围成的平面区域；$\displaystyle D_{2}$ 是由抛物线 $\displaystyle y=2 x^{2}$ 和直线 $\displaystyle y=0$，$\displaystyle x=a$ 所围成的平面区域，其中 $\displaystyle 0<a<2$。 (1)试求 $\displaystyle D_{1}$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成的旋转体体积 $\displaystyle V_{1}$；$\displaystyle D_{2}$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转而成的旋转体体积 $\displaystyle V_{2}$； (2)问当 $\displaystyle a$ 为何值时，$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 取得最大值？试求此最大值。

5. 【2013-23-10 分】 设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{3}}$，$\displaystyle y=x^3$，直线 $\displaystyle x=a(a>0)$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围成的平面图形，$\displaystyle V_{x}$，$\displaystyle V_{y}$ 分别是 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $\displaystyle V_{y}=10 V_{x}$，求 $\displaystyle a$ 的值。

6. 【2015-2-10 分】 设 $\displaystyle A>0$，$\displaystyle D$ 是由曲线段 $\displaystyle y=A \sin x\left(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\right)$ 及直线 $\displaystyle y=0$、$\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域，$\displaystyle V_{1}$、$\displaystyle V_{2}$ 分别表示 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴与绕 $\displaystyle y$ 轴旋转所成旋转体的体积，若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$，求 $\displaystyle A$ 的值

7. 【2020-2-10 分】 $\displaystyle f(x)$ 的定义域为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 且满足 $\displaystyle 2 f(x)+x^{2} f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^{2}+2 x}{\sqrt{1+x^{2}}}$，求 $\displaystyle f(x)$ 并求曲线 $\displaystyle y=f(x)$，$\displaystyle y=\dfrac{1}{2}$，$\displaystyle y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 及$\displaystyle y$轴围成区域绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积

8. 【2023-23-12 分】 已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) | 0 \le y \le \dfrac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}, x \ge 1\right\}$ (1)求 $\displaystyle D$ 的面积 (2)求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转所成旋转体的体积