一、平面图形的面积

小题

（一）直角坐标系下平面图形的面积

1. 【1987-12-3 分】 由 $\displaystyle y=\ln x$ 与两直线 $\displaystyle y=(e+1)-x$ 及 $\displaystyle y=0$ 围成图形的面积为

2. 【1990-45-3 分】 曲线 $\displaystyle y=x^{2}$ 与直线 $\displaystyle y=x+2$ 所围成的平面图形的面积为

3. 【1991-45-5 分】 假设曲线$\displaystyle L_1: y=1-x^{2}(0 \leq x \leq 1)$，$\displaystyle x$轴和$\displaystyle y$轴所围区域被曲线$\displaystyle L_2: y=a x^{2}$分为面积相等的两部分(如图)，$\displaystyle a$是大于零的常数，试确定$\displaystyle a$值。

题图：1991-45-5 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1991_45_5.png）

4. 【1992-3-3 分】 由曲线 $\displaystyle y=x e^{x}$ 与直线 $\displaystyle y=e x$ 所围成的图形的面积$\displaystyle S=$

5. 【1994-3-5 分】 如图，设曲线方程为 $\displaystyle y=x^{2}+\dfrac{1}{2}$，梯形 $\displaystyle OABC$ 的面积为 $\displaystyle D$，曲边梯形 $\displaystyle OABC$ 的面积为 $\displaystyle D_{1}$。点 $\displaystyle A$ 的坐标为 $\displaystyle (a, 0)$。$\displaystyle a>0$。证明：$\displaystyle \dfrac{D}{D_{1}}<\dfrac{3}{2}$

题图：1994-3-5 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1994_3_5.png）

6. 【1995-3-3 分】 曲线 $\displaystyle y=x(x-1)(2-x)$ 与 $\displaystyle x$ 轴所围成图形的面积可表示为( ) A. $\displaystyle -\int_{0}^{2} x(x-1)(2-x) d x$ B. $\displaystyle \int_{0}^{1} x(x-1)(2-x) d x-\int_{1}^{2} x(x-1)(2-x) d x$ C. $\displaystyle -\int_{0}^{1} x(x-1)(2-x) d x+\int_{1}^{2} x(x-1)(2-x) d x$ D. $\displaystyle \int_{0}^{2} x(x-1)(2-x) d x$

7. 【1996-3-3 分】 由曲线 $\displaystyle y=x+\dfrac{1}{x}$、$\displaystyle x=2$ 及 $\displaystyle y=2$ 所围图形的面积 $\displaystyle S =$

8. 【1997-12-3 分】 设区间 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle f(x)>0$，$\displaystyle f'(x)<0$，$\displaystyle f''(x)>0$，令$\displaystyle S_{1}=\int_{a}^{b} f(x) d x$，$\displaystyle S_{2}=f(b)(b-a)$，$\displaystyle S_{3}=\dfrac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$，则( ) A. $\displaystyle S_{1}<S_{2}<S_{3}$ B. $\displaystyle S_{2}<S_{1}<S_{3}$ C. $\displaystyle S_{3}<S_{1}<S_{2}$ D. $\displaystyle S_{2}<S_{3}<S_{1}$

9. 【1998-2-3 分】 曲线 $\displaystyle y=-x^{3}+x^{2}+2 x$ 与 $\displaystyle x$ 轴所围成的图形的面积 $\displaystyle A=$

10. 【2000-2-5 分】 设 $\displaystyle xOy$ 平面上有正方形 $\displaystyle D=\{(x, y) | 0 \le x \le 1,0 \le y \le 1\}$ 及直线 $\displaystyle l: x+y=t(t \ge 0)$。若 $\displaystyle S(t)$ 表示正方形 $\displaystyle D$ 位于直线 $\displaystyle l$ 左下方部分的面积，试求 $\displaystyle \int_{0}^{x} S(t) d t(x \ge 0)$。

11. 【2002-2-3 分】 位于曲线 $\displaystyle y=x e^{-x}(0 \le x<+\infty)$ 下方，$\displaystyle x$ 轴上方的无界图形面积是

12. 【2007-1234-4 分】 如图，连续函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间$\displaystyle [-3,-1]$、$\displaystyle [1,3]$上的图形分别是直径为的上、下半圆周，设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$，则下列结论正确的是( ) A. $\displaystyle F(3)=-\dfrac{3}{4} F(-2)$ B. $\displaystyle F(3)=\dfrac{5}{4} F(2)$ C. $\displaystyle F(-3)=\dfrac{3}{4} F(2)$ D. $\displaystyle F(-3)=-\dfrac{5}{4} F(-2)$

题图：2007-1234-4 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2007_1234_4.png）

13. 【2008-234-4 分】 如图曲线段方程为 $\displaystyle y=f(x)$，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有连续的导数，则定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x f'(x) d x$ 等于() A. 曲边梯形 $\displaystyle ABOD$ 面积    B. 梯形 $\displaystyle ABOD$ 面积 C. 曲边三角形 $\displaystyle ACD$ 面积    D. 三角形 $\displaystyle ACD$ 面积

题图：2008-234-4 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2008_234_4.png）

14. 【2012-3-4 分】 由曲线 $\displaystyle y=\dfrac{4}{x}$ 和直线 $\displaystyle y=x$ 及 $\displaystyle y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为

15. 【2014-3-4 分】 设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle x y+1=0$ 与直线 $\displaystyle x+y=0$ 及 $\displaystyle y=2$ 围成的有界区域，则 $\displaystyle D$ 的面积为

16. 【2017-12-4 分】 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10 (单位: $\displaystyle m$ ) 处。图中实线表示甲的速度曲线 $\displaystyle v=v_{1}(t)$ (单位:$\displaystyle m/s$)，虚线表示乙的速度曲线 $\displaystyle v=v_{2}(t)$，三块阴影部分的面积的数值依次为10,20,3。计时开始后乙追上甲的时刻记为 $\displaystyle t_{0}$ (单位:$\displaystyle s$)，则( ) A. $\displaystyle t_{0}=10$    B. $\displaystyle 15<t_{0}<20$ C. $\displaystyle t_{0}=25$    D. $\displaystyle t_{0}>25$

题图：2017-12-4 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2017_12_4.png）

（二）极坐标系下平面图形的面积

1. 【1993-12-3 分】 双纽线 $\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}$ 所围成的区域面积可用定积分表示为( ) A. $\displaystyle 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos 2 \theta d \theta$ B. $\displaystyle 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos 2 \theta d \theta$ C. $\displaystyle 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{cos 2 \theta} d \theta$ D. $\displaystyle \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(cos 2 \theta)^{2} d \theta$

2. 【2003-2-4 分】 设曲线的极坐标方程为 $\displaystyle \rho=e^{a \theta}(a>0)$，则该曲线上相应于 $\displaystyle \theta$ 从$\displaystyle 0$变到 $\displaystyle 2 \pi$ 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为

3. 【2013-2-4 分】 设封闭曲线 $\displaystyle L$ 的极坐标方程为 $\displaystyle r=cos 3 \theta\left(-\dfrac{\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{\pi}{6}\right)$ 则 $\displaystyle L$ 所围平面图形的面积是

4. 【2022-2-5 分】 已知曲线 $\displaystyle L$ 的极坐标方程为 $\displaystyle r=sin 3 \theta\left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{3}\right)$ 则 $\displaystyle L$ 围成有界区域的面积为

大题

（一）直角坐标系下平面图形的面积

1. 【1987-5-10 分】 函数$\displaystyle y=x^2$，问： 1)$\displaystyle t$取何值时，图中阴影部分面积$\displaystyle S_1$，$\displaystyle S_2$之和$\displaystyle S=S_1+S_2$最小？ 2)$\displaystyle t$取何值时，图中阴影部分面积$\displaystyle S_1$，$\displaystyle S_2$之和$\displaystyle S=S_1+S_2$最大？

题图：1987-5-10 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1987_5_10.png）

2. 【1987-4-10 分】 函数 $\displaystyle y=\sin x\left(0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}\right)$，问： 1)$\displaystyle t$取何值时，图中阴影部分面积$\displaystyle S_1$，$\displaystyle S_2$之和$\displaystyle S=S_1+S_2$最小？ 2)$\displaystyle t$取何值时，图中阴影部分面积$\displaystyle S_1$，$\displaystyle S_2$之和$\displaystyle S=S_1+S_2$最大？

题图：1987-4-10 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1987_4_10.png）

3. 【1987-3-10 分】 在第一象限内，求曲线 $\displaystyle y=-x^{2}+1$ 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积最小，并求出此最小面积。

4. 【1988-12-9 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且在 $\displaystyle (a, b)$ 内有 $\displaystyle f'(x)>0$。证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在唯一的 $\displaystyle \xi$，使曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 与两直线 $\displaystyle y=f(\xi)$，$\displaystyle x=a$ 所围平面图形面积 $\displaystyle s_1$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 与两直线 $\displaystyle y=f(\xi)$，$\displaystyle x=b$ 所围平面图形面积 $\displaystyle s_2$ 的3倍。

题图：1988-12-9 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1988_12_9.png）

5. 【1990-3-9 分】 在椭圆 $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的第一象限上取$\displaystyle P$，过该点做切线，使切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小(其中 $\displaystyle a>0$，$\displaystyle b>0$)。

6. 【1991-3-9 分】 如图，$\displaystyle A$和$\displaystyle D$分别是曲线 $\displaystyle y=e^{x}$ 和 $\displaystyle y=e^{-2 x}$ 上的点，$\displaystyle AB$ 和 $\displaystyle DC$ 均垂直 $\displaystyle x$ 轴，且 $\displaystyle |AB|:|DC|=2: 1$，$\displaystyle |AB|<1$，求点 $\displaystyle B$ 和 $\displaystyle C$ 的横坐标，使梯形 $\displaystyle ABCD$ 的面积最大。

题图：1991-3-9 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1991_3_9.png）

7. 【1992-3-7 分】 求曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $\displaystyle l$，使该曲线与切线 $\displaystyle l$ 及直线 $\displaystyle x=0$，$\displaystyle x=2$ 所围成的平面图形面积最小。

8. 【1998-3-6 分】 设两条抛物线$\displaystyle y=n x^{2}+\dfrac{1}{n}$和$\displaystyle y=(n+1) x^{2}+\dfrac{1}{n+1}$，记它们交点的横坐标的绝对值为 $\displaystyle a_{n}$。 1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 $\displaystyle S_n$； 2)求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{S_{n}}{a_{n}}$ 的和。

9. 【1999-34-6 分】 曲线 $\displaystyle y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 的切线与 $\displaystyle x$ 轴和 $\displaystyle y$ 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 $\displaystyle \alpha$，试求切线方程和这个图形的面积。当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？

10. 【2001-3-7 分】 已知抛物线 $\displaystyle y=p x^{2}+q x$ (其中 $\displaystyle p<0$，$\displaystyle q>0$)在第一象限内与直线 $\displaystyle x+y=5$ 相切，且此抛物线与 $\displaystyle x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $\displaystyle S$。 (1)问 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle q$ 为何值时，$\displaystyle S$ 达到最大值？ (2)求出此最大值。

11. 【2004-4-12 分】 设

$$F(x)= \begin{cases}e^{2 x}, & x ≤0, \\ e^{-2 x}, & x>0,\end{cases}$$

$\displaystyle S$ 表示在$\displaystyle x$轴与曲线$\displaystyle y=F(x)$之间的总面积。对任何 $\displaystyle t>0$，$\displaystyle S_{1}(t)$ 表示矩形 $\displaystyle -t \le x \le t$，$\displaystyle 0 \le y \le F(t)$ 的面积。 (1)$\displaystyle S(t)=S-S_{1}(t)$ 的表达式； (2)$\displaystyle S(t)$ 的最小值。

12. 【2006-2-12 分】 已知曲线 $\displaystyle L$ 的方程

$$\begin{cases}x=t^{2}+1 & (t ≥0) \\ y=4 t-t^{2} & (t ≥0)\end{cases}$$

(1)讨论 $\displaystyle L$ 的凹凸性； (2)过点$\displaystyle (1,0)$引$\displaystyle L$的切线，求切点$\displaystyle (x_{0}, y_{0})$，并写出切线的方程； (3)求此切线与 $\displaystyle L$ (对应于 $\displaystyle x \le x_{0}$ 的部分)及 $\displaystyle x$ 轴所围成的平面图形的面积。

13. 【2010-2-10 分】 一个高为$\displaystyle l$ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $\displaystyle 2 a$，短轴为 $\displaystyle 2 b$ 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 $\displaystyle \dfrac{3}{2} b$ 时(如图)。计算油的质量。(长度单位为 $\displaystyle m$，质量单位为 $\displaystyle kg$，油的密度为常数 $\displaystyle \rho kg/m^{3}$)

题图：2010-2-10 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2010_2_10.png）

14. 【2014-2-11 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{1+x}\ \ x \in[0,1]$，定义函数列 $f_{1}(x)=f(x), f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \cdots, f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), \cdots$ 记 $\displaystyle S_{n}$ 是由曲线 $\displaystyle y=f_{n}(x)$，直线 $\displaystyle x=1$ 及 $\displaystyle x$ 轴所围平面图形的面积。求极限 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} n S_{n}$。

15. 【2019-2-10 分】 设 $\displaystyle n$ 是正整数，记 $\displaystyle S_{n}$ 为曲线 $\displaystyle y=e^{-x} \sin x(0 \le x \le n \pi)$ 与 $\displaystyle x$ 轴所围图形的面积，求 $\displaystyle S_{n}$，并求 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} S_{n}$

16. 【2019-13-10 分】 求曲线 $\displaystyle y=e^{-x} \sin x(x \ge 0)$ 与 $\displaystyle x$ 轴之间图形的面积

17. 【2024-3-10 分】 设 $\displaystyle t>0$，平面有界区域 $\displaystyle D$ 由曲线 $\displaystyle y=x e^{-2 x}$ 与直线 $\displaystyle x=t$，$\displaystyle x=2 t$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成，$\displaystyle D$ 的面积为 $\displaystyle S(t)$，求 $\displaystyle S(t)$ 的最大值。