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四、广义积分

小题​

（一）广义积分的计算​

  1. 【1988-45-4 分】 题干缺失

  2. 【1991-3-3 分】 ∫1+∞ln⁡xx2dx=___\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^{2}} d x=\_\_\_

  3. 【1992-3-3 分】 ∫1+∞1x(x2+1)dx=___\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x(x^{2}+1)} d x=\_\_\_

  4. 【1993-3-5 分】 求 ∫0+∞x(1+x)3dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{x}{(1+x)^{3}} d x .

  5. 【1995-5-3 分】 设 lim⁡x→∞(1+xx)ax=∫−∞atetdt\displaystyle \lim _{x \to \infty}\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^{a x}=\int_{-\infty}^{a} t e^{t} d t，则常数 a=___\displaystyle a=\_\_\_

  6. 【1997-2-3 分】 ∫0+∞dxx2+4x+8=___\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{d x}{x^{2}+4 x+8}=\_\_\_

  7. 【2000-3-3 分】 ∫1+∞dxex+e2−x=___\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{d x}{e^{x}+e^{2-x}}=\_\_\_ .

  8. 【2000-2-3 分】 ∫2+∞dx(x+7)x−2=___\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{d x}{(x+7) \sqrt{x-2}}=\_\_\_

  9. 【2002-1-3 分】 ∫e+∞dxxln⁡2x=___\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \dfrac{d x}{x \ln ^{2} x}=\_\_\_

  10. 【2004-2-4 分】 ∫1+∞dxxx2−1=___\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\_\_\_

  11. 【2005-2-4 分】 ∫01xdx(2−x2)1−x2=___\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{x d x}{\left(2-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}=\_\_\_

  12. 【2006-2-4 分】 反常积分 ∫0+∞xdx(1+x2)2=___\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{x d x}{(1+x^{2})^{2}}=\_\_\_

  13. 【2009-2-4 分】 已知 ∫−∞+∞ek∣x∣dx=1\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{k|x|} d x=1，则 k=___\displaystyle k=\_\_\_

  14. 【2011-2-4 分】 设函数

f(x)={λe−λx,x>0, λ>00,x≤0f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0,\ \lambda>0 \\ 0, & x \le0 \end{cases}

则 ∫−∞+∞xf(x)dx=___\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x=\_\_\_

  1. 【2013-13-4 分】 ∫1+∞ln⁡x(1+x)2dx=___\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{(1+x)^{2}} d x=\_\_\_

  2. 【2014-2-4 分】 ∫−∞11x2+2x+5dx=___\displaystyle \int_{-\infty}^{1} \dfrac{1}{x^{2}+2 x+5} d x=\_\_\_

  3. 【2017-2-4 分】 ∫0+∞ln⁡(1+x)(1+x)2dx=___\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} d x=\_\_\_。

  4. 【2018-2-4 分】 ∫5+∞1x2−4x+3dx=___\displaystyle \int_{5}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{2}-4 x+3} d x=\_\_\_。

  5. 【2021-2-5 分】 ∫−∞+∞∣x∣⋅3−x2dx=___\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|x| \cdot 3^{-x^{2}} d x=\_\_\_

  6. 【2021-1-5 分】 ∫0+∞dxx2+2x+2=___\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{d x}{x^{2}+2 x+2}=\_\_\_

  7. 【2023-2-5 分】 若函数 f(α)=∫2+∞1x(ln⁡x)α+1dx\displaystyle f(\alpha)=\int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} d x 在 α=α0\displaystyle \alpha=\alpha_{0} 处取得最小值，则 α0=( )\displaystyle \alpha_{0}=(\ ) A. −1ln⁡(ln⁡2)\displaystyle \dfrac{-1}{\ln (\ln 2)} B. −ln⁡2\displaystyle -\ln2 C. 1−ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{-\ln 2} D. ln⁡2\displaystyle \ln 2

  8. 【2024-3-5 分】 ∫2+∞5x4+3x2−4dx=___\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{5}{x^{4}+3 x^{2}-4} d x=\_\_\_

  9. 【2025-23-5 分】 设 ∫1+∞ax(2x+a)dx=ln⁡2\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2，则 a=___\displaystyle a=\_\_\_

（二）广义积分收敛性的判别​

  1. 【1987-45-2 分】 下列广义积分收敛的是( ). A. ∫e+∞ln⁡xxdx\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{x} d x B. ∫e+∞dxxln⁡x\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \dfrac{d x}{x \ln x} C. ∫e+∞dxx(ln⁡x)2\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \dfrac{d x}{x(\ln x)^{2}} D. ∫e+∞dxxln⁡x\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \dfrac{d x}{x \sqrt{\ln x}}

  2. 【1995-45-3 分】 下列广义积分发散的是( ). A. ∫−111sin⁡xdx\displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{\sin x} d x B. ∫−1111−x2dx\displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x C. ∫0+∞e−x2dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x D. ∫2+∞1xln⁡2xdx\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln ^{2} x} d x

  3. 【2005-4-3 分】 下列结论中正确的是( ). A. ∫1+∞dxx(x+1)\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{d x}{x(x+1)} 与∫01dxx(x+1)\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{d x}{x(x+1)} 都收敛 B. ∫1+∞dxx(x+1)\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{d x}{x(x+1)} 与∫01dxx(x+1)\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{d x}{x(x+1)} 都发散 C. ∫1+∞dxx(x+1)\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{d x}{x(x+1)} 发散，∫01dxx(x+1)\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{d x}{x(x+1)} 收敛 D. ∫1+∞dxx(x+1)\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{d x}{x(x+1)} 收敛，∫01dxx(x+1)\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{d x}{x(x+1)} 发散

  4. 【2010-12-4 分】 设m,n\displaystyle m,n是正整数，则反常积分 ∫01ln⁡2(1−x)mxndx\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x 的收敛性( ) A. 仅与 m\displaystyle m 的取值有关    B. 仅与 n\displaystyle n 的取值有关 C. 与 m,n\displaystyle m,n 的取值都有关    D. 与 m,n\displaystyle m,n 的取值都无关

  5. 【2013-2-4 分】 题干函数分段缺失，∫1+∞f(x)dx\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) d x收敛，则( ) A. α<−2\displaystyle \alpha<-2    B. α>2\displaystyle \alpha>2 C. −2<α<0\displaystyle -2<\alpha<0    D. 0<α<2\displaystyle 0<\alpha<2

  6. 【2015-2-4 分】 下列反常积分中收敛的是( ) A. ∫2+∞1xdx\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} d x B. ∫2+∞ln⁡xxdx\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{\ln x}{x} d x C. ∫2+∞1xln⁡xdx\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln x} d x D. ∫2+∞xexdx\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \dfrac{x}{e^{x}} d x

  7. 【2016-2-4 分】 反常积分 (1)∫−∞01x2e1xdx\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x，(2)∫0+∞1x2e1xdx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x 的敛散性为() A. ①收敛，②收敛    B. ①收敛，②发散    C. ①发散，②收敛    D. ①发散，②发散

  8. 【2016-1-4 分】 若反常积分 ∫0+∞1xa(1+x)bdx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{a}(1+x)^{b}} d x 收敛，则() A. a<1\displaystyle a<1 且 b>1\displaystyle b>1    B. a>1\displaystyle a>1 且 b>1\displaystyle b>1 C. a<1\displaystyle a<1 且 a+b>1\displaystyle a+b>1    D. a>1\displaystyle a>1 且 a+b>1\displaystyle a+b>1

  9. 【2019-2-4 分】 下列反常积分发散的是( ) A. ∫0+∞xe−xdx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x e^{-x} d x B. ∫0+∞xe−x2dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x C. ∫0+∞arctan⁡x1+x2dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{1+x^{2}} d x D. ∫0+∞x1+x2dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{x}{1+x^{2}} d x

  10. 【2022-2-5 分】 设 p\displaystyle p 为常数，若反常积分 ∫01ln⁡xxp(1−x)1−pdx\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\ln x}{x^{p}(1-x)^{1-p}} d x 收敛，则 p\displaystyle p 的取值范围是( ). A. (−1,1)\displaystyle (-1,1)    B. (1,2)\displaystyle (1,2) C. (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1)    D. (−∞,2)\displaystyle (-\infty,2)

  11. 【2024-2-5 分】 设非负函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) 上连续，给出以下三个命题: (1)若 ∫0+∞f2(x)dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) d x 收敛，则 ∫0+∞f(x)dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x 收敛. (2)若存在 p>1\displaystyle p>1，使得 lim⁡x→+∞xpf(x)\displaystyle \lim _{x \to +\infty} x^{p} f(x) 存在，则 ∫0+∞f(x)dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x 收敛. (3)若 ∫0+∞f(x)dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x 收敛，则存在 p>1\displaystyle p>1，使得 lim⁡x→+∞xpf(x)\displaystyle \lim _{x \to +\infty} x^{p} f(x) 存在. 其中真命题的个数为( ) A. 0\displaystyle 0    B. 1\displaystyle 1    C. 2\displaystyle 2    D. 3\displaystyle 3

大题​

（一）广义积分的计算​

  1. 【1991-2-6 分】 求 ∫3+∞dx(x−1)4x2−2x\displaystyle \int_{3}^{+\infty} \dfrac{d x}{(x-1)^{4} \sqrt{x^{2}-2 x}}

  2. 【1993-45-7 分】 已知 lim⁡x→∞(x−ax+a)x=∫a+∞4x2e−2xdx\displaystyle \lim _{x \to \infty}\left(\dfrac{x-a}{x+a}\right)^{x}=\int_{a}^{+\infty} 4 x^{2} e^{-2 x} d x，求常数 a\displaystyle a 的值

  3. 【1995-45-6 分】 计算 ∫0+∞xe−x(1+e−x)2dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{x e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}} d x .

  4. 【1998-2-6 分】 计算积分 ∫1232dx∣x−x2∣\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \dfrac{d x}{\sqrt{|x-x^{2}|}}。

  5. 【1999-2-6 分】 计算 ∫1+∞arctan⁡xx2dx\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{x^{2}} d x .

  6. 【2000-4-6 分】 计算 I=∫1+∞dxe1+x+e3−x\displaystyle I=\int_{1}^{+\infty} \dfrac{d x}{e^{1+x}+e^{3-x}} .

  7. 【2008-2-9 分】 求积分 ∫01x2arcsin⁡x1−x2dx\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{x^{2} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x