三、定积分的计算

1.无穷区间上的积分

2.有限区间上的积分

小题

（一）基本考查

1. 【1987-5-4 分】 计算定积分 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{\sqrt{2 x-1}} d x$ .

2. 【1987-123-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 为已知连续函数，$\displaystyle I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) d x,\ s>0,\ t>0$，$\displaystyle I$ 的值(). A. 依赖于 $\displaystyle s$ 和 $\displaystyle t$    B. 依赖于 $\displaystyle s,t,x$ C. 依赖于 $\displaystyle t$ 和 $\displaystyle x$，不依赖于 $\displaystyle s$    D. 依赖于 $\displaystyle s$，不依赖于$\displaystyle t$

3. 【1988-3-4 分】 $\displaystyle \int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}} d x=\_\_\_$

4. 【1988-45-2 分】 判断正误：等式 $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) d x=-\int_{0}^{a} f(a-x) d x$ 对任意连续函数$\displaystyle f(x)$、常数$\displaystyle a$都成立。

5. 【1989-3-3 分】 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} t \sin t d t=\_\_\_$

6. 【1989-123-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) d t$，则 $\displaystyle f(x)=\_\_\_$

7. 【1990-3-3 分】 $\displaystyle \int_{0}^{1} x \sqrt{1-x} d x=\_\_\_$

8. 【1990-12-5 分】 求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+x)}{(2-x)^{2}} d x$

9. 【1991-3-5 分】 计算 $\displaystyle \int_{1}^{4} \dfrac{d x}{x(1+\sqrt{x})}$ .

10. 【1992-3-5 分】 求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} d x$ .

11. 【1993-3-5 分】 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{1+\cos 2 x} d x=\_\_\_$

12. 【1994-3-5 分】 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x^{4})^{\frac{3}{2}} d x$ .

13. 【1996-3-5 分】 计算 $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-e^{-2 x}} d x$ .

14. 【1997-4-3 分】 若 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}+x^{3} \int_{0}^{1} f(x) d x$，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=\_\_\_$

15. 【1997-3-3 分】 若 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) d x$，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=\_\_\_$

16. 【1999-2-3 分】 函数 $\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 在区间 $\displaystyle \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$ 上的平均值为$\displaystyle \_\_\_$

17. 【2024-2-5 分】 某物体以速度 $\displaystyle v(t)=t+k \sin \pi t$ 做直线运动，若它从 $\displaystyle t=0$ 到 $\displaystyle t=3$ 的时间段内平均速度是 $\displaystyle \dfrac{5}{2}$，则 $\displaystyle k=\_\_\_$.

18. 【2000-1-3 分】 $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{2 x-x^{2}} d x=\_\_\_$ .

19. 【2007-1-4 分】 $\displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{3}} e^{\frac{1}{x}} d x=\_\_\_$

20. 【2008-3-4 分】 设 $\displaystyle f\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x+x^{3}}{1+x^{4}}$，则 $\displaystyle \int_{2}^{2 \sqrt{2}} f(x) d x=\_\_\_$

21. 【2009-2-4 分】 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} \int_{0}^{1} e^{-x} \sin n x d x=\_\_\_$

22. 【2010-1-4 分】 $\displaystyle \int_{0}^{\pi^{2}} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} d x=\_\_\_$

23. 【2012-1-4 分】 $\displaystyle \int_{0}^{2} x \sqrt{2 x-x^{2}} d x=\_\_\_$

24. 【2014-3-4 分】 设 $\displaystyle \int_{0}^{a} x e^{2 x} d x=\dfrac{1}{4}$，则 $\displaystyle a=\_\_\_$

25. 【2020-2-4 分】 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} d x=(\ )$ A. $\displaystyle \dfrac{\pi^{2}}{4}$ B. $\displaystyle \dfrac{\pi^{2}}{8}$ C. $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ D. $\displaystyle \dfrac{\pi}{8}$

26. 【2022-1-5 分】 求 $\displaystyle \int_{1}^{e^{2}} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} d x=\_\_\_$

27. 【2022-2-5 分】 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{2 x+3}{x^{2}-x+1} d x=\_\_\_$

28. 【2022-3-5 分】 $\displaystyle \int_{0}^{2} \dfrac{2 x-4}{x^{2}+2 x+4} d x=\_\_\_$

29. 【2023-12-5 分】 设连续函数 $\displaystyle f(x)$ 满足: $\displaystyle f(x+2)-f(x)=x,\ \int_{0}^{2} f(x) d x=0$，则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) d x=\_\_\_$

30. 【2025-123-5 分】 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{1}{(x+1)\left(x^{2}-2 x+2\right)} d x$

（二）显式分段函数

1. 【1991-3-3 分】 设函数

$$f(x)= \begin{cases} x^{2}, & 0 \le x \le1 \\ 2-x, & 1<x \le2 \end{cases},\quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t,\ 0 \le x \le2$$

则( ).

$$\begin{aligned} &A.\ F(x)=\begin{cases}\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, &0 \le x \le1\\\displaystyle \dfrac{1}{3}+2x-\dfrac{x^{2}}{2}, &1<x \le2\end{cases} \\ &B.\ F(x)=\begin{cases}\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, &0 \le x \le1\\\displaystyle -\dfrac{7}{6}+2x-\dfrac{x^{2}}{2}, &1<x \le2\end{cases} \\ &C.\ F(x)=\begin{cases}\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, &0 \le x \le1\\\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}+2x-\dfrac{x^{2}}{2}, &1<x \le2\end{cases} \\ &D.\ F(x)=\begin{cases}\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, &0 \le x \le1\\\displaystyle 2x-\dfrac{x^{2}}{2}, &1<x \le2\end{cases} \end{aligned}$$

2. 【1992-13-5 分】 设

$$f(x)= \begin{cases} 1+x^{2}, & x \le0 \\ e^{-x}, & x>0 \end{cases}$$

求 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x-2) d x$ .

3. 【1993-3-3 分】 已知

$$f(x)= \begin{cases} x^{2}, & 0 \le x<1 \\ 1, & 1 \le x \le2 \end{cases},\quad F(x)=\int_{1}^{x} f(t) d t(0 \le x \le2)$$

则 $\displaystyle F(x)$ 为().

$$\begin{aligned} &A.\ \begin{cases}\displaystyle \dfrac{1}{3} x^{3}, & 0 \le x<1 \\ x, & 1 \le x \le2 \end{cases} \\ &B.\ \begin{cases}\displaystyle \dfrac{1}{3} x^{3}-\dfrac{1}{3}, & 0 \le x<1 \\ x, & 1 \le x \le2 \end{cases} \\ &C.\ \begin{cases}\displaystyle \dfrac{1}{3} x^{3}, & 0 \le x<1 \\ x-1, & 1 \le x \le2 \end{cases} \\ &D.\ \begin{cases}\displaystyle \dfrac{1}{3} x^{3}-\dfrac{1}{3}, & 0 \le x<1 \\ x-1, & 1 \le x \le2 \end{cases} \end{aligned}$$

4. 【2004-34-4 分】 设

$$f(x)= \begin{cases} x e^{x^{2}}, & -\displaystyle \dfrac{1}{2} \le x<\dfrac{1}{2} \\[4pt] -1, & x \ge \displaystyle \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

则 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2} f(x-1) d x=\_\_\_$

（三）隐式分段函数

1. 【2021-3-5 分】 $\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^{5} \dfrac{x}{\sqrt{|x^{2}-9|}} d x=\_\_\_$

（四）积分区间对称且被积函数为奇(偶)函数

1. 【1987-45-2 分】 判断正误: $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{4} \sin x d x=0$ .

2. 【1991-5-5 分】 求定积分 $\displaystyle I=\int_{-1}^{1}(2 x+|x|+1)^{2} d x$

3. 【1994-45-3 分】 $\displaystyle \int_{-2}^{2} \dfrac{x+|x|}{2+x^{2}} d x=\_\_\_$

4. 【1996-3-3 分】 $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x+\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2} d x=\_\_\_$

5. 【2001-2-3 分】 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^{3}+\sin ^{2} x) \cos ^{2} x d x=\_\_\_$

6. 【2003-4-4 分】 题干缺失

7. 【2014-1-4 分】 若

$$\int_{-\pi}^{\pi}\left(x-a_{1} \cos x-b_{1} \sin x\right)^{2} d x=\min _{a, b \in \mathbb{R}}\left\{\int_{-\pi}^{\pi}(x-a \cos x-b \sin x)^{2} d x\right\}$$

则 $\displaystyle a_{1} \cos x+b_{1} \sin x=()$ A. $\displaystyle 2 \sin x$    B. $\displaystyle 2\cos x$ C. $\displaystyle 2 \pi \sin x$    D. $\displaystyle 2 \pi \cos x$

8. 【2015-1-4 分】 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) d x=\_\_\_$

9. 【2017-3-4 分】 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}(\sin ^{3} x+\sqrt{\pi^{2}-x^{2}}) d x=\_\_\_$

（五）含有抽象函数导数的积分

1. 【1989-3-4 分】 已知 $\displaystyle f(2)=\dfrac{1}{2},\ f'(2)=0$ 以及 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) d x=1$，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) d x$ .

2. 【1999-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 有一个原函数 $\displaystyle \dfrac{\sin x}{x}$，则 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x f'(x) d x=\_\_\_$

3. 【2018-1-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有2阶连续导数，若曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 过点$\displaystyle (0,0)$ 且与曲线 $\displaystyle y=2^{x}$ 在点$\displaystyle (1,2)$ 处相切，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(x) d x=\_\_\_$

（六）含有变限积分的积分

1. 【2019-2-4 分】 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{4}} d t$，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) d x=\_\_\_$.

2. 【2019-3-4 分】 $\displaystyle f(x)=x \int_{1}^{x} \dfrac{\sin t^{2}}{t} d t$，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=\_\_\_$.

大题

（一）基本考查

1. 【1987-3-8 分】 计算定积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} x \arcsin x d x$ .

2. 【1990-3-10 分】 设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \dfrac{\ln t}{1+t} d t$，其中 $\displaystyle x>0$，求 $\displaystyle f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)$

（二）显式分段函数

1. 【2002-2-7 分】 设

$$f(x)= \begin{cases} 2 x+\dfrac{3}{2} x^{2}, & -1 \le x<0 \\ \displaystyle \dfrac{x e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}, & 0 \le x \le1 \end{cases}$$

求函数 $\displaystyle F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) d t$ 的表达式.

（三）隐式分段函数

1. 【1988-3-7 分】 求 $\displaystyle \int_{-1}^{x}(1-|t|) d t,\ x \ge-1$

2. 【1991-3-9 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内满足 $\displaystyle f(x)=f(x-\pi)+\sin x$，且 $\displaystyle f(x)=x,\ x \in[0, \pi)$，计算 $\displaystyle \int_{\pi}^{3 \pi} f(x) d x$ .

（四）积分区间对称且被积函数为奇(偶)函数

1. 【1987-2-6 分】 计算定积分 $\displaystyle \int_{-2}^{2}(|x|+x) e^{-|x|} d x$ .

（五）积分区间对称且被积函数不为奇(偶)函数

1. 【1995-45-6 分】 设 $\displaystyle f(x),g(x)$ 在区间 $\displaystyle [-a,a](a>0)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 为偶函数，且 $\displaystyle f(x)$ 满足条件 $\displaystyle f(x)+f(-x)=A$（$\displaystyle A$ 为常数） (1)证明: $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) g(x) d x=A \int_{0}^{a} g(x) d x$ (2)利用(1)的结论计算定积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan e^{x} d x$ .

（六）含有抽象函数导数的积分

1. 【2001-2-7 分】 设函数 $\displaystyle f(x),g(x)$ 满足 $\displaystyle f'(x)=g(x),\ g'(x)=2 e^{x}-f(x)$，且 $\displaystyle f(0)=0,\ g(0)=2$，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left[\dfrac{g(x)}{1+x}-\dfrac{f(x)}{(1+x)^{2}}\right] d x$

2. 【2005-12-11 分】

题图：2005-12-11 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2005_12_11.png）

（七）含有变限积分的积分

1. 【1995-3-8 分】 设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \dfrac{\sin t}{\pi-t} d t$，计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) d x$

2. 【2013-1-10 分】 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \dfrac{\ln (t+1)}{t} d t$，计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}} d x$

（八）运用递推公式

1. 【2019-13-10 分】 设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} d x(n=0,1,2, \cdots)$ . (1)证明:数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 单调减少，且 $\displaystyle a_{n}=\dfrac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$； (2)求 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}$ .