五、偏导数在空间解析几何中的应用（数一专项）

小题

1. 【1989-12-3 分】 已知曲面 $\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}$ 上点 $\displaystyle P$ 处的切平面平行于平面 $\displaystyle 2 x+2 y+z-1=0$，则点 $\displaystyle P$ 的坐标是( ) A. $\displaystyle (1, -1,2)$    B. $\displaystyle (-1,1,2)$ C. $\displaystyle (1,1,2)$    D. $\displaystyle (-1, -1,2)$

2. 【1993-12-3 分】 由曲线 $\displaystyle \begin{cases}3 x^{2}+2 y^{2}=12 \\ z=0\end{cases}$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转一周得到的旋转曲面在点 $\displaystyle (0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$ 处的指向外侧的单位法向量为___。

3. 【1994-12-3 分】 曲面 $\displaystyle z-e^{z}+2 x y=3$ 在点 $\displaystyle (1,2,0)$ 处的切平面方程为___。

4. 【1995-2-5 分】 求曲面 $\displaystyle z=\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}$ 平行于平面 $\displaystyle 2 x+2 y-z=0$ 的切平面方程。

5. 【2000-1-3 分】 曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 在点 $\displaystyle (1, -2,2)$ 的法线方程为___。

6. 【2001-1-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 附近有定义，且 $\displaystyle f_{x}'(0,0)=3$，$\displaystyle f_{y}'(0,0)=1$，则( ) A. $\displaystyle \left.d z\right|_{(0,0)}=3 d x+d y$ B. 曲面 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0, f(0,0))$ 的法向量为 $\displaystyle \{3,1,1\}$ C. 曲线 $\displaystyle \begin{cases}z=f(x, y) \\ y=0\end{cases}$ 在点 $\displaystyle (0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $\displaystyle \{1,0,3\}$ D. 曲线 $\displaystyle \begin{cases}z=f(x, y) \\ y=0\end{cases}$ 在点 $\displaystyle (0,0, f(0,0))$ 的切向量为 $\displaystyle \{3,0,1\}$

7. 【2003-1-4 分】 曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $\displaystyle 2 x+4 y-z=0$ 平行的切平面方程为___。

8. 【2013-1-4 分】 曲面 $\displaystyle x^{2}+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $\displaystyle (0,1, -1)$ 处的切平面方程为( ) A. $\displaystyle x-y+z=-2$    B. $\displaystyle x+y+z=0$ C. $\displaystyle x-2 y+z=-3$    D. $\displaystyle x-y-z=0$

9. 【2014-1-4 分】 曲面 $\displaystyle z=x^{2}(1-\sin y)+y^{2}(1-\sin x)$ 在点 $\displaystyle (1,0,1)$ 处的切平面方程为___。

10. 【2018-1-4 分】 过点 $\displaystyle (1,0,0)$，$\displaystyle (0,1,0)$，且与曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为( ) A. $\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle x+y-z=1$ B. $\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle 2 x+2 y-z=2$ C. $\displaystyle x=y$ 与 $\displaystyle x+y-z=1$ D. $\displaystyle x=y$ 与 $\displaystyle 2 x+2 y-z=2$

11. 【2023-1-5 分】 曲面 $\displaystyle z=x+2 y+\ln (1+x^{2}+y^{2})$ 在点 $\displaystyle (0,0,0)$ 处的切平面方程为___。

大题

1. 【2024-1-12 分】 已知函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+y^{3}-(x+y)^{2}+3$，设 $\displaystyle T$ 是曲面 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (1,1,1)$ 处的切平面，$\displaystyle D$ 是 $\displaystyle T$ 与坐标面所围成的有界区域在 $\displaystyle xoy$ 面上的投影。 (1)求 $\displaystyle T$ 的方程； (2)求 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D$ 上的最大值和最小值。