四、多元函数的极值

小题

（一）对定理的考查

1. 【2003-34-4 分】 设可微函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (x_{0}, y_{0})$ 取得极小值，则下列结论正确的是( ) A. $\displaystyle f(x_{0}, y)$ 在 $\displaystyle y=y_{0}$ 处的导数等于零 B. $\displaystyle f(x_{0}, y)$ 在 $\displaystyle y=y_{0}$ 处的导数小于零 C. $\displaystyle f(x_{0}, y)$ 在 $\displaystyle y=y_{0}$ 处的导数大于零 D. $\displaystyle f(x_{0}, y)$ 在 $\displaystyle y=y_{0}$ 处的导数不存在

2. 【2003-1-4 分】 已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\\ y \to 0}} \dfrac{f(x, y)-x y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=1$，则( ) A. 点 $\displaystyle (0,0)$ 不是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点 B. 点 $\displaystyle (0,0)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极大值点 C. 点 $\displaystyle (0,0)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点 D. 根据所给条件无法判别点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点

3. 【2009-2-4 分】 设函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分为 $\displaystyle d z=x d x+y d y$，则点 $\displaystyle (0,0)$( ) A. 不是 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续点    B. 不是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点 C. 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极大值点    D. 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点

4. 【2011-1-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f(x)>0$，$\displaystyle f'(0)=0$，则函数 $\displaystyle z=f(x) \ln f(y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是( ) A. $\displaystyle f(0)>1$，$\displaystyle f''(0)>0$ B. $\displaystyle f(0)>1$，$\displaystyle f''(0)<0$ C. $\displaystyle f(0)<1$，$\displaystyle f''(0)>0$ D. $\displaystyle f(0)<1$，$\displaystyle f''(0)<0$

5. 【2011-2-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$，$\displaystyle g(x)$ 均有二阶连续导数，满足 $\displaystyle f(0)>0$，$\displaystyle g(0)<0$，且 $\displaystyle f'(0)=g'(0)=0$，则函数 $\displaystyle z=f(x) g(y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是( ) A. $\displaystyle f''(0)<0$，$\displaystyle g''(0)>0$ B. $\displaystyle f''(0)<0$，$\displaystyle g''(0)<0$ C. $\displaystyle f''(0)>0$，$\displaystyle g''(0)>0$ D. $\displaystyle f''(0)>0$，$\displaystyle g''(0)<0$

6. 【2014-2-4 分】 设函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上连续，在 $\displaystyle D$ 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} \neq 0$ 及 $\displaystyle \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$，则( ) A. $\displaystyle u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $\displaystyle D$ 的边界上取得 B. $\displaystyle u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $\displaystyle D$ 的内部取得 C. $\displaystyle u(x, y)$ 的最大值在 $\displaystyle D$ 的内部取得，最小值在 $\displaystyle D$ 的边界上取得 D. $\displaystyle u(x, y)$ 的最小值在 $\displaystyle D$ 的内部取得，最大值在区域 $\displaystyle D$ 的边界上取得

（二）极值点和极值的计算

1. 【2017-3-4 分】 二元函数 $\displaystyle z=x y(3-x-y)$ 的极值点是( ) A. $\displaystyle (0,0)$    B. $\displaystyle (0,3)$    C. $\displaystyle (3,0)$    D. $\displaystyle (1,1)$

2. 【2024-23-5 分】 函数 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{3}-9 x^{2}-6 y^{4}+12 x+24 y$ 的极值点是___。

（三）对定理内容的考查

1. 【2006-123-4 分】 设 $\displaystyle f(x, y)$ 与 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\displaystyle \varphi_{y}'(x, y) \neq 0$。已知 $\displaystyle (x_{0}, y_{0})$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在约束条件 $\displaystyle \varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A. 若 $\displaystyle f_{x}'(x_{0}, y_{0})=0$，则 $\displaystyle f_{y}'(x_{0}, y_{0})=0$ B. 若 $\displaystyle f_{x}'(x_{0}, y_{0})=0$，则 $\displaystyle f_{y}'(x_{0}, y_{0}) \neq 0$ C. 若 $\displaystyle f_{x}'(x_{0}, y_{0}) \neq 0$，则 $\displaystyle f_{y}'(x_{0}, y_{0})=0$ D. 若 $\displaystyle f_{x}'(x_{0}, y_{0}) \neq 0$，则 $\displaystyle f_{y}'(x_{0}, y_{0}) \neq 0$

（四）有界闭区域上的最值

1. 【2022-1-5 分】 当 $\displaystyle x \geq 0$，$\displaystyle y \geq 0$ 时，$\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq k e^{x+y}$ 恒成立，求 $\displaystyle k$ 的取值范围是___。

大题

（一）极值点和极值的计算

1. 【1994-5-8 分】 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 $\displaystyle x$（万尾），乙种鱼放养 $\displaystyle y$（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为 $\displaystyle (3-\alpha x-\beta y) x$ 和 $\displaystyle (4-\beta x-2 \alpha y) y(\alpha>\beta>0)$，求使产鱼总量最大的放养数。

2. 【2004-1-12 分】 设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 确定的函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值。

3. 【2009-13-9 分】 求二元函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}(2+y^{2})+y \ln y$ 的极值。

4. 【2012-12-10 分】 求函数 $\displaystyle f(x, y)=x e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ 的极值。

5. 【2013-1-10 分】 求函数 $\displaystyle f(x, y)=(y+\dfrac{x^{3}}{3}) e^{x+y}$ 的极值。

6. 【2015-2-11 分】 已知函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足 $\displaystyle f_{x y}''(x, y)=2(y+1) e^{x}$，$\displaystyle f_{x}'(x, 0)=(x+1) e^{x}$，$\displaystyle f(0, y)=y^{2}+2 y$，求 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值。

7. 【2016-2-10 分】 已知函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle (x^{2}+y^{2}) z+\ln z+2(x+y+1)=0$ 确定，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值。

8. 【2020-123-10 分】 求二元函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+8 y^{3}-x y$ 的极值。

9. 【2021-3-12 分】 求函数 $\displaystyle f(x, y)=2 \ln |x|+\dfrac{(x-1)^{2}+y^{2}}{2 x^{2}}$ 的极值。

10. 【2022-2-12 分】 已知可微函数 $\displaystyle f(u, v)$ 满足 $\displaystyle \dfrac{\partial f(u, v)}{\partial u}-\dfrac{\partial f(u, v)}{\partial v}=(2 u-v) e^{-u+v}$，且 $\displaystyle f(u, 0)=u^{2} e^{-u}$。 (1)记 $\displaystyle g(x, y)=f(x, y-x)$，求 $\displaystyle \dfrac{\partial g(x, y)}{\partial x}$； (2)求 $\displaystyle f(u, v)$ 的表达式和极值。

11. 【2022-3-12 分】 设某产品的产量 $\displaystyle Q$ 由资本投入量 $\displaystyle x$ 和劳动投入量 $\displaystyle y$ 决定。生产函数 $\displaystyle Q=12 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}$，该产品的销售单价 $\displaystyle P$ 与 $\displaystyle Q$ 关系为 $\displaystyle P=1160-1.5 Q$，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量。

12. 【2023-1-12 分】 求函数 $\displaystyle f(x, y)=(y-x^{2})(y-x^{3})$ 的极值。

13. 【2023-2-12 分】 求函数 $\displaystyle f(x, y)=x e^{\cos y}+\dfrac{x^{2}}{2}$ 的极值。

14. 【2025-2-12 分】 设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 可微且满足 $\displaystyle d f(x, y)=-2 x e^{-y} d x+e^{-y}(x^{2}-y-1) d y$，$\displaystyle f(0,0)=2$，求 $\displaystyle f(x, y)$，并求 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值。

（二）最值的计算

1. 【1990-45-9 分】 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入 $\displaystyle R$（万元）与电台广告费用 $\displaystyle x_{1}$（万元）及报纸广告费用 $\displaystyle x_{2}$（万元）之间的关系有如下经验公式： $R=15+14 x_{1}+32 x_{2}-8 x_{1} x_{2}-2 x_{1}^{2}-10 x_{2}^{2}.$ (1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2) 若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。

2. 【1994-2-6 分】 在椭圆 $\displaystyle x^{2}+4 y^{2}=4$ 上求一点，使其到直线 $\displaystyle 2 x+3 y-6=0$ 的距离最短。

3. 【1999-34-6 分】 设生产某种产品必须投入两种要素，$\displaystyle x_{1}$ 和 $\displaystyle x_{2}$ 分别为两要素的投入量，$\displaystyle Q$ 为产出量；若生产函数为 $\displaystyle Q=2 x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\beta}$，其中 $\displaystyle \alpha$，$\displaystyle \beta$ 为正常数，且 $\displaystyle \alpha+\beta=1$。假设两种要素的价格分别为 $\displaystyle p_{1}$ 和 $\displaystyle p_{2}$，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

4. 【2008-24-11 分】 求函数 $\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在约束条件 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 和 $\displaystyle x+y+z=4$ 下的最大值与最小值。

5. 【2008-1-11 分】 已知曲线 $\displaystyle C: \begin{cases}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0 \\ x+y+3 z=5\end{cases}$，求曲线 $\displaystyle C$ 上距离 $\displaystyle xOy$ 平面最远的点和最近的点。

6. 【2010-3-10 分】 求函数 $\displaystyle u=x y+2 y z$ 在约束条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ 下的最大值和最小值。

7. 【2013-2-10 分】 求曲线 $\displaystyle x^{3}-x y+y^{3}=1(x \geq 0, y \geq 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

8. 【2018-123-10 分】 将长为 $\displaystyle 2 m$ 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

9. 【2021-1-12 分】 求曲线 $\displaystyle C: \begin{cases}x^{2}+2 y^{2}-z=6 \\ 4 x+2 y+z=30\end{cases}$ 距离 $\displaystyle XOY$ 平面的最大值。

（三）有界闭区域上的最值

1. 【1995-5-9 分】 求二元函数 $\displaystyle z=f(x, y)=x^{2} y(4-x-y)$ 在由直线 $\displaystyle x+y=6$，$\displaystyle x$ 轴和 $\displaystyle y$ 轴所围成的闭区域 $\displaystyle D$ 上的极值、最大值与最小值。

2. 【2005-2-10 分】 已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分 $\displaystyle d z=2 x d x-2 y d y$，并且 $\displaystyle f(1,1)=2$，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\{(x, y) | x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4} \leq 1\}$ 上的最大值和最小值。

3. 【2005-4-8 分】 求 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}-y^{2}+2$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\{(x, y) | x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4} \leq 1\}$ 上的最大值和最小值。

4. 【2007-1-11 分】 求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x^{2} y^{2}$ 在区域 $\displaystyle D=\{(x, y) | x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0\}$ 上的最大值和最小值。