三、极值和拐点

小题

（一）对概念的直接考查

1. 【1987-3-5 分】 判断正误：$\displaystyle g''(c)$存在，$\displaystyle g'(c)=0,g''(c)<0\Rightarrow g(c)$是极大值。

2. 【1987-12-3 分】 $\displaystyle y=x2^x$在$\displaystyle x=$____处极小值。

3. 【1988-45-2 分】 判断正误：$\displaystyle x_0$是极值点$\displaystyle \Rightarrow f'(x_0)=0$。

4. 【1993-123-3 分】 $\displaystyle y=\dfrac{x+1}{x^2}$填表

单调减区间
单调增区间
极值点
极值
凹区间
凸区间
拐点
渐近线

5. 【1989-3-3 分】 $\displaystyle f(x),g(x)$在$\displaystyle x=a$都取极大，则$\displaystyle F(x)=f(x)g(x)$在$\displaystyle x=a$( )。 A. 必极大    B. 必极小    C. 不可能极值    D. 不能确定

6. 【1990-3-3 分】 $\displaystyle y=\dfrac1{1+x^2}(x>0)$拐点____。

7. 【1991-3-3 分】 $\displaystyle x_0\neq0$是$\displaystyle f(x)$极大，则( )。 A. $\displaystyle x_0$必驻点 B. $\displaystyle -x_0$是$\displaystyle -f(-x)$极小 C. $\displaystyle -x_0$是$\displaystyle -f(x)$极小 D. $\displaystyle \forall x,f(x)\le f(x_0)$

8. 【1996-5-3 分】 $\displaystyle f'(x_0)=f''(x_0)=0,f'''(x_0)>0$，则( )。 A. $\displaystyle f'(x_0)$是$\displaystyle f'(x)$极大    B. $\displaystyle f(x_0)$极大 C. $\displaystyle f(x_0)$极小    D. $\displaystyle (x_0,f(x_0))$拐点

9. 【2001-2-3 分】 $\displaystyle y=(x-1)^2(x-3)^2$拐点个数( )。 A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle 1$    C. $\displaystyle 2$    D. $\displaystyle 3$

10. 【2004-234-4 分】 $\displaystyle f(x)=|x(1-x)|$，则( )。 A. $\displaystyle x=0$极值，$\displaystyle (0,0)$非拐点 B. $\displaystyle x=0$非极值，$\displaystyle (0,0)$拐点 C. $\displaystyle x=0$极值，$\displaystyle (0,0)$拐点 D. $\displaystyle x=0$非极值，$\displaystyle (0,0)$非拐点

11. 【2005-34-4 分】 $\displaystyle f(x)=x\sin x+\cos x$，则( )。 A. $\displaystyle f(0)$极大，$\displaystyle f(\dfrac{\pi}{2})$极小 B. $\displaystyle f(0)$极小，$\displaystyle f(\dfrac{\pi}{2})$极大 C. 两者均极大 D. 两者均极小

12. 【2008-2-4 分】 $\displaystyle y=(x-5)x^{\frac{2}{3}}$拐点坐标____。

13. 【2010-3-4 分】 $\displaystyle y=x^3+ax^2+bx+1$拐点$\displaystyle (-1,0)$，则$\displaystyle b=$____。

14. 【2010-12-4 分】 $\displaystyle f_1''(x_0)<0,f_2''(x_0)<0$，同切线$\displaystyle y=g(x)$，$\displaystyle y=f_1$曲率更大，则( )。 A. $\displaystyle f_1\le f_2\le g$    B. $\displaystyle f_2\le f_1\le g$ C. $\displaystyle f_1\le g\le f_2$    D. $\displaystyle f_2\le g\le f_1$

15. 【2019-2-4 分】 $\displaystyle y=x\sin x+2\cos x(-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{3}{2}\pi)$拐点坐标____。

16. 【2019-2-4 分】 $\displaystyle y=x\sin x+2\cos x(-\dfrac{\pi}{2}<x<2\pi)$拐点( )。 A. $\displaystyle (0,2)$ B. $\displaystyle (\pi,-2)$ C. $\displaystyle (\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$ D. $\displaystyle (\dfrac{3}{2}\pi,-\dfrac{3}{2}\pi)$

17. 【2019-1-4 分】 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x|x|,x\le0\\ x\ln x,x>0\end{cases}$，$\displaystyle x=0$ ( )。 A. 可导极值    B. 不可导极值    C. 可导非极值    D. 不可导非极值

18. 【2019-1-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x|x|, & x \leq 0 \\ x \ln x, & x>0\end{cases}$ 则 $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的( ) A. 可导点，极值点    B. 不可导点，极值点 C. 可导点，非极值点    D. 不可导点，非极值点

19. 【2023-2-5 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=(x^{2}+a) e^{x}$，若 $\displaystyle f(x)$ 没有极值点，但曲线 $\displaystyle f(x)$ 有拐点，则 $\displaystyle a$ 的取值范围是( ) A. $\displaystyle [0,1)$    B. $\displaystyle [1,+\infty)$ C. $\displaystyle [1,2)$    D. $\displaystyle [2,+\infty)$

20. 【2023-3-5 分】 已知可导函数 $\displaystyle y=f(x)$，其满足 $\displaystyle a e^{x}+y^{2}+y-\ln (1+x) \cos y+b=0$，且满足 $\displaystyle y(0)=0$，$\displaystyle y'(0)=0$。 (1)求 $\displaystyle a$，$\displaystyle b$； (2)判断 $\displaystyle x=0$ 是否为 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值点。

21. 【2025-123-5 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \sin t d t$，$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot \sin^{2} x$。则() A. $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，也是 $\displaystyle g(x)$ 的极值点。 B. $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是 $\displaystyle g(x)$ 的拐点。 C. $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (0,0)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的拐点。 D. $\displaystyle (0,0)$ 是曲线 $\displaystyle f(x)$ 的拐点，$\displaystyle (0,0)$ 也是 $\displaystyle g(x)$ 的拐点。

（二）结合方程

1. 【1988-12-3 分】 设 $\displaystyle y=f(x)$ 是方程 $\displaystyle y''-2 y'+4 y=0$ 的一个解，若 $\displaystyle f(x)>0$，且 $\displaystyle f'(x_{0})=0$，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$( ) A. 取得极大值    B. 取得极小值    C. 某个邻域内单调增加    D. 某个邻域内单调减少

2. 【1994-3-3 分】 设 $\displaystyle y=f(x)$ 是满足微分方程 $\displaystyle y''+y'-e^{\sin x}=0$，且 $\displaystyle f'(x_{0})=0$，则 $\displaystyle f(x)$ 在( ) A. $\displaystyle x_{0}$ 的某个邻域内单调增加    B. $\displaystyle x_{0}$ 的某个邻域内单调减少 C. $\displaystyle x_{0}$ 处取得极小值    D. $\displaystyle x_{0}$ 处取得极大值

3. 【1997-2-3 分】 已知函数 $\displaystyle y=f(x)$ 对一切 $\displaystyle x$ 满足 $\displaystyle x f''(x)+3 x[f'(x)]^{2}=1-e^{-x}$，若 $\displaystyle f'(x_{0})=0(x_{0} \neq 0)$，则( ) A. $\displaystyle f(x_{0})$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极大值 B. $\displaystyle f(x_{0})$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极小值 C. $\displaystyle (x_{0}, f(x_{0}))$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点 D. $\displaystyle f(x_{0})$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值，$\displaystyle (x_{0}, f(x_{0}))$ 也不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点

4. 【2000-2-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足关系式 $\displaystyle f''(x)+[f'(x)]^{2}=x$，且 $\displaystyle f'(0)=0$，则( ) A. $\displaystyle f(0)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极大值 B. $\displaystyle f(0)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极小值 C. 点 $\displaystyle (0, f(0))$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点 D. $\displaystyle f(0)$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值，点 $\displaystyle (0, f(0))$ 也不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点

（三）结合图像

1. 【2003-12-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，其导数的图形如图所示，则 $\displaystyle f(x)$ 有( ) A. 一个极小值点和两个极大值点    B. 两个极小值点和一个极大值点 C. 两个极小值点和两个极大值点    D. 三个极小值点和一个极大值点

题图：2003-12-4 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_up_2003_12_4.png）

2. 【2015-123-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，其2阶导函数 $\displaystyle f''(x)$ 的图形如图所示，则曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点个数为( ) A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

题图：2015-123-4 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_up_2015_123_4.png）

3. 【2016-23-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图像如图所示，则( ) A. 函数 $\displaystyle f(x)$ 有2个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有2个拐点 B. 函数 $\displaystyle f(x)$ 有2个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有3个拐点 C. 函数 $\displaystyle f(x)$ 有3个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有1个拐点 D. 函数 $\displaystyle f(x)$ 有3个极值点，曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 有2个拐点

题图：2016-23-4 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_up_2016_23_4.png）

（四）结合极限

1. 【1987-12-3 分】 设 $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^{2}}=-1$，则在点 $\displaystyle x=a$ 处( ) A. $\displaystyle f(x)$ 导数存在，$\displaystyle f'(a) \neq 0$    B. $\displaystyle f(x)$ 取得极大值 C. $\displaystyle f(x)$ 取得极小值    D. $\displaystyle f(x)$ 的导数不存在

2. 【1990-123-3 分】 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内连续，且 $\displaystyle f(0)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{1-\cos x}=2$，则在点 $\displaystyle x=0$ 处 $\displaystyle f(x)$( ) A. 不可导    B. 可导，且 $\displaystyle f'(0) \neq 0$    C. 取得极大值    D. 取得极小值

3. 【1996-12-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f'(0)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f''(x)}{|x|}=1$，则( ) A. $\displaystyle f(0)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极大值 B. $\displaystyle f(0)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极小值 C. $\displaystyle (0, f(0))$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点 D. $\displaystyle f(0)$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值，$\displaystyle (0, f(0))$ 也不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点

4. 【1998-2-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个邻域内连续，且 $\displaystyle f(a)$ 为极大值，则存在 $\displaystyle \delta>0$，当 $\displaystyle x \in(a-\delta, a+\delta)$ 时，必有( ) A. $\displaystyle (x-a)[f(x)-f(a)] \geq 0$ B. $\displaystyle (x-a)[f(x)-f(a)] \leq 0$ C. $\displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{f(t)-f(x)}{(t-x)^{2}} \geq 0(x \neq a)$ D. $\displaystyle \lim_{t \to a} \dfrac{f(t)-f(x)}{(t-x)^{2}} \leq 0(x \neq a)$

5. 【2001-34-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 的导数在 $\displaystyle x=a$ 处连续，又 $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{x-a}=-1$，则( ) A. $\displaystyle x=a$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极小值点 B. $\displaystyle x=a$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的极大值点 C. $\displaystyle (a, f(a))$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点 D. $\displaystyle x=a$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，$\displaystyle (a, f(a))$ 也不是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的拐点

大题

（一）对概念的直接考查

1. 【1988-45-6 分】 $\displaystyle f(x)=\int_0^xe^{-\frac{1}{2}t^2}\mathrm{d}t$，求： (1)$\displaystyle f'(x)$；(2)单调性；(3)奇偶；(4)拐点；(5)凹凸；(6)水平渐近线。

2. 【1988-3-12 分】 $\displaystyle y=\dfrac6{x^2-2x+4}$填表：

单调增加区间
单调减少区间
极值点
极值
凹(∪)区间
凸(∩)区间
拐点
渐近线

3. 【1989-5-12 分】 $\displaystyle y=\dfrac{2x^2}{(1-x)^2}$，求单调区间、极值、凹凸、拐点、渐近线并作图。

4. 【1993-123-7 分】 作$\displaystyle y=(x+6)e^{\frac{1}{x}}$图像。

5. 【1994-3-9 分】 $\displaystyle y=\dfrac{x^3+4}{x^2}$：(1)增减极值；(2)凹凸拐点；(3)渐近线；(4)作图。

6. 【1996-3-8 分】 $\displaystyle 2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$确定$\displaystyle y(x)$，求驻点并判别极值。

7. 【1999-2-8 分】 $\displaystyle y=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}$：(1)单调极值；(2)凹凸拐点；(3)渐近线。

8. 【2000-34-7 分】 $\displaystyle y=(x-1)e^{\frac{\pi}{2}+\arctan x}$，求单调极值、渐近线。

9. 【2008-4-10 分】 $\displaystyle f(x)=\int_0^1|t^2-x^2|\mathrm{d}t(x>0)$，求$\displaystyle f'(x)$与最值。

10. 【2011-10 分】 $\displaystyle f(x)=\int_1^{x^2}(x^2-t)e^{-t^2}\mathrm{d}t$单调区间与极值。

11. 【2011-2-10 分】 参数方程确定$\displaystyle y(x)$求凹凸拐点。

12. 【2014-2-10 分】 隐函数求凹凸与极值。

13. 【2017-10 分】 微分方程确定函数极值。

14. 【2019-23-10 分】 分段函数求导与极值。

15. 【2019-1-10 分】 微分方程$\displaystyle y'+xy=e^{-\frac{x^2}2},y(0)=0$，(1)求$\displaystyle y(x)$；(2)凹凸拐点。

16. 【2019-1-10 分】 设函数 $\displaystyle y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y'+x y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $\displaystyle y(0)=0$ 的特解。 (1)求 $\displaystyle y(x)$； (2)求曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。