一、一元函数导数的计算

小题

（一）初等函数的导数

1. 【1987-45-4 分】 已知 $\displaystyle y=\ln \dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{\sqrt{1+x^{2}}+1}$，求 $\displaystyle y'$

2. 【1987-3-3 分】 设 $\displaystyle y=\ln (1+a x)$，其中 a 为非零常数，则 $\displaystyle y'=$

3. 【1988-123-3 分】 若 $\displaystyle f(t)=\lim_{x \to \infty} t(1+\dfrac{1}{x})^{2 t x}$，则 $\displaystyle f'(t)=$ _____.

4. 【1989-3-4 分】 已知 $\displaystyle y=\arcsin e^{-\sqrt{x}}$，求 $\displaystyle y'$

5. 【1990-3-3 分】 设 $\displaystyle y=e^{\tan \frac{1}{x}} \cdot \sin \dfrac{1}{x}$，则 $\displaystyle y'=$ _____.

6. 【1991-3-3 分】 设 $\displaystyle y=\ln (1+3^{-x})$，则 $\displaystyle dy=$

7. 【1992-5-3 分】 设 $\displaystyle f(t)=\lim_{x \to \infty} t(\dfrac{x+t}{x-t})^{x}$ 则 $\displaystyle f'(t)=$ _____.

8. 【1995-3-3 分】 设 $\displaystyle y=\cos (x^{2}) \sin^{2} \dfrac{1}{x}$，则 $\displaystyle y'=$ _____.

9. 【1996-5-3 分】 设 $\displaystyle y=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$ 则 $\displaystyle y^{\prime \prime \prime}|_{x=\sqrt{3}}=$

10. 【1996-45-3 分】 设方程 $\displaystyle x=y^{y}$ 确定 y 是 x 的函数，则 $\displaystyle d y=$

11. 【1996-3-3 分】 设 $\displaystyle y=(x+e^{-\frac{x}{2}})^{\frac{2}{3}}$ 则 $\displaystyle y'|_{x=0}=$ _____.

12. 【1997-2-3 分】 设 $\displaystyle y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^{2}}}$ 则 $\displaystyle y^{\prime \prime}|_{x=0}=$ _____.

13. 【2003-2-4 分】 已知 $\displaystyle y=\dfrac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $\displaystyle y'=\dfrac{y}{x}+\varphi(\dfrac{x}{y})$ 的解，则 $\displaystyle \varphi(\dfrac{x}{y})$ 的表达式为（ ） A. $\displaystyle -\dfrac{y^{2}}{x^{2}}$ B. $\displaystyle \dfrac{y^{2}}{x^{2}}$ C. $\displaystyle -\dfrac{x^{2}}{y^{2}}$ D. $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{y^{2}}$

14. 【2004-4-4 分】 设 $\displaystyle y=\arctan e^{x}-\ln \sqrt{\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1}}$ 则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{x=1}=$ _____.

15. 【2005-2-4 分】 设 $\displaystyle y=(1+\sin x)^{x}$.则 $\displaystyle d y|_{x=\pi}=$

16. 【2011-3-4 分】 设 $\displaystyle f(x)=\lim_{t \to 0} x(1+3 t)^{\frac{x}{t}}$ 则 $\displaystyle f'(x)=$ _____

17. 【2011-2-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为（ ） A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

18. 【2021-2-5 分】 设函数 $\displaystyle F(x)=\sec x$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的2 次泰勒多项式为 $\displaystyle 1+a x+b x^{2}$，则（ ） A. $\displaystyle a=1, b=-\dfrac{1}{2}$ B. $\displaystyle a=1, b=\dfrac{1}{2}$ C. $\displaystyle a=0, b=-\dfrac{1}{2}$ D. $\displaystyle a=0, b=\dfrac{1}{2}$

19. 【2021-3-5 分】 若 $\displaystyle y=\cos e^{-\sqrt{x}}$ 则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{x=1}=$

（二）隐函数的导数：求导函数

1. 【1989-3-3 分】 设 $\displaystyle \tan y=x+y$，则 $\displaystyle d y=$

2. 【1990-3-5 分】 求由 $\displaystyle 2 y-x=(x-y) \ln (x-y)$ 所确定的函数 $\displaystyle y=y(x)$ 的微分dy.

3. 【1992-12-3 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle e^{x+y}+\cos (x y)=0$ 确定，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}=$

4. 【1993-3-3 分】 函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle \sin (x^{2}+y^{2})+e^{x}-x y^{2}=0$ 所确定，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}=$

5. 【1994-45-3 分】 设方程 $\displaystyle e^{x y}+y^{2}=\cos x$ 确定的 y 为x 的函数，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}=$

6. 【1995-3-5 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle x e^{f(y)}=e^{y}$ 确定，其中 f 具有二阶导数，且 $\displaystyle f' \ne1$，求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$

（三）隐函数的导数：求某点处的导数

1. 【1988-3-5 分】 已知 $\displaystyle y=1+x e^{x y}$ 求 $\displaystyle y'|_{x=0}$ 及 $\displaystyle y^{\prime \prime}|_{x=0}$

2. 【1992-3-5 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle y-x e^{y}=1$ 所确定，求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}|_{x=0}$ 的值.

3. 【1999-2-3 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle \ln (x^{2}+y)=x^{3} y+\sin x$ 确定，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{x=0}=$

4. 【2000-2-3 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle 2^{x y}=x+y$ 所确定，则 $\displaystyle d y|_{x=0}=$

5. 【2002-1-3 分】 已知函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle e^{y}+6 x y+x^{2}-1=0$ 确定，则 $\displaystyle y^{\prime \prime}(0)=$

6. 【2006-2-4 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle y=1-x e^{y}$ 确定，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{x=0}=$

7. 【2009-2-4 分】 设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle x y+e^{y}=x+1$ 确定的隐函数，则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}|_{x=0}=$

8. 【2010-3-4 分】 设可导函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle \int_{0}^{x+y} e^{-t^{2}} d t=\int_{0}^{x} x \sin t^{2} d t$ 确定，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{x=0}=$

9. 【2012-2-4 分】 设 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-y+1=e^{y}$ 所确定的隐函数，则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}|_{x=0}=$

10. 【2022-2-5 分】 已知函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle x^{2}+x y+y^{3}=3$ 确定，则 $\displaystyle y^{\prime \prime}(1)=$

（四）参数方程的导数(数一、数二)：求导函数

1. 【1989-3-4 分】 已知 $\displaystyle \begin{cases}x=\ln (1+t^{2}) \\ y=\arctan t & \end{cases}$ 求 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}$ 及 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$

2. 【1991-3-5 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=t \cos t \\ y=t \sin t\end{cases}$ 求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$

3. 【1991-12-3 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=1+t^{2} \\ y=\cos t,& \end{cases}$，则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}=$

4. 【1994-3-3 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \begin{cases}x=t-\ln (1+t) \\ y=t^{3}+t^{2}\end{cases}$ 所确定，则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}=$

5. 【1996-3-5 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=\int_{0}^{t} f(u^{2}) d u \\ y=[f(t^{2})]^{2},& \end{cases}$ 其中 $\displaystyle f(u)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f(u) \ne0$，求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$

6. 【1997-2-5 分】 设 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \begin{cases}x=\arctan t \\ 2 y-t y^{2}+e^{t}=5\end{cases}$ 所确定，求 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}$

（五）参数方程的导数(数一、数二)：求某点处的导数

1. 【1992-3-3 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=f(t)-\pi \\ y=f(e^{3 t}-1)\end{cases}$ 其中 f 可导，且 $\displaystyle f'(0) \ne0$，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{t=0}=$

2. 【1994-12-5 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=\cos (t^{2}) \\ y=t^{2} \cos (t^{2})-\int_{1}^{t^{2}} \dfrac{1}{2 \sqrt{u}} \cos u d u & \end{cases}$ 求 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}$， $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$ 在 $\displaystyle t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 的值.

3. 【2010-1-4 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=e^{-t} \\ y=\int_{0}^{t} \ln (1+u^{2}) d u & \end{cases}$ 则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}|_{t=0}=$

4. 【2013-1-4 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=\sin t \\ y=t \sin t+\cos t\end{cases}$ (t 为参数)，则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}|_{t=\frac{\pi}{4}}=$

5. 【2015-2-4 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=\arctan t \\ y=3 t+t^{3} & \end{cases}$ 则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}|_{t=1}=$

6. 【2017-2-4 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \begin{cases}x=t+e^{t} \\ y=\sin t\end{cases}$ 确定,则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}|_{t=0}=$

7. 【2020-12-4 分】 设 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \begin{cases}x=\sqrt{t^{2}+1} \\ y=\ln (t+\sqrt{t^{2}+1}) & \end{cases}$ 所确定，则 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{\,dx^{2}}|_{t=1}=$

8. 【2021-12-5 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \begin{cases}x=2 e^{t}+t+1 \\ y=4(t-1) e^{t}+t^{2}\end{cases}$ 确定，则 $\displaystyle \left.\dfrac{d^{2} y}{ dx^{2}}\right|_{t=0}=$

9. 【2023-12-5 分】 设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由 $\displaystyle \begin{cases}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{cases}$ 确定,则（ ） A. $\displaystyle f(x)$ 连续, $\displaystyle f'(0)$ 不存在 B. $\displaystyle f'(0)$ 存在, $\displaystyle f'(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处不连续 C. $\displaystyle f'(x)$ 连续, $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 D. $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处不连续

10. 【2025-2-5 分】 已知函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle \begin{cases}x=\ln (1+2 t) \\ 2 t-\int_{1}^{y+t^{2}} e^{-u^{2}} ~d u=0\end{cases}$ 确定，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{t=0}=$

（六）抽象函数的导数

1. 【1993-45-3 分】 已知 $\displaystyle y=f(\dfrac{3 x-2}{3 x+2}),f'(x)=\arctan x^{2}$ 则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{x=0}=$

2. 【1993-3-5 分】 设 $\displaystyle y=\sin f(x^{2})$，其中f 具有二阶导数，求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$.

3. 【1993-3-3 分】 若 $\displaystyle f(x)=-f(-x)$，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内 $\displaystyle f'(x)>0$， $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,0)$ 内（ ）. A. $\displaystyle f'(x)<0, f''(x)<0$ B. $\displaystyle f'(x)>0, f''(x)>0$ C. $\displaystyle f'(x)>0, f''(x)<0$ D. $\displaystyle f'(x)<0, f''(x)>0$

4. 【1994-3-5 分】 设 $\displaystyle y=f(x+y)$，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$

5. 【1997-34-3 分】 设 $\displaystyle y=f(\ln x) e^{f(x)}$，其中f 可微，则 $\displaystyle dy=$

6. 【2006-3-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=2$ 的某邻域内可导，且 $\displaystyle f'(x)=e^{f(x)}$， $\displaystyle f(2)=1$，则 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(2)=$ _____

7. 【2006-2-4 分】 设函数 $\displaystyle g(x)$ 可微，$\displaystyle h(x)=e^{1+g(x)}$， $\displaystyle h'(1)=1$， $\displaystyle g'(1)=2$，则 $\displaystyle g(1)$ 等于（ ） A. $\displaystyle \ln3 - 1$    B. $\displaystyle -\ln3 - 1$ C. $\displaystyle -\ln 2-1$    D. $\displaystyle \ln2 - 1$

8. 【2012-3-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\ln \sqrt{x},x \geq1 \\ 2 x-1,x<1 & \end{cases}$， $\displaystyle y=f(f(x))$，则 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}|_{x=e}=$

（七）变限积分求导：被积函数不含求导变量

1. 【1988-3-4 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{x^{3}-1} f(t) d t=x-1$，则 $\displaystyle f(7)=$

2. 【1988-12-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{x^{3}-1} f(t) d t=x$，则 $\displaystyle f(7)=$

3. 【1990-12-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，且 $\displaystyle F(x)=\int_{x}^{e^{-x}} f(t) d t$，则 $\displaystyle F'(x)$ 等于（ ）. A. $\displaystyle -e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$ B. $\displaystyle -e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$ C. $\displaystyle e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$ D. $\displaystyle e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$

4. 【1992-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x^{2}} f(t^{2}) d t$ 则 $\displaystyle F'(x)$ 等于（ ）. A. $\displaystyle f\left(x^{4}\right)$ B. $\displaystyle x^{2} f\left(x^{4}\right)$ C. $\displaystyle 2 x f\left(x^{4}\right)$ D. $\displaystyle 2 x f\left(x^{2}\right)$

5. 【1993-45-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f(t) d t$，则 $\displaystyle F'(x)$ 等于（ ）. A. $\displaystyle \dfrac{1}{x} f(\ln x)+\dfrac{1}{x^{2}} f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ B. $\displaystyle f(\ln x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ C. $\displaystyle \dfrac{1}{x} f(\ln x)-\dfrac{1}{x^{2}} f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ D. $\displaystyle f(\ln x)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)$

6. 【1994-3-3 分】 $\displaystyle \dfrac{d}{\,dx}[\int_{0}^{\cos 3 x} f(t) d t]=$ _____.

7. 【2004-1-4 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，$\displaystyle F(t)=\int_{1}^{t} ~d y \int_{y}^{t} f(x) dx$，则 $\displaystyle F'(2)$ 等于（ ） A. $\displaystyle 2 f(2)$    B. $\displaystyle f(2)$    C. $\displaystyle -f(2)$    D. 0

8. 【2013-2-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x} \sqrt{1-e^{t}} d t$，则 $\displaystyle y=f(x)$ 的反函数 $\displaystyle x=f^{-1}(y)$ 在 $\displaystyle y=0$ 处的导数 $\displaystyle \dfrac{dx}{~d y}|_{y=0}=$ _____.

（八）变限积分求导：被积函数含求导变量可拆分

1. 【1995-12-3 分】 $\displaystyle \dfrac{d}{dx} \int_{x^{2}}^{0} x \cos t^{2} d t=$

2. 【2015-23-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} x f(t) d t$， 若 $\displaystyle \varphi(1)=1$， $\displaystyle \varphi'(1)=5$ 则 $\displaystyle f(1)=$

（九）变限积分求导：被积函数含求导变量不可拆分

1. 【1998-1-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 连续，则 $\displaystyle \dfrac{d}{\,dx} \int_{0}^{x} t f(x^{2}-t^{2}) d t=( )$ A. $\displaystyle x f\left(x^{2}\right)$ B. $\displaystyle -x f\left(x^{2}\right)$ C. $\displaystyle 2 x f\left(x^{2}\right)$ D. $\displaystyle -2 x f\left(x^{2}\right)$

2. 【1998-2-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 连续，则 $\displaystyle \dfrac{d}{\,dx} \int_{0}^{x} t f(x^{2}-t^{2}) d t=$

3. 【1999-1-3 分】 $\displaystyle \dfrac{d}{\,dx} \int_{0}^{x} \sin (x-t)^{2} d t=$ _____.

（十）高阶导数

1. 【1990-12-3 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 具有任意阶导数，且 $\displaystyle f'(x)=[f(x)]^{2}$ 则当 n 为大于2 的正整数时，$\displaystyle f(x)$ 的 n 阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ 是（ ）. A. $\displaystyle n![f(x)]^{n+1}$    B. $\displaystyle n[f(x)]^{n+1}$ C. $\displaystyle [f(x)]^{2 n}$    D. $\displaystyle n![f(x)]^{2 n}$

2. 【1991-45-3 分】 设 $\displaystyle f(x)=x e^{x}$，则 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ 在点 $\displaystyle x=$ _处取极小值

3. 【1995-4-3 分】 设 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$，则 $\displaystyle f^{(n)}(x)=$

4. 【2000-2-5 分】 求函数 $\displaystyle f(x)=x^{2} \ln (1+x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的 n 阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(0)(n \geq3)$

5. 【2007-234-4 分】 设函数 $\displaystyle y=\dfrac{1}{2 x+3}$，则 $\displaystyle y^{(n)}(0)=$ _____

6. 【2010-2-4 分】 函数 $\displaystyle y=\ln (1-2 x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的 n 阶导数 $\displaystyle y^{(n)}(0)=$

7. 【2015-2-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)=x^{2} \cdot 2^{x}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的 n 阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(0)=$

8. 【2016-2-4 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}+2 \int_{0}^{x} f(t) d t$ 则当 $\displaystyle n \geq2$ 时，$\displaystyle f^{(n)}(0)=$ _____.

9. 【2016-1-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\arctan x-\dfrac{x}{1+a x^{2}}$ 且 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)=1$ 则 $\displaystyle a=$

10. 【2017-1-4 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$ 则 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(0)=$ _____

11. 【2020-2-4 分】 设 $\displaystyle f(x)=x^{2} \ln (1-x)$ ,则 $\displaystyle n \geq3$ 时, $\displaystyle f^{(n)}(0)=( )$ A. $\displaystyle -\dfrac{n !}{n-2}$ B. $\displaystyle \dfrac{n !}{n-2}$ C. $\displaystyle -\dfrac{(n-2) !}{n}$ D. $\displaystyle \dfrac{(n-2) !}{n}$

12. 【2022-3-5 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}$ , 则 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(2 \pi)=$

13. 【2024-2-5 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)=(e^{x}+1) x^{2}$ ,则 $\displaystyle f^{(5)}(1)=$ _____.

大题

（一）参数方程的导数(数一、数二)：求导函数

1. 【1987-3-7 分】 设 $\displaystyle \begin{cases}x=5(t-\sin t) \\ y=5(1-\cos t)\end{cases}$，求 $\displaystyle \dfrac{d y}{\,dx}$， $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$

2. 【2008-2-10 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \begin{cases}x=x(t) \\ y=\int_{0}^{t^{2}} \ln (1+u) d u\end{cases}$ 确定，其中 $\displaystyle x(t)$ 是初值问题 $\displaystyle \begin{cases}\dfrac{dx}{d t}-2 t e^{-x}=0 \\ x|_{t=0}=0 & \end{cases}$ 的解，求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}$

（二）参数方程的导数(数一、数二)：求某点处的导数

1. 【2003-2-9 分】 设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \begin{cases}x=1+2 t^{2},& (t>1) \\ y=\int_{1}^{1+2 \ln t} \dfrac{e^{u}}{u} ~d u,& (t>1)\end{cases}$ 所确定，求 $\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}}|_{x=9}$

（三）抽象函数的导数

1. 【2007-2-11 分】 已知函数 $\displaystyle f(u)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f'(0)=1$， 函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle y-x e^{y-1}=1$ 所确定，设 $\displaystyle z=f(\ln y-\sin x)$，求 $\displaystyle \dfrac{d z}{\,dx}|_{x=0},\dfrac{d^{2} z}{\,dx^{2}}|_{x=0}$

（四）变限积分求导：被积函数不含求导变量

1. 【2001-2-7 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(0)=0$，且其反函数为 $\displaystyle g(x)$，若 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} g(t) d t=x^{2} e^{x}$，求 $\displaystyle f(x)$

2. 【2007-2-10 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0,\dfrac{\pi}{4}]$ 上的单调､可导函数，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) d t=\int_{0}^{x} t \dfrac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} d t$，其中 $\displaystyle f^{-1}$ 是 f 的反函数，求 $\displaystyle f(x)$

（五）变限积分求导：被积函数含求导变量可拆分

1. 【1992-2-6 分】 求 $\displaystyle \dfrac{d}{\,dx} \int_{0}^{x^{2}}(x^{2}-t) f(t) d t$ 其中 $\displaystyle f(t)$ 为已知的连续函数.

（六）变限积分求导：被积函数含求导变量不可拆分

1. 【1999-4-6 分】 已知 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) d t=1-\cos x$，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$

2. 【1999-3-6 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(2 x-t) d t=\dfrac{1}{2} \arctan x^{2}$， 已知 $\displaystyle f(1)=1$，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx$