四、多元函数的极限、连续、偏导与微分

小题

1. 【1994-12-3 分】 二元函数 $\displaystyle f(x,y)$ 在点 $\displaystyle (x_{0},y_{0})$ 处两个偏导数 $\displaystyle f_{x}'(x_{0},y_{0})$， $\displaystyle f_{y}'(x_{0},y_{0})$ 存在，是 $\displaystyle f(x,y)$ 在该点连续的（ ）. A. 充分条件而非必要条件    B. 必要条件而非充分条件 C. 充分必要条件    D. 既非充分条件又非必要条件

2. 【1997-1-3 分】 二元函数 $\displaystyle f(x,y)= \begin{cases}\dfrac{x y}{x^{2}+y^{2}},(x,y) \neq(0,0) \\ 0,(x,y)=(0,0),& \end{cases}$ 在点(0,0) 处（ ） A. 连续,偏导数存在    B. 连续,偏导数不存在 C. 不连续,偏导数存在    D. 不连续,偏导数不存在

3. 【2002-1-3 分】 考虑二元函数 $\displaystyle f(x,y)$ 的下面四条性质: ① $\displaystyle f(x,y)$ 在点 $\displaystyle (x_{0},y_{0})$ 处连续, ② $\displaystyle f(x,y)$ 在点 $\displaystyle (x_{0},y_{0})$ 处的两个偏导数连续, ③ $\displaystyle f(x,y)$ 在点 $\displaystyle (x_{0},y_{0})$ 处可微, ④ $\displaystyle f(x,y)$ 在点 $\displaystyle (x_{0},y_{0})$ 处的两个偏导数存在. 若用 $\displaystyle " P \Rightarrow Q "$ 表示可由性质 P 推出性质 Q 则有（ ）. A. ②⇒③⇒①    B. ③⇒②⇒①    C. ③⇒④⇒①    D. ③⇒①⇒④

4. 【2007-2-4 分】 二元函数 $\displaystyle f(x,y)$ 在点(0,0) 处可微的一个充分条件是（ ） A. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ B. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ , 且 $\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$ C. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to(0,0)} \dfrac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ D. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\left[f_{x}'(x, 0)-f_{x}'(0,0)\right]=0$ , 且 $\displaystyle \lim_{y \to 0}\left[f_{y}'(0, y)-f_{y}'(0,0)\right]=0$

5. 【2008-3-4 分】 已知 $\displaystyle f(x,y)=e^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$ 则（ ） A. $\displaystyle f_{x}'(0,0)$ , $\displaystyle f_{y}'(0,0)$ 都存在 B. $\displaystyle f_{x}'(0,0)$ 不存在, $\displaystyle f_{y}'(0,0)$ 存在 C. $\displaystyle f_{x}'(0,0)$ 不存在, $\displaystyle f_{y}'(0,0)$ 不存在 D. $\displaystyle f_{x}'(0,0)$ , $\displaystyle f_{y}'(0,0)$ 都不存在

6. 【2012-3-4 分】 设连续函数 $\displaystyle z=f(x,y)$ 满足 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 1}} \dfrac{f(x,y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$，则 $\displaystyle d z|_{(0,1)}=$

7. 【2012-1-4 分】 如果函数 $\displaystyle f(x,y)$ 在点(0,0) 处连续，那么下列命题正确的是（ ） A. 若极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 则 $\displaystyle f(x, y)$ 在(0,0) 处可微 B. 若极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在, 则 $\displaystyle f(x, y)$ 在(0,0) 处可微 C. 若 $\displaystyle f(x, y)$ 在(0,0) 处可微, 则极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在 D. 若 $\displaystyle f(x, y)$ 在(0,0) 处可微, 则极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \dfrac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在

8. 【2020-1-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x,y)$ 在点(0,0) 处可微，$\displaystyle f(0,0)=0$， $\displaystyle n=(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},-1)|_{(0,0)}$， 非零向量 d 与 n 垂直，则（ ） A. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to(0,0)} \dfrac{|n \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ B. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to(0,0)} \dfrac{|n \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ C. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to(0,0)} \dfrac{|d \cdot(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$ D. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to(0,0)} \dfrac{|d \times(x, y, f(x, y))|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$

9. 【2020-2-4 分】 关于函数 $\displaystyle f(x,y)= \begin{cases}x y,& y \ne x,y \ne0 \\ x,& y=0 \\ y,& x=0\end{cases}$ 正确的个数是（ ） (1) $\displaystyle \left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$， (2) $\displaystyle \left.\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$， (3) $\displaystyle \lim_{(x,y) \to(0,0)} f(x,y)=0$， (4) $\displaystyle \lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x,y)=0$ A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

10. 【2023-3-5 分】 已知函数 $\displaystyle f(x,y)=\ln (y+|x \sin y|)$，则（ ）. A. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}|_{(0,1)}$ 不存在, $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}|_{(0,1)}$ 存在 B. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}|_{(0,1)}$ 存在, $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}|_{(0,1)}$ 不存在 C. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}|_{(0,1)}$ , $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}|_{(0,1)}$ 均存在 D. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}|_{(0,1)}$ , $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}|_{(0,1)}$ 均不存在

11. 【2024-2-5 分】 已知函数 $\displaystyle f(x,y)= \begin{cases}(x^{2}+y^{2}) \sin \dfrac{1}{x y},& x y \ne0 \\ 0,& x y=0\end{cases}$，则在点(0,0) 处（ ）. A. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}$ 连续, $\displaystyle f(x, y)$ 可微 B. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}$ 连续, $\displaystyle f(x, y)$ 不可微 C. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}$ 不连续, $\displaystyle f(x, y)$ 可微 D. $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}$ 不连续, $\displaystyle f(x, y)$ 不可微