三、导数与微分

小题

（一）具体函数在指定点处的导数

1. 【1989-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)$，则 $\displaystyle f'(0)=$

2. 【1992-12-3 分】 设 $\displaystyle f(x)=3 x^{3}+x^{2}|x|$，则使 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 n 为（ ）. A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

3. 【1995-3-5 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}x \arctan \dfrac{1}{x^{2}},& x \ne0 \\ 0,x=0,& \end{cases}$ 试讨论 $\displaystyle f'(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性.

4. 【1996-45-5 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{g(x)-e^{-x}}{x},x \ne0 \\ 0,& x=0\end{cases}$ 其中 $\displaystyle g(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle g(0)=1$， $\displaystyle g'(0)=-1$ (1)求 $\displaystyle f'(x)$ : (2) 讨论 $\displaystyle f'(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续性.

5. 【1998-12-3 分】 函数 $\displaystyle f(x)=(x^{2}-x-2)|x^{3}-x|$ 的不可导点的个数是（ ）. A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

6. 【2003-3-4 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}x^{\lambda} \cos \dfrac{1}{x},& x \ne0 \\ 0,& x=0\end{cases}$ 其导函数在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 λ 的取值范围是

7. 【2012-123-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=(e^{x}-1)(e^{2 x}-2) \cdots(e^{n x}-n)$，其中 n 为正整数，则 $\displaystyle f'(0)=( )$ A. $\displaystyle (-1)^{n-1}(n-1) !$    B. $\displaystyle (-1)^{n}(n-1) !$ C. $\displaystyle (-1)^{n-1} n!$    D. $\displaystyle (-1)^{n} n!$

8. 【2015-2-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}x^{\alpha} \cos \dfrac{1}{x^{\beta}},x>0 \\ 0,x \leq0\end{cases}$ $\displaystyle (\alpha>0,\beta>0)$， 若 $\displaystyle f'(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则（ ） A. $\displaystyle \alpha-\beta>1$ B. $\displaystyle 0<\alpha-\beta \leq1$ C. $\displaystyle \alpha-\beta>2$ D. $\displaystyle 0<\alpha-\beta \leq2$

9. 【2018-123-4 分】 下列函数中，在 $\displaystyle x=0$ 处不可导的是（ ） A. $\displaystyle f(x)=|x| \sin |x|$ B. $\displaystyle f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ C. $\displaystyle f(x)=\cos |x|$ D. $\displaystyle f(x)=\cos \sqrt{|x|}$

10. 【2021-123-5 分】 函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{e^{x}-1}{x},& x \ne0 \\ 1,& x=0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处（ ） A. 连续且取极大值    B. 连续且取极小值    C. 可导且导数为0    D. 可导且导数不为0

（二）抽象函数的可导性

1. 【1990-45-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 对任意 x 均满足等式 $\displaystyle f(1+x)=a f(x)$，且有 $\displaystyle f'(0)=b$，其中 a， b 为非零常数，则（ ）. A. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处不可导 B. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导, 且 $\displaystyle f'(1)=a$ C. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导, 且 $\displaystyle f'(1)=b$ D. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导, 且 $\displaystyle f'(1)=a b$

2. 【1995-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 可导，$\displaystyle F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$， 若使 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导,则必有（ ）. A. $\displaystyle f(0)=0$    B. $\displaystyle f'(0)=0$ C. $\displaystyle f(0)+f'(0)=0$    D. $\displaystyle f(0)-f'(0)=0$

3. 【1995-12-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 可导，$\displaystyle F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$，则 $\displaystyle f(0)=0$ 是 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导的（ ）. A. 充分必要条件    B. 充分但非必要条件 C. 必要但非充分条件    D. 既非充分条件又非必要条件

4. 【1996-3-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\delta,\delta)$ 内有定义，若当 $\displaystyle x \in(-\delta,\delta)$ 时，恒有 $\displaystyle |f(x)| \leq x^{2}$，则 $\displaystyle x=0$ 必是 $\displaystyle f(x)$ 的（ ）. A. 间断点    B. 连续而不可导的点 C. 可导的点, 且 $\displaystyle f'(0)=0$    D. 可导的点, 且 $\displaystyle f'(0) \ne0$

5. 【2000-34-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 处可导，则函数 $\displaystyle |f(x)|$ 在点 $\displaystyle x=a$ 处不可导的充分条件是（ ）. A. $\displaystyle f(a)=0$ 且 $\displaystyle f'(a)=0$ B. $\displaystyle f(a)=0$ 且 $\displaystyle f'(a) \ne0$ C. $\displaystyle f(a)>0$ 且 $\displaystyle f'(a)>0$ D. $\displaystyle f(a)<0$ 且 $\displaystyle f'(a)<0$

6. 【2003-4-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=|x^{3}-1| \varphi(x)$，其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处连续，则 $\displaystyle \varphi(1)=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导的（ ）. A. 充分必要条件    B. 必要但非充分条件 C. 充分但非必要条件    D. 既非充分也非必要条件

（三）分段函数的导数

1. 【1993-45-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\sqrt{|x|} \sin \dfrac{1}{x^{2}},& x \ne0 \\ 0,& x=0\end{cases}$ 则 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处（ ）. A. 极限不存在    B. 极限存在但不连续    C. 连续但不可导    D. 可导

2. 【1993-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{|x^{2}-1|}{x-1},& x \ne1 \\ 2,& x=1\end{cases}$ 则在 $\displaystyle x=1$ 处函数 $\displaystyle f(x)( )$ A. 不连续    B. 连续,但不可导    C. 可导,但导数不连续    D. 可导,且导数连续

3. 【1994-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{2}{3} x^{3},& x \leq1 \\ \dfrac{2}{3},& x>1\end{cases}$ 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处的（ ）. A. 左､右导数都存在    B. 左导数存在,但右导数不存在 C. 左导数不存在,但右导数存在    D. 左､右导数都不存在

4. 【1999-12-3 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{\sqrt{x}},& x>0 \\ x^{2} g(x),& x \leq0\end{cases}$ 其中 $\displaystyle g(x)$ 是有界函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处（ ） A. 极限不存在    B. 极限存在,但不连续    C. 连续,但不可导    D. 可导

5. 【2005-12-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内（ ） A. 处处可导    B. 恰有一个不可导点    C. 恰有两个不可导点    D. 至少有三个不可导点

6. 【2016-1-4 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}x,x \leq0 \\ \dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n+1}<x \leq\dfrac{1}{n}\end{cases}$ $\displaystyle n=1,2,\cdots$，则（ ） A. $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点 B. $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点 C. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续但不可导 D. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导

（四）可导性与极限性质相结合

1. 【2004-12-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，且 $\displaystyle f'(0)>0$，则存在 $\displaystyle \delta>0$， 使得（ ）. A. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,\delta)$ 内单调增加 B. $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta,0)$ 内单调减少 C. 对任意的 $\displaystyle x \in(0, \delta)$ , 有 $\displaystyle f(x)>f(0)$ D. 对任意的 $\displaystyle x \in(-\delta, 0)$ , 有 $\displaystyle f(x)>f(0)$

2. 【2007-1234-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，下列命题错误的是（ ） A. 若 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $\displaystyle f(0)=0$ B. 若 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $\displaystyle f(0)=0$ C. 若 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $\displaystyle f'(0)$ 存在 D. 若 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $\displaystyle f'(0)=0$

3. 【2020-1-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有定义，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0$，则（ ） A. 当 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ 时, $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导 B. 当 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x^{2}}}=0$ 时, $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导 C. 当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导时, $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$ D. 当 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导时, $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{\sqrt{x^{2}}}=0$

4. 【2024-1-5 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0$，则 （ ） A. 当 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=m$ 时, $\displaystyle f'(0)=m$ B. 当 $\displaystyle f'(0)=m$ 时, $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=m$ C. 当 $\displaystyle \lim_{x \to 0} f'(x)=m$ 时, $\displaystyle f'(0)=m$ D. 当 $\displaystyle f'(0)=m$ 时, $\displaystyle \lim_{x \to 0} f'(x)=m$

5. 【2025-1-5 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，则（ ） A. 当 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在时, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在 B. 当 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x)$ 存在时, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在 C. 当 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\int_{0}^{x} f(t) d t}{x}$ 存在时, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在 D. 当 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在时, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\int_{0}^{x} f(t) d t}{x}$ 存在

6. 【2025-2-5 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，给出下列四个条件: ① $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在; ② $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在; ③ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{|f(x)|}{x}$ 存在; ④ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在; 其中能得到 $\displaystyle " f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导”的条件个数是（ ） A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

（五）已知极限求导数

1. 【1998-34-3 分】 设周期函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内可导，周期为4，又 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$，则曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle (5,f(5))$ 处的切线的斜率为（ ）. A. $\displaystyle \dfrac{1}{2}$    B. 0    C. - 1    D. - 2

（六）已知导数求极限

1. 【1987-3-4 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 处可导，则 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于（ ）. A. $\displaystyle f'(a)$    B. $\displaystyle 2 f'(a)$    C. 0    D. $\displaystyle f'(2 a)$

2. 【1989-12-3 分】 已知 $\displaystyle f'(3)=2$，则 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$ _____.

3. 【1994-45-3 分】 已知 $\displaystyle f'(x_{0})=-1$ 则 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{f(x_{0}-2 x)-f(x_{0}-x)}=$

4. 【2003-3-4 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 为不恒为零的奇函数，且 $\displaystyle f'(0)$ 存在，则函数 $\displaystyle g(x)=\dfrac{f(x)}{x}( )$ A. 在 $\displaystyle x=0$ 处左极限不存在    B. 有跳跃间断点 $\displaystyle x=0$ C. 在 $\displaystyle x=0$ 处右极限不存在    D. 有可去间断点 $\displaystyle x=0$

5. 【2011-23-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，且 $\displaystyle f(0)=0$，则 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^{2} f(x)-2 f\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=( )$ A. $\displaystyle -2 f'(0)$    B. $\displaystyle -f'(0)$    C. $\displaystyle f'(0)$    D. 0

6. 【2013-2-4 分】 设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle \cos (x y)+\ln y-x=1$ 确定，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n[f(\dfrac{2}{n})-1]=( )$ A. 2    B. 1    C. - 1    D. - 2

7. 【2013-1-4 分】 设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由方程 $\displaystyle y-x=e^{x(1-y)}$ 确定，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(f(\dfrac{1}{n})-1)=$

8. 【2020-3-4 分】 设 $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-a}{x-a}=b$ 则 $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=( )$ A. $\displaystyle b \sin a$    B. $\displaystyle b \cos a$ C. $\displaystyle b \sin f(a)$    D. $\displaystyle b \cos f(a)$

9. 【2024-2-5 分】 设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \begin{cases}x=1+t^{3} \\ y=e^{t^{2}} & \end{cases}$ 确定，则 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x[f(2+\dfrac{2}{x})-f(2)]=( )$ A. $\displaystyle 2e$    B. $\displaystyle \dfrac{4}{3} e$ C. $\displaystyle \dfrac{2}{3} e$    D. $\displaystyle \dfrac{e}{3}$

（七）可导的充要条件

1. 【1989-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 的某个邻域内有定义，则 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=a$ 可导的一个充分条件是（ ）. A. $\displaystyle \lim_{h \to+\infty} h\left[f\left(a+\dfrac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在 B. $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在 C. $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在 D. $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在

2. 【2001-1-3 分】 设 $\displaystyle f(0)=0$，则 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 可导的充要条件为（ ）. A. $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h^{2}} f(1-\cos h )$ 存在 B. $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} f\left(1-e^{h}\right)$ 存在 C. $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h^{2}} f(h-\sin h )$ 存在 D. $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在

3. 【2006-3-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h^{2})}{h^{2}}=1$，则（ ） A. $\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle f_{-}'(0)$ 存在 B. $\displaystyle f(0)=1$ 且 $\displaystyle f_{-}'(0)$ 存在 C. $\displaystyle f(0)=0$ 且 $\displaystyle f_{+}'(0)$ 存在 D. $\displaystyle f(0)=1$ 且 $\displaystyle f_{+}'(0)$ 存在

（八）微分的代数意义

1. 【1988-123-3 分】 若函数 $\displaystyle y=f(x)$ 有 $\displaystyle f'(x_{0})=\dfrac{1}{2}$，则当 $\displaystyle \Delta x \to 0$ 时，该函数在 $\displaystyle x=x_{0}$ 处的微分 $\displaystyle d y$ 是（ ）. A. 与 $\displaystyle \Delta x$ 等价的无穷小 B. 与 $\displaystyle \Delta x$ 同阶的无穷小 C. 比 $\displaystyle \Delta x$ 低阶的无穷小 D. 比 $\displaystyle \Delta x$ 高阶的无穷小

2. 【2002-2-3 分】 设函数 $\displaystyle f(u)$ 可导，$\displaystyle y=f(x^{2})$ 当自变量 x 在 $\displaystyle x=-1$ 处取得增量 $\displaystyle \Delta x=-0.1$ 时，相应的函数增量 $\displaystyle \Delta y$ 的线性主部为0.1，则 $\displaystyle f'(1)=( )$. A. - 1    B. 0.1    C. 1    D. 0.5

（九）微分的几何意义

1. 【2006-123-4 分】 设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f'(x)>0$， $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$， $\displaystyle \Delta x$ 为自变量 x 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处的增量，$\displaystyle \Delta y$ 与 $\displaystyle d y$ 分别为 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处对应的增量与微分，若 $\displaystyle \Delta x>0$，则（ ） A. $\displaystyle 0<d y<\Delta y$    B. $\displaystyle 0<\Delta y<d y$ C. $\displaystyle \Delta y<d y<0$    D. $\displaystyle d y<\Delta y<0$

大题

（一）具体函数在指定点处的导数

1. 【1997-12-8 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，$\displaystyle \varphi(x)=\int_{0}^{1} f(x t) d t$，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=A$，求 $\displaystyle \varphi'(x)$ 并讨论 $\displaystyle \varphi'(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性.

2. 【2004-2-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有定义，在区间 $\displaystyle [0,2]$ 上，$\displaystyle f(x)=x(x^{2}-4)$， 若对任意的x 都满足 $\displaystyle f(x)=k f(x+2)$，其中k 为常数. (1) 写出 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,0]$ 上的表达式; (2)问 k 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导.

3. 【2020-2-10 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 连续且 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=1$， $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{1} f(x t) d t$，求 $\displaystyle g'(x)$ 并证明 $\displaystyle g'(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续.

（二）抽象函数的可导性

1. 【2015-13-10 分】 (1) 设函数 $\displaystyle u(x)$， $\displaystyle v(x)$ 可导，利用导数定义证明 $\displaystyle [u(x) v(x)]'=u'(x) v(x)+u(x) v'(x)$ : (2) 设函数 $\displaystyle u_{1}(x),u_{2}(x),\cdots,u_{n}(x)$ 可导，$\displaystyle f(x)=u_{1}(x) u_{2}(x) \cdots u_{n}(x)$， 写出 $\displaystyle f(x)$ 的求导公式.

（三）分段函数的导数

1. 【1988-5-6 分】 确定常数 a 和 b 使函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b,& x>1 \\ x^{2},& x \leq1\end{cases}$ 处处可导.

2. 【1995-45-6 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{2}{x^{2}}(1-\cos x),& x<0 \\ 1,& x=0 \\ \dfrac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos t^{2} d t,& x>0\end{cases}$ 试讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性和可导性.

3. 【1996-3-8 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}1-2 x^{2},x<-1 \\ x^{3},-1 \leq x \leq2 \\ 12 x-16,x>2\end{cases}$ (1) 写出 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle g(x)$ 的表达式; (2) $\displaystyle g(x)$ 是否有间断点､不可导点，若有，指出这些点.

（四）已知极限求导数

1. 【2002-2-7 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，$\displaystyle f(x)>0$， $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=1$，且满足 $\displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\dfrac{f(x+h x)}{f(x)}\right)^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{1}{x}}$，求 $\displaystyle f(x)$.

2. 【2022-2-10 分】 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{f(e^{x^{2}})-3 f(1+\sin^{2} x)}{x^{2}}=2$，求 $\displaystyle f'(1)$.

3. 【2025-23-12 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x f(x)-e^{2 \sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$， 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，并求出 $\displaystyle f'(0)$.