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一、函数极限的计算

小题​

（一）函数的性质及运算​

  1. 【1987-3-4 分】 f(x)=∣xsin⁡x∣ecos⁡x(−∞<x<+∞)\displaystyle f(x)=|x \sin x| e^{\cos x}(-\infty<x<+\infty) 是（ ）. A. 有界函数    B. 单调函数    C. 周期函数    D. 偶函数

  2. 【1988-123-5 分】 已知 f(x)=ex2\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}， f[φ(x)]=1−x\displaystyle f[\varphi(x)]=1-x，且 φ(x)≥0\displaystyle \varphi(x) \geq0 求 φ(x)\displaystyle \varphi(x) 并写出它的定义域.

  3. 【1990-123-3 分】 设函数 f(x)={1,∣x∣≤10,∣x∣>1\displaystyle f(x)= \begin{cases}1,& |x| \leq1 \\ 0,& |x|>1\end{cases} 则 f[f(x)]=\displaystyle f[f(x)]= _____.

  4. 【1990-45-3 分】 设函数 f(x)=x⋅tan⁡x⋅esin⁡x\displaystyle f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}，则 f(x)\displaystyle f(x) 是（ ） A. 偶函数    B. 无界函数    C. 周期函数    D. 单调函数

  5. 【1992-5-3 分】 设 f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x， f[φ(x)]=1−x2\displaystyle f[\varphi(x)]=1-x^{2}，则 φ(x)=\displaystyle \varphi(x)=；其定义域为

  6. 【1992-3-3 分】 设 f(x)={x2,x≤0x2+x,x>0\displaystyle f(x)= \begin{cases}x^{2},& x \leq0 \\ x^{2}+x,& x>0\end{cases} 则（ ） A. f(−x)={−x2,x≤0,−(x2+x),x>0\displaystyle f(-x)= \begin{cases}-x^{2}, & x \leq 0, \\ -\left(x^{2}+x\right), & x>0\end{cases} B. f(−x)={−(x2+x),x<0,−x2,x≥0\displaystyle f(-x)=\left\{\begin{array}{l}-\left(x^{2}+x\right), x<0, \\ -x^{2}, x \geq 0\end{array}\right. C. f(−x)={x2,x≤0,x2−x,x>0\displaystyle f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leq 0, \\ x^{2}-x, & x>0\end{array}\right. D. f(−x)={x2−x,x<0,x2,x≥0\displaystyle f(-x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x, x<0, \\ x^{2}, x \geq 0\end{array}\right.

  7. 【1997-2-3 分】 设 g(x)={2−x,x≤0x+2,x>0\displaystyle g(x)=\begin{cases}2-x,& x\leq 0\\ x+2,& x>0\end{cases} f(x)={x2,x<0−x,x≥0\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^{2},& x<0\\ -x,& x\geq 0\end{cases} 则 g[f(x)]\displaystyle g[f(x)] 为（ ） A. {2+x2,x<02−x,x≥0\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2+x^{2}, x<0 \\ 2-x, x \geq 0\end{array}\right. B. {2−x2,x<02+x,x≥0\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2-x^{2}, x<0 \\ 2+x, x \geq 0\end{array}\right. C. {2−x2,x<02−x,x≥0\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2-x^{2}, x<0 \\ 2-x, x \geq 0\end{array}\right. D. {2+x2,x<02+x,x≥0\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2+x^{2}, x<0 \\ 2+x, x \geq 0\end{array}\right.

  8. 【2001-2-3 分】 设 f(x)={1,∣x∣≤10,∣x∣>1\displaystyle f(x)= \begin{cases}1,|x| \leq1 \\ 0,|x|>1\end{cases} 则 f[f[f(x)]]\displaystyle f[f[f(x)]] 等于（ ）. A. 0 B. 1 C. {1,∣x∣≤1,0,∣x∣>1\displaystyle \left\{\begin{array}{l}1,|x| \leq 1, \\ 0,|x|>1\end{array}\right. D. {0,∣x∣≤11,∣x∣>1\displaystyle \left\{\begin{array}{l}0,|x| \leq 1 \\ 1,|x|>1\end{array}\right.

（二）00\displaystyle \dfrac{0}{0} 型未定式​

  1. 【1987-5-4 分】 求极限 lim⁡x→+∞ln⁡(1+1x)arccot⁡x\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln (1+\frac{1}{x})}{\operatorname{arccot} x}

  2. 【1991-3-5 分】 求 lim⁡x→0x−sin⁡xx2(ex−1)\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x-\sin x}{x^{2}(e^{x}-1)}

  3. 【1992-5-5 分】 求极限 lim⁡x→1ln⁡cos⁡(x−1)1−sin⁡π2x\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi}{2} x}

  4. 【1992-3-3 分】 lim⁡x→01−1−x2ex−cos⁡x=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{e^{x}-\cos x}=

  5. 【1992-12-5 分】 求 lim⁡x→0ex−sin⁡x−11−1−x2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x}-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^{2}}}

  6. 【1994-45-5 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 可导，且 f(0)=0\displaystyle f(0)=0， F(x)=∫0xtn−1f(xn−tn)dt\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{n-1} f(x^{n}-t^{n}) d t 求 lim⁡x→0F(x)x2n\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{F(x)}{x^{2 n}}

  7. 【1994-3-3 分】 设 lim⁡x→0ln⁡(1+x)−(ax+bx2)x2=2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (1+x)-(a x+b x^{2})}{x^{2}}=2 则（ ） A. a=1\displaystyle a = 1, b=−52\displaystyle b=-\dfrac{5}{2} B. a=0\displaystyle a = 0, b=−2\displaystyle b =-2 C. a=0\displaystyle a = 0, b=−52\displaystyle b =-\dfrac{5}{2} D. a=1\displaystyle a = 1, b=−2\displaystyle b =-2

  8. 【1994-12-3 分】 设 lim⁡x→0atan⁡x+b(1−cos⁡x)cln⁡(1−2x)+d(1−e−x2)=2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d(1-e^{-x^{2}})}=2 其中 a2+c2≠0\displaystyle a^{2}+c^{2} \ne0，则必有（ ）. A. b=4d\displaystyle b=4 d    B. b=−4d\displaystyle b=-4 d    C. a=4c\displaystyle a=4 c    D. a=−4c\displaystyle a=-4 c

  9. 【1995-3-5 分】 求 lim⁡x→0+1−cos⁡xx(1−cos⁡x)\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos \sqrt{x})}

  10. 【1997-1-3 分】 lim⁡x→03sin⁡x+x2cos⁡1x(1+cos⁡x)ln⁡(1+x)=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}=

  11. 【1998-2-5 分】 确定常数a,b,c 的值，使 lim⁡x→0ax−sin⁡x∫bxln⁡(1+t3)tdt=c,c≠0.\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a x-\sin x}{\int_{b}^{x} \frac{\ln (1+t^{3})}{t} d t}=c,c \ne0.

  12. 【1998-12-3 分】 lim⁡x→01+x+1−x−2x2=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=

  13. 【1999-2-5 分】 求 lim⁡x→01+tan⁡x−1+sin⁡xxln⁡(1+x)−x2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \ln (1+x)-x^{2}}.

  14. 【2000-2-3 分】 若 lim⁡x→0sin⁡6x+xf(x)x3=0\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 6 x+x f(x)}{x^{3}}=0 则 lim⁡x→06+f(x)x2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{6+f(x)}{x^{2}} 为（ ） A. 0    B. 6    C. 36    D. ∞

  15. 【2000-2-3 分】 lim⁡x→0arctan⁡x−xln⁡(1+2x3)=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan x-x}{\ln \left(1+2 x^{3}\right)}=

  16. 【2001-2-3 分】 lim⁡x→13−x−1+xx2+x−2=\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{3-x-\sqrt{1+x}}}{x^{2}+x-2}=

  17. 【2002-2-3 分】 设 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 是二阶常系数微分方程 y′′+py′+qy=e3x\displaystyle y^{\prime \prime}+p y'+q y=e^{3 x} 满足初始条件 y(0)=y′(0)=0\displaystyle y(0)=y'(0)=0 的特解，则当 x→0\displaystyle x \to 0 时，函数 ln⁡(1+x2)y(x)\displaystyle \dfrac{\ln (1+x^{2})}{y(x)} 的极限（ ）. A. 不存在    B. 等于1    C. 等于2    D. 等于3

  18. 【2002-34-5 分】 求极限 lim⁡x→0∫0x[∫0u2arctan⁡(1+t)dt]dux(1−cos⁡x)\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\int_{0}^{x}[\int_{0}^{u^{2}} \arctan (1+t) d t] d u}{x(1-\cos x)}

  19. 【2004-34-4 分】 若 lim⁡x→0sin⁡xex−a(cos⁡x−b)=5\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{e^{x}-a}(\cos x-b)=5，则a = _____，b=\displaystyle b=

  20. 【2006-1-4 分】 lim⁡x→0xln⁡(1+x)1−cos⁡x=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}=

  21. 【2007-2-4 分】 lim⁡x→0arctan⁡x−sin⁡xx3=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\arctan x-\sin x}{x^{3}}=

  22. 【2008-2-4 分】 已知函数 f(x)\displaystyle f(x) 连续，且 lim⁡x→01−cos⁡[xf(x)](ex2−1)f(x)=1\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos [x f(x)]}{(e^{x^{2}}-1) f(x)}=1，则 f(0)=\displaystyle f(0)=

  23. 【2009-3-4 分】 lim⁡x→0e−ecos⁡x1+x23−1=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}=

  24. 【2013-1-4 分】 已知极限 lim⁡x→0x−arctan⁡xxk=c\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x-\arctan x}{x^{k}}=c，其中c，k 为常数，且 c≠0\displaystyle c \ne0，则 （ ） A. k=2,c=−12\displaystyle k=2, c=-\dfrac{1}{2} B. k=2,c=12\displaystyle k=2, c=\dfrac{1}{2} C. k=3,c=−13\displaystyle k=3, c=-\dfrac{1}{3} D. k=3,c=13\displaystyle k=3, c=\dfrac{1}{3}

  25. 【2014-2-4 分】 设函数 f(x)=arctan⁡x\displaystyle f(x) = \arctan x， 若 f(x)=xf′(ξ)\displaystyle f(x) = xf'(\xi)，则 lim⁡x→0ξ2x2=()\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\xi^{2}}{x^{2}} = ( ) A. 1    B. 23\displaystyle \dfrac{2}{3} C. 12\displaystyle \dfrac{1}{2}    D. 13\displaystyle \dfrac{1}{3}

  26. 【2015-13-4 分】 lim⁡x→0ln⁡cos⁡xx2=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln \cos x}{x^{2}}=

  27. 【2016-3-4 分】 已知函数 f(x)\displaystyle f(x) 满足 lim⁡x→01+f(x)sin⁡2x−1e3x−1=2\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{3 x}-1}=2，则 lim⁡x→0f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=

  28. 【2016-1-4 分】 lim⁡x→0∫0xtln⁡(1+tsin⁡t)dt1−cos⁡x2=\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\int_{0}^{x} t \ln (1+t \sin t) d t}{1-\cos x^{2}}=

  29. 【2022-1-5 分】 设 lim⁡x→1f(x)ln⁡x=1\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{\ln x}=1，则（ ）. A. f(1)=0\displaystyle f(1)=0    B. lim⁡x→1f(x)=0\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)=0 C. f′(1)=1\displaystyle f'(1)=1    D. lim⁡x→1f′(x)=1\displaystyle \lim_{x \to 1} f'(x)=1

  30. 【2024-1-5 分】 已知 lim⁡x→0(1+ax2)sin⁡x−1x3=6\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+a x^{2})^{\sin x}-1}{x^{3}}=6 则 a=\displaystyle a=

  31. 【2025-1-5 分】 lim⁡x→0+xx−1ln⁡x⋅ln⁡(1−x)=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{x^{x}-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=

（三）∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} 型未定式​

  1. 【1991-3-3 分】 lim⁡x→0+1−e1xx+e1x=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1-e^{\frac{1}{x}}}{x+e^{\frac{1}{x}}}=

  2. 【1997-2-5 分】 求极限 lim⁡x→−∞4x2+x−1+x+1x2+sin⁡x\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{4 x^{2}+x-1}+x+1}{\sqrt{x^{2}+\sin x}}

  3. 【2010-3-4 分】 设 f(x)=ln⁡10x\displaystyle f(x)=\ln^{10} x， g(x)=x\displaystyle g(x)=x， h(x)=ex10\displaystyle h(x)=e^{\frac{x}{10}} 则当x 充分大时有（ ） A. g(x)<h(x)<f(x)\displaystyle g(x)<h(x)<f(x) B. h(x)<g(x)<f(x)\displaystyle h(x)<g(x)<f(x) C. f(x)<g(x)<h(x)\displaystyle f(x)<g(x)<h(x) D. g(x)<f(x)<h(x)\displaystyle g(x)<f(x)<h(x)

（四）0·∞ 型未定式​

  1. 【1988-5-4 分】 求极限 lim⁡x→1(1−x2)tan⁡π2x\displaystyle \lim_{x \to 1}(1-x^{2}) \tan \dfrac{\pi}{2} x

  2. 【1989-3-3 分】 lim⁡x→0xcot⁡2x=\displaystyle \lim_{x \to 0} x \cot 2 x=

  3. 【1990-5-5 分】 求极限 lim⁡x→∞1x∫0x(1+t2)et2−x2dt\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \int_{0}^{x}(1+t^{2}) e^{t^{2}-x^{2}} d t

  4. 【1992-45-3 分】 设 F(x)=x2x−a∫axf(t)dt\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) d t 其中 f(x)\displaystyle f(x) 为连续函数，则 lim⁡x→aF(x)\displaystyle \lim_{x \to a} F(x) 等于（ ）. A. a2\displaystyle a^{2}    B. a2f(a)\displaystyle a^{2} f(a)    C. 0    D. 不存在

  5. 【1993-4-3 分】 lim⁡x→∞3x2+55x+3sin⁡2x=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 x^{2}+5}{5 x+3} \sin \dfrac{2}{x}=

  6. 【1993-3-5 分】 求 lim⁡x→−∞x(x2+100+x)\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x(\sqrt{x^{2}+100}+x).

  7. 【1993-3-3 分】 lim⁡x→0+xln⁡x=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}x\ln x=

  8. 【1994-12-3 分】 lim⁡x→0cot⁡x(1sin⁡x−1x)=\displaystyle \lim_{x \to 0} \cot x\left(\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{x}\right)=

  9. 【1996-3-3 分】 lim⁡x→∞x[sin⁡ln⁡(1+3x)−sin⁡ln⁡(1+1x)]=\displaystyle \lim_{x \to \infty} x[\sin \ln (1+\dfrac{3}{x})-\sin \ln (1+\dfrac{1}{x})]=

  10. 【2005-34-4 分】 极限 lim⁡x→∞xsin⁡2xx2+1=\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \sin \dfrac{2 x}{x^{2}+1}=

  11. 【2018-2-4 分】 lim⁡x→+∞x2[arctan⁡(x+1)−arctan⁡x]=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^{2}[\arctan (x+1)-\arctan x]=

  12. 【2023-3-5 分】 lim⁡x→∞x2(2−xsin⁡1x−cos⁡1x)=\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{2}(2-x \sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x})=

（五）∞−∞\displaystyle \infty-\infty 型未定式​

  1. 【1990-3-3 分】 已知 lim⁡x→∞(x2x+1−ax−b)=0\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\dfrac{x^{2}}{x+1}-a x-b)=0，其中 a b 是常数，则（ ）. A. a=1,b=1\displaystyle a=1, b=1    B. a=−1,b=1\displaystyle a=-1, b=1 C. a=1,b=−1\displaystyle a=1, b=-1    D. a=−1,b=−1\displaystyle a=-1, b=-1

  2. 【1994-5-5 分】 求极限 lim⁡x→∞[x−x2ln⁡(1+1x)]\displaystyle \lim_{x \to \infty}[x-x^{2} \ln (1+\dfrac{1}{x})]

  3. 【1999-1-3 分】 lim⁡x→0(1x2−1xtan⁡x)=\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x \tan x}\right)=

  4. 【2010-3-4 分】 若 lim⁡x→0[1x−(1x−a)ex]=1\displaystyle \lim_{x \to 0}[\dfrac{1}{x}-(\dfrac{1}{x}-a) e^{x}]=1，则 a 等于（ ）. A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

  5. 【2020-1-4 分】 极限 lim⁡x→0[1ex−1−1ln⁡(1+x)]=\displaystyle \lim_{x \to 0}[\dfrac{1}{e^{x}-1}-\dfrac{1}{\ln (1+x)}]=

（六）00\displaystyle 0^0 型幂指函数​

  1. 【1988-4-4 分】 求极限 lim⁡x→1xx−1xln⁡x\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{x}-1}{x \ln x}.

（七）∞0\displaystyle \infty^0 型幂指函数​

  1. 【1988-3-4 分】 lim⁡x→0+(1x)tan⁡x=\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{\tan x}=

  2. 【1989-5-5 分】 求极限 lim⁡x→+∞(x+ex)1x\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x+e^{x})^{\frac{1}{x}}

  3. 【1991-5-5 分】 求极限 lim⁡x→+∞(x+1+x2)1x\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x+\sqrt{1+x^{2}})^{\frac{1}{x}}

（八）1∞\displaystyle 1^\infty 型幂指函数​

  1. 【1987-4-4 分】 求极限 lim⁡x→0(1+xex)1x\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x e^{x})^{\frac{1}{x}}

  2. 【1989-3-4 分】 求 lim⁡x→0(2sin⁡x+cos⁡x)1x\displaystyle \lim_{x \to 0}(2 \sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}

  3. 【1990-3-5 分】 已知 lim⁡x→∞(x+ax−a)x=9\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\dfrac{x+a}{x-a})^{x}=9，求常数 a

  4. 【1990-12-3 分】 设 a 为非零常数，则 lim⁡x→∞(x+ax−a)x=\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\dfrac{x+a}{x-a})^{x}=

  5. 【1991-4-5 分】 求极限 lim⁡x→0(ex+e2x+⋯+enxn)1x\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n})^{\frac{1}{x}} 其中 n 是给定的自然数.

  6. 【1991-45-3 分】 下列各式中正确的是（ ）. A. lim⁡x→0+(1+1x)x=1\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=1 B. lim⁡x→0+(1+1x)x=e\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e C. lim⁡x→∞(1−1x)x=−e\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{x}=-e D. lim⁡x→∞(1+1x)−x=e\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{-x}=e

  7. 【1991-12-5 分】 求 lim⁡x→0+(cos⁡x)πx\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}

  8. 【1992-3-5 分】 求 lim⁡x→∞(3+x6+x)x−12\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\dfrac{3+x}{6+x})^{\frac{x-1}{2}}

  9. 【1993-12-5 分】 求 lim⁡x→∞(sin⁡2x+cos⁡1x)x\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sin \dfrac{2}{x}+\cos \dfrac{1}{x})^{x}.

  10. 【1995-12-3 分】 lim⁡x→0(1+3x)2sin⁡x=\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=

  11. 【1996-12-3 分】 设 lim⁡x→∞(x+2ax−a)x=8\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\dfrac{x+2 a}{x-a})^{x}=8，则 a=\displaystyle a=

  12. 【2000-4-3 分】 若 a>0\displaystyle a>0， b>0\displaystyle b>0 均为常数，则 lim⁡x→0(ax+bx2)3x=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{a^{x}+b^{x}}{2})^{\frac{3}{x}}=

  13. 【2003-4-4 分】 极限 lim⁡x→0[1+ln⁡(1+x)]2x=\displaystyle \lim_{x \to 0}[1+\ln (1+x)]^{\frac{2}{x}}=

  14. 【2003-1-4 分】 lim⁡x→0(cos⁡x)1ln⁡(1+x2)=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^{2}\right)}}=

  15. 【2010-1-4 分】 极限 lim⁡x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=()\displaystyle \lim_{x \to \infty}[\dfrac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}]^{x}=( ) A. 1    B. e    C. ea−b\displaystyle e^{a-b}    D. eb−a\displaystyle e^{b-a}

  16. 【2011-2-4 分】 lim⁡x→0(1+2x2)1x=\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1+2^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=

  17. 【2012-3-4 分】 lim⁡x→π4(tan⁡x)1cos⁡x−sin⁡x=\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=

  18. 【2013-2-4 分】 lim⁡x→0[2−ln⁡(1+x)x]1x=\displaystyle \lim_{x \to 0}\left[2-\dfrac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=

  19. 【2018-2-4 分】 若 lim⁡x→0(ex+ax2+bx)1x2=1\displaystyle \lim_{x \to 0}(e^{x}+a x^{2}+b x)^{\frac{1}{x^{2}}}=1，则（ ） A. a=12,b=−1\displaystyle a=\dfrac{1}{2}, b=-1 B. a=−12,b=−1\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}, b=-1 C. a=12,b=1\displaystyle a=\dfrac{1}{2}, b=1 D. a=−12,b=1\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}, b=1

  20. 【2018-1-4 分】 lim⁡x→0(1−tan⁡x1+tan⁡x)1sin⁡kx=e\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x})^{\frac{1}{\sin k x}}=e，则 k=\displaystyle k= _____.

  21. 【2019-2-4 分】 lim⁡x→0(x+2x)2x=\displaystyle \lim_{x \to 0}(x+2^{x})^{\frac{2}{x}}=

  22. 【2022-23-5 分】 lim⁡x→0(1+ex2)cot⁡x=\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1+e^{x}}{2}\right)^{\cot x}=

（九）含分段点、e∞\displaystyle e^{\infty} 或 arctan⁡∞\displaystyle \arctan\infty 的极限​

  1. 【1987-45-2 分】 判断正误: lim⁡x→0e1x=∞\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}=\infty.

  2. 【1992-123-3 分】 当 x→1\displaystyle x \to 1 时，函数 x2−1x−1e1x−1()\displaystyle \dfrac{x^{2}-1}{x-1} e^{\frac{1}{x-1}}( ) A. 等于2    B. 等于0    C. 为∞    D. 不存在但不为∞

  3. 【2000-1-5 分】 求 lim⁡x→0(2+e1x1+e4x+sin⁡x∣x∣)\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\dfrac{\sin x}{|x|})

大题​

（一）00\displaystyle \dfrac{0}{0} 型未定式​

  1. 【2005-2-11 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 连续，且 f(0)≠0\displaystyle f(0) \ne0，求极限 lim⁡x→0∫0x(x−t)f(t)dtx∫0xf(x−t)dt\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\int_{0}^{x}(x-t) f(t) d t}{x \int_{0}^{x} f(x-t) d t}

  2. 【2008-12-9 分】 求极限 lim⁡x→0[sin⁡x−sin⁡(sin⁡x)]sin⁡xx4\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}

  3. 【2009-2-10 分】 求极限 lim⁡x→0(1−cos⁡x)[x−ln⁡(1+tan⁡x)]sin⁡4x\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin^{4} x}

  4. 【2011-3-10 分】 求极限 lim⁡x→01+2sin⁡x−x−1xln⁡(1+x)\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+2 \sin x}-x-1}{x \ln (1+x)}

  5. 【2012-3-10 分】 求极限 lim⁡x→0ex2−e2−2cos⁡xx4\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{x^{2}}-e^{2-2 \cos x}}{x^{4}}

  6. 【2017-23-10 分】 求 lim⁡x→0+∫0xx−tetdtx3\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{\int_{0}^{x} \sqrt{x-t} e^{t} d t}{\sqrt{x^{3}}}

（二）∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} 型未定式​

  1. 【2000-2-6 分】 设函数 S(x)=∫0x∣cos⁡t∣dt\displaystyle S(x)=\int_{0}^{x}|\cos t| d t (1)当 n 为正整数，且 nπ≤x<(n+1)π\displaystyle n \pi \leq x < (n+1) \pi 时，证明: 2n≤S(x)<2(n+1)\displaystyle 2n \leq S(x)<2(n+1) (2)求 lim⁡x→+∞S(x)x\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{S(x)}{x}

  2. 【2014-123-10 分】 求极限 lim⁡x→+∞∫1x(t2(e1t−1)−t)dtx2ln⁡(1+1x)\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\int_{1}^{x}(t^{2}(e^{\frac{1}{t}}-1)-t) d t}{x^{2} \ln (1+\frac{1}{x})}

（三）0·∞ 型未定式​

  1. 【1987-12-8 分】 求正的常数 a 与 b， 使式 lim⁡x→01bx−sin⁡x∫0xt2a+t2dt=1\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{b x-\sin x} \int_{0}^{x} \dfrac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} d t=1 成立.

  2. 【2008-34-9 分】 求极限 lim⁡x→01x2ln⁡sin⁡xx\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{2}} \ln \dfrac{\sin x}{x}

（四）∞−∞\displaystyle \infty-\infty 型未定式​

  1. 【1987-3-6 分】 求极限 lim⁡x→0(1x−1ex−1)\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e^{x}-1})

  2. 【1997-4-6 分】 求极限 lim⁡x→0[ax−(1x2−a2)ln⁡(1+ax)](a≠0)\displaystyle \lim_{x \to 0}[\dfrac{a}{x}-(\dfrac{1}{x^{2}}-a^{2}) \ln (1+a x)](a \ne0)

  3. 【2004-34-8 分】 求 lim⁡x→0(1sin⁡2x−cos⁡2xx2)\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{1}{\sin^{2} x}-\dfrac{\cos^{2} x}{x^{2}})

  4. 【2005-34-8 分】 求 lim⁡x→0(1+x1−e−x−1x)\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{1+x}{1-e^{-x}}-\dfrac{1}{x})

  5. 【2006-3-7 分】 设 f(x,y)=y1+xy−1−ysin⁡πxyarctan⁡x\displaystyle f(x,y)=\dfrac{y}{1+xy}-\dfrac{1-y \sin \frac{\pi x}{y}}{\arctan x}， x>0\displaystyle x>0， y>0\displaystyle y>0，求 (1) g(x)=lim⁡y→+∞f(x,y)\displaystyle g(x)=\lim_{y \to+\infty} f(x,y); (2) lim⁡x→0+g(x)\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} g(x).

  6. 【2018-3-10 分】 已知实数a，b 满足 lim⁡x→+∞[(ax+b)e1x−x]=2\displaystyle \lim_{x \to +\infty}[(a x+b) e^{\frac{1}{x}}-x]=2，求a,b.

  7. 【2021-12-10 分】 lim⁡x→0(1+∫0xet2dtex−1−1sin⁡x)\displaystyle \lim_{x \to 0}(\dfrac{1+\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t}{e^{x}-1}-\dfrac{1}{\sin x})

（五）00\displaystyle 0^0 型幂指函数​

  1. 【2010-3-10 分】 求极限 lim⁡x→+∞(x1x−1)1ln⁡x\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x^{\frac{1}{x}}-1)^{\frac{1}{\ln x}}

（六）1∞\displaystyle 1^\infty 型幂指函数​

  1. 【2004-2-10 分】 求极限 lim⁡x→01x3[(2+cos⁡x3)x−1]\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{3}}[(\dfrac{2+\cos x}{3})^{x}-1]

  2. 【2011-1-10 分】 求极限 lim⁡x→0[ln⁡(1+x)x]1ex−1\displaystyle \lim_{x \to 0}[\dfrac{\ln (1+x)}{x}]^{\frac{1}{e^{x}-1}}

  3. 【2016-23-10 分】 求极限 lim⁡x→0(cos⁡2x+2xsin⁡x)1x4\displaystyle \lim_{x \to 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}

（七）含分段点、e∞\displaystyle e^{\infty} 或 arctan⁡∞\displaystyle \arctan\infty 的极限​

  1. 【2021-3-10 分】 已知 lim⁡x→0[α⋅arctan⁡1x+(1+∣x∣)1x]\displaystyle \lim_{x \to 0}[\alpha \cdot \arctan \dfrac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}] 存在，求 α 的值.