第3章 多维随机变量及其分布

基础部分

1. 设随机变量$X$和$Y$相互独立且均服从分布$\begin{pmatrix}-1&1\\q&p\end{pmatrix}(p+q=1)$，则下列随机变量服从二项分布的是( ) A. $X+Y$ B. $X-Y$ C. $XY$ D. $\frac{X-Y}{2}-1$

2. 设随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X \sim B(1,\frac{1}{2})$，$Y \sim N(0,1)$，则$P\{XY \leq 0\}=$( ) A. 0 B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{3}{4}$

3. 设随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X$服从二项分布$B(1,\frac{1}{2})$，$Y$服从指数分布$E(1)$，则$P\{X+Y \geq 1\}=$( ) A. $1+e^{-1}$ B. $1-e^{-1}$ C. $\frac{1}{2}(1+e^{-1})$ D. $\frac{1}{2}(1-e^{-1})$

4. 设随机变量$X$服从区间$(-3,2)$上的均匀分布，令$Y=\begin{cases}-1,&X \leqslant-1\\1,&X>-1\end{cases}$，$Z=\begin{cases}-1,&X \leq 1\\1,&X>1\end{cases}$，则$P\{Y+Z=0\}=$_____。

5. 设两个相互独立的随机变量$X$和$Y$均服从二项分布$B(1,\frac{1}{2})$，则$P\{X \geq Y\}=$_____。

6. 设离散型随机变量$X$和$Y$独立同分布：$P\{X=x_k\}=P\{Y=x_k\}=p_k$，$k=1,2,\cdots$，则$P\{X=Y\}=$_____。

7. 设随机变量$X$与$Y$相互独立，且均服从正态分布$N(0,\frac{1}{2})$。记随机变量$Z=|X-Y|$的概率密度为$f(z)$，则( ) A. $f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}},-\infty<z<+\infty$ B. $f(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}},-\infty<z<+\infty$ C. $f(z)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}},&z>0\\0,&z \leq 0\end{cases}$ D. $f(z)=\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}},&z>0\\0,&z \leq 0\end{cases}$

8. 设随机变量$X$在区间$(a,b)$上随机取值，当观察到$X=x(a<x<b)$时，随机变量$Y$在区间$(x,b)$上随机取值。求： (1) $Y$的概率密度； (2) $P\{X+Y<a+b\}$。

9. 某系统由两个相互独立工作的元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，设第$i$个元件的工作寿命为$X_i$，已知$X_i \sim E(\lambda_i)$，$\lambda_i>0$，$i=1,2$。 (1) 求该系统的工作寿命$X$的概率密度$f(x)$； (2) 证明：对任意的$t,s>0$，有$P\{X>t+s | X>t\}=P\{X>s\}$。

10. 已知二维随机变量$(X,Y)$在以点$(0,0),(1,-1),(1,1)$为顶点的三角形区域上服从均匀分布。 (1) 求边缘概率密度$f_X(x),f_Y(y)$及条件概率密度$f_{X|Y}(x|y),f_{Y|X}(y|x)$，并判断$X$与$Y$是否相互独立； (2) 计算概率$P\{X>\frac{1}{2} | Y>0\}$，$P\{X>\frac{1}{2}\}$。

11. 已知二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+y)},&0<x<y\\0,&\text{其他}\end{cases}$，求$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$。

12. 设二维随机变量$(X,Y)$在矩形区域$D=\{(x,y) | 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}$上服从均匀分布，求$Z=XY$的概率密度。

13. 设随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X$服从二项分布$B(2,\frac{1}{2})$，$Y$的概率密度为$f_Y(y)=\begin{cases}4y^3,&0 \leq y \leq 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$Z=X+Y$。 (1) $P\{Z \leq \frac{5}{2} | X>1\}$； (2) $Z$的概率密度。

14. 设随机变量$X,Y$相互独立，且$X$的概率密度为$f_X(x)=\begin{cases}1,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$Y$的概率密度为$f_Y(y)=\begin{cases}e^{ay},&y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}$。 (1) 求$a$的值； (2) 若$Z=2X+aY$，求$Z$的概率密度。

强化部分

1. 设$X,Y$独立同分布，$P\{X=k\}=\frac{1}{a^k}$，$k=1,2,\cdots$，则$P\{X>Y\}=$( ) A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{2a}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{3a}$

2. 设随机变量$X,Y$相互独立，且$X \sim U(-2,4)$，$Y \sim \begin{pmatrix}-2&2\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}$，则$P\{XY>2\}=$( ) A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{2}$

3. 设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{4},&-1 \leq x<1,0 \leq y<2\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则二次型$g(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+Yx_3^2+2Xx_1x_2+2Xx_1x_3$正定的概率为( ) A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{4}$

4. 设随机变量$X$在$(0,2)$上服从均匀分布，$Y$服从参数为$\lambda=2$的指数分布，且$X,Y$相互独立，则关于$a$的方程$a^2+Xa+Y=0$有实根的概率为_____（答案用标准正态分布的分布函数$\Phi(x)$表示）。

5. 设二维正态随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)$，已知条件概率密度$f_{X|Y}(x|y)=Ae^{-\frac{2}{3}(x-\frac{y}{2})^2}$和$f_{Y|X}(y|x)=Be^{-\frac{2}{3}(y-\frac{x}{2})^2}$。求： (1) 常数$A$和$B$； (2) 边缘概率密度$f_X(x)$和$f_Y(y)$； (3) $f(x,y)$。

6. 设二维随机变量$(U,V)$在以点$(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1)$为顶点的四边形区域$D$上服从均匀分布，令$X=\begin{cases}-1,&U \leq-1\\1,&U>-1\end{cases}$，$Y=\begin{cases}-1,&V \leq \frac{1}{2}\\1,&V>\frac{1}{2}\end{cases}$。 (1) 求$(X,Y)$的分布律； (2) 求$X$和$Y$的相关系数$\rho_{XY}$； (3) 求$V$的边缘概率密度。

7. 设一组两台机器同时启动开始制作产品，其独立工作时间$T_1,T_2$均服从参数为1的指数分布，$X$表示两台机器较早出现故障的时间，且收益$Y=\begin{cases}X-1,&X>1\\0,&X \leq 1\end{cases}$。 (1) 求$P\{Y>0\}$； (2) 若有$N$组机器承接制作产品的任务，收益大于0的组数记为$M$，记$N \sim P(2e^2)$，在$N=n(n \geq 1)$的条件下，$M \sim B(n,P\{Y>0\})$，求$M$的概率分布。

强化部分-多维随机变量函数的分布

1. 设$X_1,X_2$是来自标准正态总体$X$的简单随机样本，则$Y=\frac{X_1}{X_2}$的概率密度$f_Y(y)=$( ) A. $\frac{1}{\pi(1+y^2)}$ B. $\frac{1}{\pi(1+y)}$ C. $\frac{1}{1+y^2}$ D. $\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}$

2. 设$X_1,X_2$相互独立，$X_1 \sim \begin{pmatrix}1&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$，$X_2 \sim N(0,1)$，$Y=2X_1X_2-X_2$，则$Y$的分布函数为( ) A. $1-\Phi(2y)$ B. $1-\Phi(y)$ C. $\Phi(2y)$ D. $\Phi(y)$

3. 设$X,Y$独立同分布于参数为$\lambda$的指数分布，令$Z=\max\{X,Y\}$，则与$Z$同分布的是( ) A. $\frac{X+Y}{2}$ B. $\frac{2X+Y}{2}$ C. $\frac{2X+Y}{3}$ D. $Y$

4. 设随机变量$X,Y$独立同分布于$E(\lambda)$，其中$\lambda>0$，$F(x)$为$X$的分布函数，则与$F(X)$同分布的是( ) A. $\frac{2X}{X+Y}$ B. $\frac{X}{Y}$ C. $\frac{X+Y}{2X}$ D. $\frac{Y}{X+Y}$

5. 设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，$Y=\max\limits_{2 \leq i \leq n}\{X_i\}$，已知$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}e^{-x},&x>0\\0,&x \leq 0\end{cases}$，则$P\{X_1Y-Y<0\}=$_____。

6. 设$X \sim f_X(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，在给定$X=x(0<x<1)$的条件下，$Y \sim U(-x,x)$。 (1) 求$(X,Y)$的概率密度$f(x,y)$； (2) 若$[Y]$表示不超过$Y$的最大整数，求$W=X+[Y]$的分布函数。

7. 设二维随机变量$(X,Y)$在区域$D=\{(x,y) | 0<x<1,x^2<y<\sqrt{x}\}$上服从均匀分布，令$U=\begin{cases}1,&X \leq Y\\0,&X>Y\end{cases}$。 (1) 写出$(X,Y)$的概率密度； (2) $U$与$X$是否相互独立？说明理由； (3) 求$Z=U+X$的分布函数$F_Z(z)$。

8. 设$X_0,X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，$Y=\frac{1}{\max\limits_{1 \leq i \leq n}\{X_i\}}$，已知$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}e^{-x},&x>0\\0,&x \leq 0\end{cases}$。 (1) 求$Y$的分布函数； (2) 求$P\{X_0Y-X_0-Y+1<0\}$。

9. 设二维随机变量$(X,Y)$在区域$D=\{(x,y) | |x|+|y| \leq 1\}$上服从均匀分布，令$U=X+Y$，$V=X-Y$。求： (1) $U$与$V$的概率密度$f_U(u)$与$f_V(v)$； (2) $U$与$V$的协方差$\text{Cov}(U,V)$和相关系数$\rho_{UV}$。

10. 设随机变量$X \sim B(2,\frac{1}{2})$和随机变量$Y \sim N(0,1)$，且$X$与$Y$相互独立。令$Z=(X-1)Y$，记$(Y,Z)$的分布函数为$F(y,z)$。求： (1) $Z$的分布函数$F_Z(z)$； (2) $F(1,1)$的值，已知$\int_{-\infty}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=0.8413$。

11. 设$X,Y$独立同分布于标准正态分布$N(0,1)$，记$Z=\begin{cases}X,&XY>0\\0,&XY=0\\-X,&XY<0\end{cases}$。 (1) 证明$Z$服从标准正态分布； (2) $(Y,Z)$是否服从二维正态分布？说明理由。

12. 设某商品每天的供应量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}xe^{-x},&x \geq 0\\0,&x<0\end{cases}$，若每天的供应量相互独立，求： (1) 3天总供应量的概率密度； (2) 连续3天中最大供应量的概率密度。