第2章 一维随机变量及其分布

基础部分

1. 设$X$是连续型随机变量，$C$是常数，则随机变量$Y=X+C$的分布函数间断点个数为_____。

2. 设随机变量$X \sim B(n,\frac{1}{3})$，$Y \sim B(2n,\frac{1}{3})$，若$P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$，则$P\{Y \geq 1\}=$( ) A. $\frac{5}{27}$ B. $\frac{16}{81}$ C. $\frac{64}{81}$ D. $\frac{65}{81}$

3. 设$X \sim N(0,1)$，$Y=X+|X|$，则$P\{Y>1\}=$( ) A. $\Phi(\frac{1}{2})$ B. $1-\Phi(\frac{1}{2})$ C. $\Phi(1)$ D. $1-\Phi(1)$

4. 随机试验$E$有三种两两不相容的结果$A_1,A_2,A_3$，且三种结果发生的概率均为$\frac{1}{3}$。将试验$E$独立重复做2次，$X$表示2次试验中结果$A_1$发生的次数，$Y$表示2次试验中结果$A_2$发生的次数，则$X+Y$服从( ) A. $B(2,\frac{1}{3})$ B. $B(2,\frac{2}{3})$ C. $B(4,\frac{1}{3})$ D. $B(4,\frac{2}{3})$

5. 设随机变量$X,Y$分别服从正态分布$N(\mu,9)$，$N(\mu,4)$，记$p_1=P\{X \leq \mu-3\}$，$p_2=P\{Y \geq \mu+4\}$，则( ) A. 对于任何实数$\mu$，都有$p_1=p_2$ B. 对于任何实数$\mu$，都有$p_1<p_2$ C. 对于任何实数$\mu$，都有$p_1>p_2$ D. 对于$\mu$的个别值，有$p_1=p_2$

6. 设随机变量$X$服从正态分布，其概率密度$f(x)$在$x=1$处有驻点，且$f(1)=1$，则$X$服从( ) A. $N(1,1)$ B. $N(1,\frac{1}{\sqrt{2\pi}})$ C. $N(1,\frac{1}{2\pi})$ D. $N(0,1)$

7. 设随机变量$X$服从$(0,1)$上的均匀分布，则$Y=-\ln X$服从( ) A. 几何分布 B. 标准正态分布 C. $t$分布 D. 指数分布

8. 设随机变量$X$服从正态分布$N(1,2)$，其分布函数和概率密度分别记作$F(x)$和$f(x)$，则下列各选项的性质中错误的是( ) A. $f(x)$的曲线关于直线$x=1$对称 B. $F(x)$是$f(x)$在$(-\infty,x)$上的积分 C. $F(x)$在点$x=0$处的值等于0.5 D. 概率密度$f(x)$的最大值等于$\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$

9. 设$X \sim f_X(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$，$-\infty<x<+\infty$，原$Y=\arctan X$，则$f_Y(y)=$_____。

10. 设某种元件的使用寿命$T$的分布函数为$F(t)=\begin{cases}1-e^{-(\frac{t}{\theta})^m},&t \geq 0\\0,&t<0\end{cases}$，其中$\theta,m$为大于零的参数。求概率$P\{T>t\}$与$P\{T>s+t | T>s\}$，其中$s>0,t>0$。

11. 已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}|x|,&|x| \leq 1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，求$Y=X^2+1$的概率密度$f_Y(y)$。

强化部分

1. 设$X$是随机变量，$s,t$是正数，$m,n$是正整数。 ①若$X \sim G(p)$，则$P\{X>m+n | X>m\}$与$m$无关； ②若$X \sim P\{X=k\}=\frac{1}{k(k+1)}$，$k=1,2,\cdots$，则$P\{X \geq 2n | X \geq n\}$与$n$无关； ③若$X \sim E(\lambda)$，则$P\{X>s+t | X>s\}$与$s$无关； ④$X \sim f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^2},&x>1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$t>1$时，$P\{X \geq 2t | X \geq t\}$与$t$无关。 上述结论中正确的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 设$X$服从参数为$\lambda(\lambda>0)$的泊松分布，$p_1,p_2,p_3$分别是$X$取整数、偶数与奇数的概率，则( ) A. $p_1=p_2=p_3$ B. $p_1=p_2>p_3$ C. $p_1>p_2>p_3$ D. $p_1>p_2=p_3$

3. 设$X,Y$分别服从参数为$n,m$的泊松分布，且$n>m$，$F_X(x),F_Y(y)$分别是$X,Y$的分布函数，$-\infty<z<+\infty$，则( ) A. $P\{X \geq Y\}=1$ B. $P\{X \leq Y\}=1$ C. $F_X(z) \geq F_Y(z)$ D. $F_X(z) \leq F_Y(z)$

4. 设随机变量$X$的概率密度$f(x) \neq 1(x \in R)$，则$X$不可能服从( ) A. $N(1,1)$ B. $N(0,2)$ C. $E(2)$ D. $U(-1,1)$

5. 设有40个盒子，100个球，每个球等可能地放入任一盒子中，则指定某一个盒子中最有可能出现的球的个数为_____。

6. 设随机变量$X \sim N(0,\sigma^2)$，$\sigma>0$，使得$P\{e^{\frac{1}{2}}<X<e\}$最大的$\sigma^2=$_____。

7. 设随机变量$X$的概率分布为$P\{X=1\}=a$，$P\{X=2\}=1-a$。在给定$X=i$的条件下，随机变量$Y$服从均匀分布$U(0,i)$，$i=1,2$，且当$0 \leq y<1$时，$Y$的分布函数为$F_Y(y)=\frac{2}{3}y$，则$a=$( ) A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{4}$

8. 设随机变量$X$的绝对值不大于1，$P\{X=-1\}=\frac{1}{8}$，$P\{X=1\}=\frac{1}{4}$。在事件$\{-1<X<1\}$发生的条件下，$X$在$(-1,1)$内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，求$X$的分布函数$F(x)$。

9. 某人在超市里买了10节甲厂生产的电池，又买了5节乙厂生产的电池。这两种电池的寿命（以小时计）分别服从参数为$\frac{1}{20}$和$\frac{1}{40}$的指数分布。他任取一节电池装在相机里。求： (1) 此电池寿命$X$的概率密度； (2) 若用了40小时电池仍有电，还可以再用20小时以上的概率。

强化部分-一维随机变量函数的分布

1. 设$X \sim E(1)$，$Y=[X+1]$，其中$[\cdot]$表示取整符号，则$Y$服从( ) A. 参数为$e^{-1}$的几何分布 B. 参数为$1-e^{-1}$的几何分布 C. 参数为$e^{-1}$的泊松分布 D. 参数为$1-e^{-1}$的泊松分布

2. 设$X,Y$与$X+Y$均服从同一种分布，其中$X,Y$相互独立，则下列分布一定可以成立的是( ) A. 均匀分布 B. 泊松分布 C. 指数分布 D. 二项分布

3. 设随机变量$X \sim N(0,1)$，则与$Y=\begin{cases}X,&|X| \leq 1\\-X,&|X|>1\end{cases}$同分布的是( ) A. $X$ B. $2X$ C. $\frac{X+Y}{2}$ D. $X+Y$

4. 设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2},&0<x<2\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$F_X(x)$是$X$的分布函数，若$Y=-\ln[1-F_X(X)]$，则$P\{Y>\frac{1}{2}\}=$_____。

5. 设$X \sim U(0,1)$，则$Y=X\ln X$的概率密度$f_Y(y)=$_____。

6. 假设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，$G(x)$是区间$(0,1)$上的均匀分布函数，求随机变量$Y=G(X)$的分布函数$H(y)$。

7. 将长度为1的铁丝沿其上任一点折成两段，较短的一段长度记为$X$，并以这两段作为矩形的两条边，记矩形面积为$Z$。求： (1) $X$的概率密度； (2) $E(Z)$。