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第6章 二次型

基础部分​

  1. f(x1,x2,x3)=−2x1x2−2x1x3+6x2x3f(x_1,x_2,x_3)=-2x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3的正惯性指数为( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
  2. 设二次型f(x1,x2,x3)=ax1x2+x1x3−x2x3f(x_1,x_2,x_3)=ax_1x_2+x_1x_3-x_2x_3的正惯性指数为2，负惯性指数为1，则以下结论可能成立的是( ). A. a=−1a=-1 B. a=1a=1 C. a≥0a\geq0 D. a<0a<0
  3. 已知二次型f(x1,x2,x3)=(x1−x2+x3)2+(x2−ax3)2+(ax3+x1)2f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2-ax_3)^2+(ax_3+x_1)^2的秩为2，则a=a=
  4. 设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+4(x1x2+x1x3+x2x3)f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)经正交变换可化为标准形f=5y12−y22−y32f=5y_1^2-y_2^2-y_3^2，则a=a=( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
  5. 设二次型f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)在正交变换x=Pyx=Py下的标准形为y12+y22−2y32y_1^2+y_2^2-2y_3^2，其中P=[e1,e2,e3]P=[e_1,e_2,e_3].若Q=[−e3,e2,e1]Q=[-e_3,e_2,e_1]，则f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)在正交变换x=Qyx=Qy下的标准形为( ). A. 2y12−y22+y322y_1^2-y_2^2+y_3^2 B. 2y12+y22−y322y_1^2+y_2^2-y_3^2 C. −2y12+y22+y32-2y_1^2+y_2^2+y_3^2 D. −2y12−y22+y32-2y_1^2-y_2^2+y_3^2
  6. 设f(x1,x2,x3)=[x1+(a−2)x2−2x3]2+(x1+ax2+x3)2+[x1+ax2+(a−2)x3]2f(x_1,x_2,x_3)=[x_1+(a-2)x_2-2x_3]^2+(x_1+ax_2+x_3)^2+[x_1+ax_2+(a-2)x_3]^2.求： (1)方程f(x1,x2,x3)=0f(x_1,x_2,x_3)=0的解；(2) 二次型f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)的规范形.
  7. 已知二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+ax32+2x1x2+2x1x3−2x2x3f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+ax_2^2+ax_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3对应的矩阵为AA，且其在正交变换x=Qyx=Qy下的标准形为y12+y22−2y32y_1^2+y_2^2-2y_3^2. (1) 求aa的值和正交矩阵QQ；(2) 设矩阵B=[100cb0−1−11]B=\begin{bmatrix}1&0&0\\c&b&0\\-1&-1&1\end{bmatrix}，若AA与BB相似，求b,cb,c的值.在此情形下，是否存在正交矩阵PP使PTAP=BP^TAP=B？若存在，求PP；若不存在，请说明理由.
  8. 设A=[0001001001001000]A=\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}，B=[0−100−100000100001]B=\begin{bmatrix}0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}，则AA和BB( ). A. 不相似且不合同 B. 相似但不合同 C. 不相似但合同 D. 相似且合同
  9. 设AA为n(n>1)n(n>1)阶方阵，i,j=1,2,⋯ ,n;i≠ji,j=1,2,\cdots,n;i\neq j，互换AA的第ii行与第jj行得到矩阵BB，再互换BB的第ii列与第jj列得到矩阵CC，则AA与CC( ) A. 等价，相似且合同 B. 等价，合同但不相似 C. 合同，相似但不等价 D. 等价，相似但不合同
  10. 下列矩阵中的正定矩阵是( ). A. A=[2−11−112120]A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&1&2\\1&2&0\end{bmatrix} B. B=[2−11−122125]B=\begin{bmatrix}2&-1&1\\-1&2&2\\1&2&5\end{bmatrix} C. C=[11213121−1]C=\begin{bmatrix}1&1&2\\1&3&1\\2&1&-1\end{bmatrix} D. D=[12−125−3−1−32]D=\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&5&-3\\-1&-3&2\end{bmatrix}
  11. 设AA为nn阶方阵，有下列结论： ①若AA的全部顺序主子式为正，则AA正定；②若AA相似于对角矩阵Λ\Lambda，则AA与Λ\Lambda合同；③若AA与正定矩阵合同，则AA为正定矩阵. 则正确结论的个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
  12. 已知AA为3阶矩阵，EE为3阶单位矩阵，且(aE+A)2=[101020101](aE+A)^2=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}，tr(A)=22−3atr(A)=22-3a，aa为常数. (1) 求矩阵AA；(2)若AA正定，求aa的取值范围.
  13. 设矩阵A=[11a1a1a11]A=\begin{bmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{bmatrix}，向量β=[11a]\beta=\begin{bmatrix}1\\1\\a\end{bmatrix}，若齐次线性方程组Ax=0Ax=0的解空间的维数为1. (1) 求常数aa的值及非齐次线性方程组Ax=βAx=\beta的解；(2) 求一个正交变换x=Qyx=Qy，将二次型f(x)=xTAxf(x)=x^TAx化为标准形，并写出该标准形.
  14. 设A=[−3000−12022]A=\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&-1&2\\0&2&2\end{bmatrix}，B=[03030000k]B=\begin{bmatrix}0&3&0\\3&0&0\\0&0&k\end{bmatrix}，若AA与BB合同，则kk的取值为( ). A. k>0k>0且k≠2k\neq2 B. k>0k>0且k≠3k\neq3 C. k<0k<0且k≠−2k\neq-2 D. k<0k<0且k≠−3k\neq-3
  15. 设二次型f(x1,x2,x3)=4x12+x22+ax32+2x1x2−4x1x3+2x2x3f(x_1,x_2,x_3)=4x_1^2+x_2^2+ax_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3+2x_2x_3与g(y1,y2,y3)=2y12+by22g(y_1,y_2,y_3)=2y_1^2+by_2^2合同，则( ). A. a=3,b>0a=3,b>0 B. a=3,b<0a=3,b<0 C. a=4,b>0a=4,b>0 D. a=4,b<0a=4,b<0
  16. 设3阶实对称矩阵AA的各行元素之和均为2，其主对角线元素之和为5，r(A)=2r(A)=2，则二次型f(x1,x2,x3)=xTAxf(x_1,x_2,x_3)=x^TAx满足条件x12+x22+x32=1x_1^2+x_2^2+x_3^2=1的最大值为( ). A. 15\frac{1}{5} B. 12\frac{1}{2} C. 2 D. 3
  17. 设A=[1111a+2111a]A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a+2&1\\1&1&a\end{bmatrix}，若二次型f(x1,x2,x3)=xTAxf(x_1,x_2,x_3)=x^TAx的规范形为z12+z22z_1^2+z_2^2，求aa的值与将其化为规范形的可逆线性变换.
  18. 设α,β\alpha,\beta为nn维列向量，P=[α,β]P=[\alpha,\beta]，Q=[α+β,2α]Q=[\alpha+\beta,2\alpha].若矩阵AA使得PTAP=[1000]P^TAP=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}，则QTAQ=Q^TAQ=( ) A. [1442]\begin{bmatrix}1&4\\4&2\end{bmatrix} B. [4221]\begin{bmatrix}4&2\\2&1\end{bmatrix} C. [1224]\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} D. [2114]\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}
  19. 已知A=[321221111]A=\begin{bmatrix}3&2&1\\2&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}，Λ=[200030001]\Lambda=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}，求可逆矩阵CC，使得CTAC=ΛC^TAC=\Lambda.
  20. 设3维列向量α=[1,1,1]T\alpha=[1,1,1]^T，矩阵A=ααTA=\alpha\alpha^T. (1)求AA的特征值与全部特征向量；(2) 求方程组(A+kE)x=0(A+kE)x=0(kk为常数)的通解；(3) 求一个正交变换x=Qyx=Qy，将二次型f=xTAxf=x^TAx化为标准形.
  21. 设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+2x32−2x1x2f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2的矩阵为AA，则与A2A^2既相似又合同的矩阵是( ). A. [200020000]\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{bmatrix} B. [400040000]\begin{bmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&0\end{bmatrix} C. [400000000]\begin{bmatrix}4&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} D. [300030002]\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&2\end{bmatrix}
  22. 下列二次型中，属于正定二次型的是( ). A. f1(x1,x2,x3,x4)=(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x4)2+(x4−x1)2f_1(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_4)^2+(x_4-x_1)^2 B. f2(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2f_2(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_4)^2+(x_4+x_1)^2 C. f3(x1,x2,x3,x4)=(x1−x2)2+(x2+x3)2+(x3−x4)2+(x4+x1)2f_3(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3-x_4)^2+(x_4+x_1)^2 D. f4(x1,x2,x3,x4)=(x1−x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2f_4(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_4)^2+(x_4+x_1)^2
  23. (1) 设二次型f(x,y,z)=y2+2xzf(x,y,z)=y^2+2xz，用正交变换x=Qyx=Qy将其化为标准形，并写出QQ；(2) 求函数g(x,y,z)=y2+2xzx2+y2+z2(x2+y2+z2≠0)g(x,y,z)=\frac{y^2+2xz}{x^2+y^2+z^2}(x^2+y^2+z^2\neq0)的最大值，并求出一个最大值点.
  24. 二次型f(x1,x2,x3)=xTAxf(x_1,x_2,x_3)=x^TAx通过正交变换化成2y12+2y222y_1^2+2y_2^2，方程组Ax=0Ax=0有解ξ=[1,0,1]T\xi=[1,0,1]^T，求正交变换及二次型矩阵AA
  25. 设A=[111⋯1123⋯s12232⋯s2⋮⋮⋮⋮12n−13n−1⋯sn−1]A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&2&3&\cdots&s\\1&2^2&3^2&\cdots&s^2\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&2^{n-1}&3^{n-1}&\cdots&s^{n-1}\end{bmatrix}，s,ns,n是正整数，证明ATAA^TA是实对称矩阵，并就正整数s,ns,n的情况讨论矩阵ATAA^TA的正定性.
  26. f(x1,x2,x3)=−2x1x2−2x1x3+6x2x3=0f(x_1,x_2,x_3)=-2x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3=0是( ). A. 柱面 B. 单叶双曲面 C. 双叶双曲面 D. 锥面
  27. 已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+ax32−2x1x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+ax_3^2-2x_1x_3，且二次曲面f(x1,x2,x3)=1f(x_1,x_2,x_3)=1是柱面. (1) 求aa的值；(2) 用正交变换将二次型ff化为标准形，并求所用的正交变换；(3) 求此柱面母线的方向向量.

强化部分​

  1. 已知二次型f(x1,x2,x3)=4x12+x22+ax32+2x1x2−4x1x3+2x2x3f(x_1,x_2,x_3)=4x_1^2+x_2^2+ax_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3+2x_2x_3可经可逆线性变换但不可经正交变换化为g(y1,y2,y3)=by12+6y22g(y_1,y_2,y_3)=by_1^2+6y_2^2，则a+ba+b的取值范围为( ). A. (4,+∞)(4,+\infty) B. (7,+∞)(7,+\infty) C. [4,+∞)[4,+\infty) D. (4,7)∪(7,+∞)(4,7)\cup(7,+\infty)
  2. 设AA为3阶实对称方阵，r(E−A)=1r(E-A)=1，且A2+2A=3EA^2+2A=3E，则二次型f(x1,x2,x3)=xTAxf(x_1,x_2,x_3)=x^TAx的规范形为( ). A. z12+z22+z32z_1^2+z_2^2+z_3^2 B. z12+z22−z32z_1^2+z_2^2-z_3^2 C. z12−z22−z32z_1^2-z_2^2-z_3^2 D. −z12−z22−z32-z_1^2-z_2^2-z_3^2
  3. f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3−3x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3-3x_2x_3的规范形为( ). A. z12+z22−z32z_1^2+z_2^2-z_3^2 B. z12−z22−z32z_1^2-z_2^2-z_3^2 C. z12+z22+z32z_1^2+z_2^2+z_3^2 D. −z12−z22−z32-z_1^2-z_2^2-z_3^2
  4. 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+3x_2+ax_3)(x_1+5x_2+bx_3)的正惯性指数pp( ) A. 与aa有关，与bb无关 B. 与aa无关，与bb有关 C. 与a,ba,b均有关 D. 与a,ba,b均无关
  5. 二次型f(x1,x2,x3)=∑1≤i,j≤3∣i−j∣xixjf(x_1,x_2,x_3)=\sum\limits_{1\leq i,j\leq3}|i-j|x_ix_j的规范形为
  6. 设a1,a2,a3a_1,a_2,a_3为一组不全为零的实数，则二次型f(x1,x2,x3)=∑i=13∑j=13aiajxixjf(x_1,x_2,x_3)=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_ia_jx_ix_j的规范形为
  7. 设AA是3阶实对称矩阵，AA的每行元素之和为3，则二次型f(x1,x2,x3)=xTAxf(x_1,x_2,x_3)=x^TAx在x=x0=[1,1,1]Tx=x_0=[1,1,1]^T处的值f(1,1,1)=x0TAx0=f(1,1,1)=x_0^TAx_0=
  8. 二次型f(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_4)^2+(x_4+x_1)^2的秩为
  9. 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1−a)x12+(1−a)x22+2x32+2(1+a)x1x2f(x_1,x_2,x_3)=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1x_2的秩为2，则f(x1,x2,x3)=0f(x_1,x_2,x_3)=0的通解为
  10. 设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=[x1,x2,x3][a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx=[x_1,x_2,x_3]\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}，且∑l=13all=2\sum\limits_{l=1}^3a_{ll}=2，AB=0AB=0其中B=[1−10112101]B=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&1&2\\1&0&1\end{bmatrix}. (1) 用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；(2) 求该二次型；(3) f(x1,x2,x3)=1f(x_1,x_2,x_3)=1表示什么曲面？
  11. 已知矩阵A=[2−20−21−20−20]A=\begin{bmatrix}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{bmatrix}，β=[−200]\beta=\begin{bmatrix}-2\\0\\0\end{bmatrix}，Aη+β=0A\eta+\beta=0，η\eta为3维列向量. (1) 求η\eta；(2) 求正交矩阵PP，使PTAP=ΛP^TAP=\Lambda；(3)令x=Py+ηx=Py+\eta，其中x=[x,y,z]Tx=[x,y,z]^T，y=[x1,y1,z1]Ty=[x_1,y_1,z_1]^T化简二次曲面方程2x2+y2−4xy−4yz−4x−5=02x^2+y_2-4xy-4yz-4x-5=0并说明它表示什么曲面.
  12. 设二次型f(x1,x2,x3)=xT[106444089]xf(x_1,x_2,x_3)=x^T\begin{bmatrix}1&0&6\\4&4&4\\0&8&9\end{bmatrix}x，其中x=[x1x2x3]x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}. (1) 用正交变换x=Qyx=Qy将其化为标准形，并求出QQ；(2)求g(x1,x2,x3)=f(x1,x2,x3)x12+x22+x32g(x_1,x_2,x_3)=\frac{f(x_1,x_2,x_3)}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}的最大值，并求出一个最大值点，其中x12+x22+x32≠0x_1^2+x_2^2+x_3^2\neq0
  13. 设f(x)=(αTx)2+k(βTx)2f(x)=(\alpha^Tx)^2+k(\beta^Tx)^2的二次型矩阵的迹为3，其中α=[12,0,−12]T\alpha=\left[\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]^T，β=[13,13,13]T\beta=\left[\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right]^T，x=[x1,x2,x3]Tx=[x_1,x_2,x_3]^T. (1)求kk的值，并求正交矩阵QQ，将f(x)f(x)化为标准形；(2) 求一个实对称矩阵PP，使f(x)=(Px)TPxf(x)=(Px)^TPx
  14. 二次型f(x1,x2,x3)=x12−x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2x_3经正交变换x=Qyx=Qy化为二次型g(y1,y2,y3)=y1y2+ay32g(y_1,y_2,y_3)=y_1y_2+ay_3^2. (1) 求aa的值；(2) 求正交矩阵QQ
  15. 设二次型f(x1,x2)=x12−4x1x2+4x22f(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2，g(x1,x2)g(x_1,x_2)的二次型矩阵为B=[1−1−12]B=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}. (1) 是否存在可逆矩阵DD，使B=DTDB=D^TD？若存在，求出矩阵DD，若不存在，说明理由. (2)求max⁡x≠0f(x)g(x)\max\limits_{x\neq0}\frac{f(x)}{g(x)}，其中x=[x1x2]x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
  16. 已知实矩阵A=[111a]A=\begin{bmatrix}1&1\\1&a\end{bmatrix}，B=[4b31]B=\begin{bmatrix}4&b\\3&1\end{bmatrix}，其中aa为非负整数，且AA与BB合同. (1)求a,ba,b的值；(2) 求可逆矩阵DD，使得A=DTBDA=D^TBD
  17. 设矩阵A=[1010−2010a]A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&-2&0\\1&0&a\end{bmatrix}与B=[1212−52121]B=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&-5&2\\1&2&1\end{bmatrix}合同，求aa并求可逆矩阵PP使得PTAP=BP^TAP=B
  18. 若可逆线性变换x=Pyx=Py可将二次型f(x1,x2)=x12+2x22+2x1x2f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2化为规范形y12+y22y_1^2+y_2^2，同时将二次型g(x1,x2)=−x12+2x22+2x1x2g(x_1,x_2)=-x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2化为标准形k1y12+k2y22k_1y_1^2+k_2y_2^2，求可逆矩阵PP及k1,k2k_1,k_2的值.
  19. 已知f(x1,x2,x3)=xTAxf(x_1,x_2,x_3)=x^TAx经正交变换x=Qyx=Qy化为g(y1,y2,y3)=y12+2y22+ay32(a≠0)g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_2^2+ay_3^2(a\neq0)，且Q−1A∗Q=[1000120001a]Q^{-1}A^*Q=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{a}\end{bmatrix}，A∗A^*为AA的伴随矩阵，则对任意x≠0x\neq0( ). A. f(x1,x2,x3)>0f(x_1,x_2,x_3)>0 B. f(x1,x2,x3)≥0f(x_1,x_2,x_3)\geq0 C. f(x1,x2,x3)<0f(x_1,x_2,x_3)<0 D. f(x1,x2,x3)≤0f(x_1,x_2,x_3)\leq0
  20. 二次型f(x1,x2,x3)=∑i=13xi2+∑1≤i<j≤32axixjf(x_1,x_2,x_3)=\sum\limits_{i=1}^3x_i^2+\sum\limits_{1\leq i<j\leq3}2ax_ix_j正定的充要条件为( ). A. a>0a>0 B. 0<a<10<a<1 C. −1<a<1-1<a<1 D. −12<a<1-\frac{1}{2}<a<1
  21. 设AA为mm阶正定矩阵，BB为m×nm\times n实矩阵，C=BTABC=B^TAB，则CC与nn阶单位矩阵EE合同的充分必要条件为( ). A. 齐次线性方程组Bx=0Bx=0只有零解 B. 齐次线性方程组BBTx=0BB^Tx=0有非零解 C. 齐次线性方程组BBTx=0BB^Tx=0只有零解 D. 齐次线性方程组BTBx=0B^TBx=0有非零解
  22. 设二次型f(x1,x2,x3)=(x1+2x2+x3)2+[−x1+(a−4)x2+2x3]2+(2x1+x2+ax3)2f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_2+x_3)^2+[-x_1+(a-4)x_2+2x_3]^2+(2x_1+x_2+ax_3)^2正定，则参数aa的取值范围是( ). A. a=2a=2 B. a=−7a=-7 C. a>0a>0 D. aa为任意实数
  23. 设α,β,γ\alpha,\beta,\gamma为3维列向量，二次型f(x1,x2,x3)=xT(ααT+ββT+γγT)xf(x_1,x_2,x_3)=x^T(\alpha\alpha^T+\beta\beta^T+\gamma\gamma^T)x. (1)若α,β,γ\alpha,\beta,\gamma线性无关，证明ff为正定二次型；(2)若α=[1−10]\alpha=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}，β=[11−2]\beta=\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}，γ=[10a]\gamma=\begin{bmatrix}1\\0\\a\end{bmatrix}，求f(x1,x2,x3)=0f(x_1,x_2,x_3)=0的解，并求二次型的规范形.
  24. 设A=[110011101]A=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}，ATA=B2A^TA=B^2，其中BB为正定矩阵. (1)求BB；(2) 证明存在正交矩阵CC，使得A=CBA=CB，并求出CC
  25. 设AA为nn阶矩阵，则以下不是“ATAA^TA正定”的充要条件的是( ). A. AA为初等矩阵的乘积 B. AA为RnR^n的某两个基之间的过渡矩阵 C. AA的行向量组线性无关 D. AA与nn阶单位矩阵EE相似
  26. 设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3，若方程f(x1,x2,x3)=−1f(x_1,x_2,x_3)=-1表示的曲面为圆柱面，则( ). A. a=−4a=-4，且f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)的规范形为−y12−y22−y32-y_1^2-y_2^2-y_3^2 B. a=−4a=-4，且f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)在正交变换下的标准形为−6y12−6y22-6y_1^2-6y_2^2 C. a=2a=2，且f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)的规范形为−y12−y22−y32-y_1^2-y_2^2-y_3^2 D. a=2a=2，且f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3)在正交变换下的标准形为−6y12−6y22-6y_1^2-6y_2^2
  27. 设f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2ax_1x_3+2ax_2x_3的正、负惯性指数分别为p=2p=2，q=0q=0，则f(x1,x2,x3)=1f(x_1,x_2,x_3)=1在点(0,1,1)(0,1,1)处的切平面方程为