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第3章 向量组

基础部分​

  1. nn维向量组α1,α2,⋯ ,αr(3≤r≤n)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r(3\leq r\leq n)线性相关的充分必要条件是( ). A. 对于任意一组不全为零的数k1,k2,⋯ ,krk_1,k_2,\cdots,k_r都有k1α1+k2α2+⋯+krαr=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0 B. α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r中任意两个向量都线性相关 C. α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r中任何一个向量都能由其余向量线性表示 D. α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r中至少有一个向量能由其余向量线性表示
  2. 设nn阶方阵A=[α1,α2,⋯ ,αn]A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]，B=[β1,β2,⋯ ,βn]B=[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]，AB=[γ1,γ2,⋯ ,γn]AB=[\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n]，记向量组I:α1,α2,⋯ ,αnI:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n，向量组II:β1,β2,⋯ ,βnII:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n，向量组III:γ1,γ2,⋯ ,γnIII:\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n，如果向量组IIIIII线性相关，则( ) A. 向量组II线性相关 B. 向量组IIII线性相关 C. 向量组II与IIII都线性相关 D. 向量组II与IIII至少有一个线性相关
  3. 设α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n是nn个nn维的线性无关向量，αn+1=k1α1+k2α2+⋯+knαn\alpha_{n+1}=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n，其中k1,k2,⋯ ,knk_1,k_2,\cdots,k_n全不为0，则下列结论：①α2,α3,⋯ ,αn+1\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_{n+1}线性相关；②α1,α3,⋯ ,αn+1\alpha_1,\alpha_3,\cdots,\alpha_{n+1}线性相关；③α1,α2,α4,⋯ ,αn+1\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4,\cdots,\alpha_{n+1}线性相关.正确的个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
  4. 设A=[a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34]A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}，AA分别以列和行分块，记为A=[α1,α2,α3,α4]=[β1β2β3]A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]=\begin{bmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{bmatrix}，其中∣a12a14a32a34∣≠0\begin{vmatrix}a_{12}&a_{14}\\a_{32}&a_{34}\end{vmatrix}\neq0，∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=0\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=0，则以下结论中：①r(A)=2r(A)=2；②α2,α4\alpha_2,\alpha_4线性无关；③β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3线性相关；④α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关.所有正确结论的序号是( ). A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
  5. 设向量组α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，若向量β1\beta_1可由α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，向量β2\beta_2不能由α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，则必有( ). A. 向量组α1,α2,β1\alpha_1,\alpha_2,\beta_1线性相关 B. 向量组α1,α2,β1\alpha_1,\alpha_2,\beta_1线性无关 C. 向量组α1,α2,β2\alpha_1,\alpha_2,\beta_2线性相关 D. 向量组α1,α2,β2\alpha_1,\alpha_2,\beta_2线性无关
  6. 设x1=[1,2,2,−4]Tx_1=[1,2,2,-4]^T，x2=[1,k,−1,−4]Tx_2=[1,k,-1,-4]^T，x3=[−1,−3,1,k+6]Tx_3=[-1,-3,1,k+6]^T，则( ). A. 对任意常数kk，x1,x2,x3x_1,x_2,x_3线性无关 B. 当k=3k=3时，x1,x2,x3x_1,x_2,x_3线性相关 C. 当k=−2k=-2时，x1,x2,x3x_1,x_2,x_3线性相关 D. k≠3k\neq3且k≠−2k\neq-2是x1,x2,x3x_1,x_2,x_3线性无关的充要条件
  7. 设α1=[1,1,0,−2]T\alpha_1=[1,1,0,-2]^T，α2=[1,k,−2,0]T\alpha_2=[1,k,-2,0]^T，α3=[−1,−3,2,k+4]T\alpha_3=[-1,-3,2,k+4]^T，则( ). A. 对任意常数kk，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关 B. 当k=3k=3时，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关 C. 当k=−4k=-4时，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关 D. k≠3k\neq3且k≠−4k\neq-4是α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关的充要条件
  8. 已知向量组α,β,γ\alpha,\beta,\gamma线性无关，则k≠1k\neq1是向量组α+kβ\alpha+k\beta，β+kγ\beta+k\gamma，α−γ\alpha-\gamma线性无关的( ). A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
  9. 若向量组α1=[1,0,2,a]T\alpha_1=[1,0,2,a]^T，α2=[2,1,a,4]T\alpha_2=[2,1,a,4]^T，α3=[0,a,5,−6]T\alpha_3=[0,a,5,-6]^T线性相关，则a=a=( ) A. -1 B. 3 C. -3 D. 5
  10. nn维向量组α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s线性无关，β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s，其中k1,k2,⋯ ,ksk_1,k_2,\cdots,k_s全不为零，则( ). A. 向量组α1,α2,⋯ ,αs−1,β\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{s-1},\beta线性相关 B. 向量组α1,α2,⋯ ,αs,β\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta线性无关 C. 向量组α2,α3,⋯ ,αs,β\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_s,\beta线性相关 D. 向量组α1,⋯ ,αi−1,β;αi+1,⋯ ,αs\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\beta;\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_s线性无关
  11. 设向量α1=[1,1,2]T\alpha_1=[1,1,2]^T，α2=[2,a,4]T\alpha_2=[2,a,4]^T，α3=[a,3,6]T\alpha_3=[a,3,6]^T，α4=[0,2,2a]T\alpha_4=[0,2,2a]^T，若向量组α1,α2,α3,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4与α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3不等价，则a=a=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
  12. 已知向量组α1=[1,2,−3]T\alpha_1=[1,2,-3]^T，α2=[3,0,−3]T\alpha_2=[3,0,-3]^T，α3=[9,6,−15]T\alpha_3=[9,6,-15]^T与向量组β1=[0,1,−1]T\beta_1=[0,1,-1]^T，β2=[3,a,1]T\beta_2=[3,a,1]^T，β3=[1,1,b]T\beta_3=[1,1,b]^T等价，则a,ba,b的值分别为( ). A. -4,2 B. 4,-2 C. -4,2 D. 4,2
  13. 设α1=[110]\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}，α2=[101]\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}，α3=[−100]\alpha_3=\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}，记β1=α1\beta_1=\alpha_1，β2=α2−k1β1\beta_2=\alpha_2-k_1\beta_1，β3=α3−k2β1−k3β2\beta_3=\alpha_3-k_2\beta_1-k_3\beta_2，若β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3为正交向量组，则k1,k2,k3k_1,k_2,k_3依次为( ). A. −12,12,−13-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{3} B. −12,12,13-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3} C. 12,12,13\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3} D. 12,−12,−13\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}
  14. 设向量组α1=[10−1]\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}，α2=[a11]\alpha_2=\begin{bmatrix}a\\1\\1\end{bmatrix}，α3=[211]\alpha_3=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}不可由向量组β1=[112]\beta_1=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}，β2=[237]\beta_2=\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}，β3=[a0−a]\beta_3=\begin{bmatrix}a\\0\\-a\end{bmatrix}线性表示，则aa的取值范围为
  15. 设R3R^3中的两个基：α1=[111]\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}，α2=[121]\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}，α3=[2−1−1]\alpha_3=\begin{bmatrix}2\\-1\\-1\end{bmatrix}；β1=[12−1]\beta_1=\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}，β2=[22−1]\beta_2=\begin{bmatrix}2\\2\\-1\end{bmatrix}，β3=[2−1−1]\beta_3=\begin{bmatrix}2\\-1\\-1\end{bmatrix}.由α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3到β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3的过渡矩阵为

强化部分​

  1. 设α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s是nn维列向量，AA是m×nm\times n矩阵，记向量组(I)(I)为α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s，向量组(II)(II)为Aα1,Aα2,⋯ ,AαsA\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s，则下列命题正确的是( ). A. 若向量组(I)(I)线性无关，则向量组(II)(II)线性无关 B. 若向量组(II)(II)线性无关，则向量组(I)(I)线性无关 C. 若向量组(II)(II)线性相关，则向量组(I)(I)线性相关 D. 向量组(I)(I)与向量组(II)(II)具有不同的线性相关性
  2. 设A=[a111aa11a]A=\begin{bmatrix}a&1&1\\1&a&a\\1&1&a\end{bmatrix}可经初等列变换化成B=[a111a111a]B=\begin{bmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{bmatrix}，则aa的取值范围为( ). A. {a∣a∈R,a≠−2}\{a|a\in R,a\neq-2\} B. {a∣a∈R,a≠−2,a≠−1}\{a|a\in R,a\neq-2,a\neq-1\} C. {a∣a∈R,a≠1,a≠−1}\{a|a\in R,a\neq1,a\neq-1\} D. {a∣a∈R,a≠−1}\{a|a\in R,a\neq-1\}
  3. 设3维向量组α1=[1,1,0]T\alpha_1=[1,1,0]^T，α2=[5,3,2]T\alpha_2=[5,3,2]^T，α3=[1,3,−1]T\alpha_3=[1,3,-1]^T，α4=[−2,2,−3]T\alpha_4=[-2,2,-3]^T，且AA是3阶矩阵，满足Aα1=α2A\alpha_1=\alpha_2，Aα2=α3A\alpha_2=\alpha_3，Aα3=α4A\alpha_3=\alpha_4，则Aα4=A\alpha_4=
  4. 已知[111121111]=[111211]A\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\\1&1\end{bmatrix}A，则A=A=( ) A. [101010]\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} B. [010101]\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix} C. [110001]\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} D. [101001]\begin{bmatrix}1&0&1\\0&0&1\end{bmatrix}
  5. 设α1=[1−11]\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}，α2=[110]\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}，α3=[201]\alpha_3=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}；β1=[a−11]\beta_1=\begin{bmatrix}a\\-1\\1\end{bmatrix}，β2=[40b]\beta_2=\begin{bmatrix}4\\0\\b\end{bmatrix}，β3=[0c1]\beta_3=\begin{bmatrix}0\\c\\1\end{bmatrix}，问a,b,ca,b,c为何值时，向量组α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3与β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3等价，且当向量组等价时，求β1\beta_1由α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3的线性表示式及α1\alpha_1由β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3的线性表示式.
  6. 设α1=[101]\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}，α2=[112]\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}，α3=[12a]\alpha_3=\begin{bmatrix}1\\2\\a\end{bmatrix}，β1=[−121]\beta_1=\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}，β2=[10b]\beta_2=\begin{bmatrix}1\\0\\b\end{bmatrix}，A=[α1,α2,α3]A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]，B=[β1,β2]B=[\beta_1,\beta_2]. (1)a,ba,b为何值时，β1,β2\beta_1,\beta_2能同时由α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示？若能表示，写出其表示式； (2)a,ba,b为何值时，矩阵方程AX=BAX=B有解？若有解，求出其全部解.
  7. 设3维列向量α1,α2\alpha_1,\alpha_2线性无关，β1,β2\beta_1,\beta_2线性无关. (1) 证明：存在3维非零列向量ξ\xi，ξ\xi既可由α1,α2\alpha_1,\alpha_2线性表示，也可由β1,β2\beta_1,\beta_2线性表示； (2)若α1=[1,−2,3]T\alpha_1=[1,-2,3]^T，α2=[2,1,1]T\alpha_2=[2,1,1]^T，β1=[−2,1,4]T\beta_1=[-2,1,4]^T，β2=[−5,−3,5]T\beta_2=[-5,-3,5]^T，求既可由α1,α2\alpha_1,\alpha_2线性表示，也可由β1,β2\beta_1,\beta_2线性表示的所有非零列向量ξ\xi
  8. 设向量空间VV满足x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0，−∞<xi<+∞,i=1,2,3-\infty<x_i<+\infty,i=1,2,3，则VV的一个基为( ). A. [−101],[−110],[111]\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} B. [10−1],[−1−10]\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\-1\\0\end{bmatrix} C. [10−1],[−1−10],[111]\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\-1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} D. [−101],[−110]\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}
  9. 向量空间V={(x,y,z)∣(x,y,z)∈R3,x−2z=0}V=\{(x,y,z)|(x,y,z)\in R^3,x-2z=0\}的一个基为
  10. 设β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3是3维向量空间R3R^3的一个基，则基β1,2β2,3β3\beta_1,2\beta_2,3\beta_3到基β1−β2,β2+β3,β3−β1\beta_1-\beta_2,\beta_2+\beta_3,\beta_3-\beta_1的过渡矩阵为( ). A. [0−2130−6−840]\begin{bmatrix}0&-2&1\\3&0&-6\\-8&4&0\end{bmatrix} B. [10−1−1212001313]\begin{bmatrix}1&0&-1\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix} C. [12−1314012−13−13014]\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&0&\frac{1}{4}\end{bmatrix} D. [120−13−1312014−1314]\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{2}&0\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\end{bmatrix}
  11. 由向量α1=[1,0,1]T\alpha_1=[1,0,1]^T，α2=[1,2,3]T\alpha_2=[1,2,3]^T，α3=[2,2,4]T\alpha_3=[2,2,4]^T生成的向量空间V=span{α1,α2,α3}={k1α1+k2α2+k3α3∣k1,k2,k3∈R}V=span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3|k_1,k_2,k_3\in R\}，则VV的一个规范正交基为