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第2章 矩阵

基础部分​

  1. 以下矩阵乘积的结果为[1−12213314]\begin{bmatrix}1&-1&2\\2&1&3\\3&1&4\end{bmatrix}的是( ). A. [1002103432][1−1203−100−23]\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&\frac{4}{3}&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&3&-1\\0&0&-\frac{2}{3}\end{bmatrix} B. [1002−103431][1−120−3−100−23]\begin{bmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\3&\frac{4}{3}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&-3&-1\\0&0&-\frac{2}{3}\end{bmatrix} C. [1002103431][10003000−23][1−1201−13001]\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&\frac{4}{3}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&-\frac{2}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&1&-\frac{1}{3}\\0&0&1\end{bmatrix} D. [1002−103431][1−1201−13001]\begin{bmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\3&\frac{4}{3}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&1&-\frac{1}{3}\\0&0&1\end{bmatrix}
  2. 设A=[1101]A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}，B=[−110−1]B=\begin{bmatrix}-1&1\\0&-1\end{bmatrix}，则A9−B9=A^9-B^9=
  3. A=[00−1010100]A=\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}，则A13=A^{13}=_____.
  4. B=[0100001000010000]B=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}，A=E+B+B2+B3A=E+B+B^2+B^3，则A−1=A^{-1}=_____.
  5. 已知A=[1−110]A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}，若(PA)2=PA(PA)^2=PA，PP为可逆矩阵，则P=P=
  6. 设A,BA,B都是3阶矩阵，若∣A∣=−3|A|=-3，∣B∣=4|B|=4，C=[2A∗(AB)∗OB−1]C=\begin{bmatrix}2A^*&(AB)^*\\O&B^{-1}\end{bmatrix}，则∣C∣=−‾|C|=\underline{-}
  7. A,BA,B是nn阶矩阵，A∗,B∗A^*,B^*分别是A,BA,B对应的伴随矩阵，则分块矩阵C=[OABO]C=\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix}的伴随矩阵C∗=C^*=( ) A. [O∣A∣A∗∣B∣B∗O]\begin{bmatrix}O&|A|A^*\\|B|B^*&O\end{bmatrix} B. [O(−1)n∣A∣B∗(−1)n∣B∣A∗O]\begin{bmatrix}O&(-1)^n|A|B^*\\(-1)^n|B|A^*&O\end{bmatrix} C. [O∣B∣A∗∣A∣BO]\begin{bmatrix}O&|B|A^*\\|A|B&O\end{bmatrix} D. [O(−1)n∣B∣B∗(−1)n∣A∣A∗O]\begin{bmatrix}O&(-1)^n|B|B^*\\(-1)^n|A|A^*&O\end{bmatrix}
  8. 设矩阵A=[124015003]A=\begin{bmatrix}1&2&4\\0&1&5\\0&0&3\end{bmatrix}，B=[100310451]B=\begin{bmatrix}1&0&0\\3&1&0\\4&5&1\end{bmatrix}，则∣A−1B∗−A∗B−1∣=|A^{-1}B^*-A^*B^{-1}|=_____.
  9. 设A,BA,B为3阶矩阵，且AB=[010100001]AB=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}，则必有( ). A. 互换矩阵A−1A^{-1}的第1,2行得矩阵BB B. 互换矩阵A−1A^{-1}的第1,2列得矩阵B−1B^{-1} C. 互换矩阵AA的第1,2行得矩阵B−1B^{-1} D. 互换矩阵AA的第1,2列得矩阵B−1B^{-1}
  10. 设AA为3阶矩阵，将AA的第1行加到第2行得到BB，再将BB的第2列的-1倍加到第1列得到CC，记P=[110010001]P=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}，则C=C=( ) A. P−1APP^{-1}AP B. PAP−1PAP^{-1} C. PTAPP^TAP D. PTA(PT)−1P^TA(P^T)^{-1}
  11. 设3阶矩阵AA与BB等价，则下列结论正确的是( ) A. 存在可逆矩阵PP，使得PA=BPA=B B. 存在可逆矩阵QQ使得AQ=BAQ=B C. 若r(A)=2r(A)=2，AA可经初等行变换化为矩阵BB D. 若r(A)=3r(A)=3，AA可经初等列变换化为矩阵BB
  12. 设A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}，B=[a21a22a23a11a12a13a31+a11a32+a12a33+a13]B=\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}+a_{11}&a_{32}+a_{12}&a_{33}+a_{13}\end{bmatrix}，P1=[010100001]P_1=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}，P2=[101010001]P_2=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}，则( ). A. AP19P2T=BAP_1^9P_2^T=B B. AP2TP19=BAP_2^TP_1^9=B C. P19P2TA=BP_1^9P_2^TA=B D. P2TP19A=BP_2^TP_1^9A=B
  13. 将3阶方阵AA的第1行的2倍加到第2行得到矩阵BB，将3阶方阵CC的第3列的-3倍加到第1列得到矩阵DD，BD=[100020003]BD=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}，则AC=AC=( ) A. [100220−903]\begin{bmatrix}1&0&0\\2&2&0\\-9&0&3\end{bmatrix} B. [100−220903]\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&2&0\\9&0&3\end{bmatrix} C. [−300−620003]\begin{bmatrix}-3&0&0\\-6&2&0\\0&0&3\end{bmatrix} D. [100−220−103]\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&2&0\\-1&0&3\end{bmatrix}
  14. 设A,BA,B是3阶矩阵，AA是非零矩阵，且满足AB=OAB=O，B=[1−112a1−a2aa−aa2−2]B=\begin{bmatrix}1&-1&1\\2a&1-a&2a\\a&-a&a^2-2\end{bmatrix}，则( ). A. a=−1a=-1时，必有r(A)=1r(A)=1 B. a=2a=2时，必有r(A)=2r(A)=2 C. a=−1a=-1时，必有r(A)=2r(A)=2 D. a=2a=2时，必有r(A)=1r(A)=1
  15. 设A,B,CA,B,C均是3阶方阵，满足AB=CAB=C，其中B=[122211−2−1a]B=\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&1\\-2&-1&a\end{bmatrix}，C=[000211000]C=\begin{bmatrix}0&0&0\\2&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}，则必有( ). A. a=−1a=-1时，r(A)=1r(A)=1 B. a=−1a=-1时，r(A)=2r(A)=2 C. a≠−1a\neq-1时，r(A)=1r(A)=1 D. a≠−1a\neq-1时，r(A)=2r(A)=2
  16. 设2阶正交矩阵AA的主对角线元素满足a11+2=a22a_{11}+2=a_{22}，则A=A=
  17. 设AA是nn阶矩阵，满足(A−E)5=0(A-E)^5=0，则A−1=A^{-1}=
  18. 设AA是nn阶矩阵，满足A2=AA^2=A，则(A−2E)3−3A=(A-2E)^3-3A=
  19. 设AA是4阶矩阵，满足A2=0A^2=0，则r(A∗)=r(A^*)=_____.

强化部分​

  1. 设D=∣1−31−22−5−2−20−451−39−67∣D=\begin{vmatrix}1&-3&1&-2\\2&-5&-2&-2\\0&-4&5&1\\-3&9&-6&7\end{vmatrix}，M3jM_{3j}表示DD中第3行第jj列元素的余子式(j=1,2,3,4)(j=1,2,3,4)，则M31+3M32−2M33+2M34=M_{31}+3M_{32}-2M_{33}+2M_{34}=( ) A. 0 B. 1 C. -2 D. -3
  2. D3=∣11112534134∣D_3=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&5\\34&1&34\end{vmatrix}，AijA_{ij}表示元素aij(i,j=1,2,3)a_{ij}(i,j=1,2,3)的代数余子式，则5A11+2A12+A13=5A_{11}+2A_{12}+A_{13}=
  3. 已知3阶行列式∣A∣=−9|A|=-9，其第2行元素为1,1,2，第3行元素为2,2,1，则A31+A32−3A33A_{31}+A_{32}-3A_{33}
  4. 已知3阶行列式∣A∣|A|的元素aija_{ij}均为实数，且aija_{ij}不全为0.若aij=−Aij,i,j=1,2,3a_{ij}=-A_{ij},i,j=1,2,3，其中AijA_{ij}是aija_{ij}的代数余子式，则∣A∣=|A|=

矩阵运算​

  1. 设AA是nn阶矩阵，则下列说法错误的是( ). A. 对任意的nn维列向量ξ,\xi,有Aξ=0A\xi=0，则A=0A=0 B. 对任意的nn维列向量ξ,\xi,有ξTAξ=0\xi^TA\xi=0，则A=0A=0 C. 对任意的nn阶矩阵BB，有ATB=OA^TB=O则A=OA=O D. 对任意的nn阶矩阵BB，有BTAB=OB^TAB=O，则A=OA=O
  2. A=[11−1011001]A=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}，则A10=A^{10}=_____.
  3. [10−11]3[12−13][0110]5=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}^3\begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}^5=
  4. 设A,B,CA,B,C均是3阶矩阵，且满足AB=B2−BCAB=B^2-BC，其中B=[111011001]B=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}，C=[011001001]C=\begin{bmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\end{bmatrix}，则A99=A^{99}=
  5. 设AA为n(n≥2)n(n\geq2)阶实对称矩阵，且满足E−2A+A2−2A3=0E-2A+A^2-2A^3=0，其中EE为nn阶单位矩阵，则A=A=
  6. 设AA是nn阶矩阵，E+AE+A是可逆矩阵，则下列等式不成立的是( ). A. (A+E)(A−E)=(A−E)(A+E)(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E) B. (A+E)−1(A−E)=(A−E)(A+E)−1(A+E)^{-1}(A-E)=(A-E)(A+E)^{-1} C. (A+E)∗(A−E)=(A−E)(A+E)∗(A+E)^*(A-E)=(A-E)(A+E)^* D. (A+E)T(A−E)=(A−E)(A+E)T(A+E)^T(A-E)=(A-E)(A+E)^T
  7. 设AA为2阶方阵，α\alpha为2维非零列向量，且α\alpha不是AA的特征向量，P=[α,Aα]P=[\alpha,A\alpha]，A2α+Aα−2α=0A^2\alpha+A\alpha-2\alpha=0，若矩阵BB满足AP=PBAP=PB，则B=B=( ). A. [−1012]\begin{bmatrix}-1&0\\1&2\end{bmatrix} B. [012−1]\begin{bmatrix}0&1\\2&-1\end{bmatrix} C. [−1102]\begin{bmatrix}-1&1\\0&2\end{bmatrix} D. [021−1]\begin{bmatrix}0&2\\1&-1\end{bmatrix}
  8. 设AA为nn阶可逆矩阵，α\alpha为nn维列向量，bb为常数.记分块矩阵P=[E0−αTA∗∣A∣]P=\begin{bmatrix}E&0\\-\alpha^TA^*&|A|\end{bmatrix}，Q=[AααTb]Q=\begin{bmatrix}A&\alpha\\\alpha^T&b\end{bmatrix}，其中A∗A^*是矩阵AA的伴随矩阵，EE为nn阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQPQ；(2) 证明：矩阵QQ可逆的充分必要条件是αTA−1α≠b\alpha^TA^{-1}\alpha\neq b
  9. 求与A=[1101]A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}可交换的全部2阶矩阵.
  10. 设A=[2−2−4−1341−2−3]A=\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}，问是否存在非单位矩阵BB，使得AB=AAB=A？若不存在，请说明理由；若存在，求出所有满足AB=AAB=A的BB

矩阵的秩​

  1. 设AA是3阶非零矩阵，满足A2=AA^2=A，且A≠EA\neq E，则必有( ). A. r(A)=1r(A)=1 B. r(A−E)=2r(A-E)=2 C. [r(A)−1][r(A−E)−2]=0[r(A)-1][r(A-E)-2]=0 D. [r(A)−1][r(A−E)−1]=0[r(A)-1][r(A-E)-1]=0
  2. 若A,A∗,BA,A^*,B都是n(n>2)n(n>2)阶非零矩阵，且A∗A^*是AA的伴随矩阵，AB=OAB=O，则r(B)=r(B)=( ) A. 1 B. n−1n-1 C. nn D. n−1n-1或nn
  3. 设矩阵A=[1−11−2211−1k]A=\begin{bmatrix}1&-1&1\\-2&2&1\\1&-1&k\end{bmatrix}，r((3E−A)2)<r(3E−A)r((3E-A)^2)<r(3E-A)，其中EE是3阶单位矩阵，则常数k=k=( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
  4. 设A,BA,B为nn阶实矩阵，则下列结论不成立的是( ). A. r([AAB])=r(A)r\left(\begin{bmatrix}A&AB\end{bmatrix}\right)=r(A) B. r([ABTABTB])=r(ABT)r\left(\begin{bmatrix}AB^T&AB^TB\end{bmatrix}\right)=r(AB^T) C. r([BABTBA])=r(ABT)r\left(\begin{bmatrix}BA\\B^TBA\end{bmatrix}\right)=r(AB^T) D. r([ATABTA])=r(A)r\left(\begin{bmatrix}A^TA\\B^TA\end{bmatrix}\right)=r(A)
  5. 已知AA为nn阶矩阵，EE为nn阶单位矩阵，记矩阵[OAATE],[OATAATE],[ATEATAATA]\begin{bmatrix}O&A\\A^T&E\end{bmatrix},\begin{bmatrix}O&A^TA\\A^T&E\end{bmatrix},\begin{bmatrix}A^T&E\\A^TA&A^TA\end{bmatrix}的秩分别为r1,r2,r3r_1,r_2,r_3，则( ). A. r1=r2≥r3r_1=r_2\geq r_3 B. r1=r2≤r3r_1=r_2\leq r_3 C. r1=r3≥r2r_1=r_3\geq r_2 D. r1=r3≤r2r_1=r_3\leq r_2
  6. 已知nn阶矩阵A,B,CA,B,C满足ABC=OABC=O，EE为nn阶单位矩阵，记矩阵[OABCE],[ABCOE],[EABABO]\begin{bmatrix}O&A\\BC&E\end{bmatrix},\begin{bmatrix}AB&C\\O&E\end{bmatrix},\begin{bmatrix}E&AB\\AB&O\end{bmatrix}的秩分别为r1,r2,r3r_1,r_2,r_3，则( ). A. r1≤r2≤r3r_1\leq r_2\leq r_3 B. r1≤r3≤r2r_1\leq r_3\leq r_2 C. r3≤r1≤r2r_3\leq r_1\leq r_2 D. r2≤r1≤r3r_2\leq r_1\leq r_3
  7. 设A,B,CA,B,C均为nn阶矩阵，r(AB)≤r(BA)r(AB)\leq r(BA)，记[OABBBC],[BBCABO],[BABACOB]\begin{bmatrix}O&AB\\B&BC\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B&BC\\AB&O\end{bmatrix},\begin{bmatrix}BA&BAC\\O&B\end{bmatrix}的秩分别为r1,r2,r3r_1,r_2,r_3，则( ). A. r2≤r3≤r1r_2\leq r_3\leq r_1 B. r2≤r1≤r3r_2\leq r_1\leq r_3 C. r1≤r2≤r3r_1\leq r_2\leq r_3 D. r3≤r2≤r1r_3\leq r_2\leq r_1
  8. 设AA为nn阶矩阵，r(A)=rr(A)=r，ErE_r为rr阶单位矩阵，则"A2=AA^2=A"是"存在列满秩矩阵Cn×rC_{n\times r}，使得A=CBA=CB，BC=ErBC=E_r"的( ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件