第17章 多元函数积分学的预备知识

基础部分

1. 已知函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，$f(0,0)=0$，$f_{x}'(0,0)=1$，$f_{y}'(0,0)=-1$，且$\boldsymbol{n}=(-1,1,1)$，则$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{(x,y,f(x,y)) \cdot \boldsymbol{n}}{e^{\sqrt{x^2+y^2}}-1}=$
2. 设有直线$L: \begin{cases}x+3 y+2 z+1 = 0 \\ 2 x-y-10 z+3 = 0\end{cases}$及平面$\pi: 4 x-2 y+z-2=0$，则直线$L$（） A. 平行于$\pi$ B. 在$\pi$上 C. 垂直于$\pi$ D. 与$\pi$斜交
3. 曲面$z=4-x^2-y^2$在点$P(1,1,2)$处的切平面方程为
4. 过点$(1,0,1)$与点$(0,1,1)$且与曲面$z=1+x^2+y^2$相切的平面为
5. 已知曲面$z=f(x,y)$由方程$z-x \ln (1+z^2)+e^y=0$所确定，则该曲面在点$(0,0,-1)$处的切平面方程为
6. $z=\ln \left(e^{-y}+\frac{y^2}{x}\right)$在点$(1,1)$处沿$\boldsymbol{l}=(1,0)$的方向导数为
7. 求以$M_0(1,1,1)$为顶点，以曲线$C$（$C$是平面$z=0$上$y^2=x$被$x=1$截下的有限部分）为准线的锥面方程。
8. $f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^2|y|}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$，求$d f(0,0)$
9. 函数$f(x,y)=2x^2+y^2$在点$(0,1)$处的最大方向导数为
10. 设$f(x,y,z)=x^2 e^{y z^2}$，则$f(x,y,z)$在点$(-1,0,1)$处的方向导数的最小值为
11. 设$a,b$为实数，函数$z=2+a x^2+b y^2$在点$(1,2)$处的方向导数中，沿方向$\boldsymbol{l}=\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}$的方向导数最大，最大值为$10$，求$a,b$。
12. 设$g(x,y)$是函数$f(x,y)=x+2y+xy$在点$(x,y)$处的最大方向导数。(1)求$g(x,y)$的表达式；(2)求$g(x,y)$在曲线$C: x^2+y^2=5$上的最大值。
13. 设可微函数$z=z(x,y)$在平面上任一点$(x,y)$处沿$x$轴正向$\boldsymbol{i}$与$y$轴正向$\boldsymbol{j}$的方向导数分别为$e^{-x}f(x)y$与$f(x)$，其中$f(x)$的一阶导数连续，且$f(0)=1$。(1)求$z(x,y)$的表达式；(2)判断$z(x,y)$是否有极值，若有，求之，若无，说明理由。
14. 设$F(x,y,z)=xy\boldsymbol{i}-y\cos z\boldsymbol{j}+z\sin x\boldsymbol{k}$，则$|\mathrm{rot}\boldsymbol{F}|_{(1,1,0)}=$

强化部分

1. 设$f(x,y)=e^{-(x^2+2y^2)}$，曲线$y=y(x)$上任一点$P(x,y)$的切线方向始终指向$f(x,y)$变化率最大的方向，且$y(1)=2$，则$y(x)=$（） A. $2x^2$ B. $x^2+x$ C. $e^{-x^2+1}+x$ D. $2e^{-x^2+1}$
2. 求曲面$4z=3x^2-2xy+3y^2$上的点到平面$x+y-4z=1$的最短距离。
3. 空间曲线$L: \begin{cases}y^2=z \\ x=2(y-1)\end{cases}$在$y=1$处的切线方程为
4. 曲线$\begin{cases}x^2+2y^2+3z^2=6 \\ x+y+z=3\end{cases}$在点$(1,1,1)$处的切线方程为
5. 求抛物面$\Sigma: z=x^2+y^2$上的点到空间图形$\Omega: x^2+y^2 \leq z \leq1$的形心的最短距离。
6. 设函数$z=f(x,y)$在点$(0,0)$附近有定义，且$f_{x}'(0,0)=3$，则曲线$\begin{cases}z=f(x,y) \\ y=0\end{cases}$在点$(0,0,f(0,0))$处的法平面方程为
7. 曲面$e^z-xz+y=3$在点$(1,2,0)$处的切平面方程为
8. 设可微函数$f(u,v)$满足$f(x-y,x+e^y)=x^2-y^2$，则$f(u,v)$在点$(1,2)$处的方向导数的最大值等于（） A. $1$ B. $\sqrt{2}$ C. $\sqrt{3}$ D. $2$
9. $f(x,y,z)=x^2 \int_{1}^{y} e^t d t+2z$在点$(1,1,2)$处的梯度为
10. 已知函数$z=f(x,y)$可微，其在点$P_0(1,2)$处沿从$P_0$到$P_1(2,3)$的方向的方向导数为$2\sqrt{2}$，沿从$P_0$到$P_2(1,0)$的方向的方向导数为$-3$，则$z$在点$P_0$处的最大方向导数为
11. 函数$u(x,y,z)=xy-2z^2$在点$(1,1,-2)$处的最大方向导数为
12. 设可微函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的最小方向导数为$a$，$a \neq0$且$a \neq-1$，$b,c$是满足$b^2+c^2$为正常数的任意实数，则$\mathrm{grad}f(0,0)$与$(b,c)$内积的最大值为（） A. $a\sqrt{b^2+c^2}$ B. $-a\sqrt{b^2+c^2}$ C. $\sqrt{|a|(b^2+c^2)}$ D. $-\sqrt{|a|(b^2+c^2)}$
13. 设$f(x,y)$可微，$P(x,y)$，$P_0(x_0,y_0)$为曲面$z=f(x,y)$上的点，则（） A. $\lim\limits_{P \to P_0} \frac{f(P)+\left[f(P_0)-\mathrm{grad}f|_{P_0} \cdot \overrightarrow{P_0P}\right]}{|\overrightarrow{P_0P}|}=0$ B. $\lim\limits_{P \to P_0} \frac{f(P)-\left[f(P_0)-\mathrm{grad}f|_{P_0} \cdot \overrightarrow{P_0P}\right]}{|\overrightarrow{P_0P}|}=0$ C. $\lim\limits_{P \to P_0} \frac{f(P)+\left[f(P_0)+\mathrm{grad}f|_{P_0} \cdot \overrightarrow{P_0P}\right]}{|\overrightarrow{P_0P}|}=0$ D. $\lim\limits_{P \to P_0} \frac{f(P)-\left[f(P_0)+\mathrm{grad}f|_{P_0} \cdot \overrightarrow{P_0P}\right]}{|\overrightarrow{P_0P}|}=0$
14. 在曲面$\Sigma: x^2+2y^2+z^2=1$上求一点，使函数$f(x,y,z)=2x^2+y^2+z$在该点沿方向$\boldsymbol{n}$的方向导数最大，其中$\boldsymbol{n}$是曲面$\Sigma$在点$P\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$的外侧法向量。
15. 设$F(x,y,z)=|x|\cos y\boldsymbol{i}-y\sin z\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$，则$\mathrm{rot}\boldsymbol{F}(1,1,0)=$