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第16章 无穷级数

基础部分​

  1. 设 pp 为常数，若级数 ∑n=1∞(n+1−n)pn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^p}{n} 与 ∑n=1∞[1np−1(n+1)p]\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{1}{n^p}-\frac{1}{(n+1)^p}] 同敛散，则 pp 的范围为（） A. −2<p≤−1-2<p \leq-1 B. −1≤p<0-1 \leq p<0 C. −1<p≤0-1<p \leq 0 D. p>0p>0
  2. 判断级数 ∑n=1∞(ln⁡1n−ln⁡sin⁡1n)\sum_{n=1}^{\infty}(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}) 的敛散性
  3. 设 λ>0\lambda>0 是常数，则 ∑n=1∞(−1)nsin⁡λ+2n2n3\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sin \frac{\lambda+2 n^2}{n^3}（） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 敛散性与 λ\lambda 有关
  4. 以下结论正确的是（） A. 若 ∑n=0∞an2\sum_{n=0}^{\infty} a_n^2 收敛，则 ∑n=0∞an3\sum_{n=0}^{\infty} a_n^3 收敛 B. 若 ∑n=0∞an2\sum_{n=0}^{\infty} a_n^2 发散，则 ∑n=0∞an3\sum_{n=0}^{\infty} a_n^3 发散 C. 若 ∑n=0∞an3\sum_{n=0}^{\infty} a_n^3 收敛，则 ∑n=0∞an4\sum_{n=0}^{\infty} a_n^4 收敛 D. 若 ∑n=0∞an3\sum_{n=0}^{\infty} a_n^3 发散，则 ∑n=0∞an4\sum_{n=0}^{\infty} a_n^4 发散
  5. 设 un=arctan⁡(n+k)−arctan⁡nu_n=\sqrt{\arctan (n+k)-\arctan n}，kk 为正常数，则 ∑n=1∞(−1)nun\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n（） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性与 kk 有关
  6. 设 ∑n=1∞(un+1−un)\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n+1}-u_n) 收敛，则下列级数必收敛的是（） A. ∑n=1∞unn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n} B. ∑n=1∞(−1)n1un\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{u_n} C. ∑n=1∞(1−unun+1)\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}) D. ∑n=1∞(un+12−un2)\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n+1}^2-u_n^2)
  7. 设函数 y=y(x)y=y(x) 满足 (1−x)y′+2y=0(1-x) y'+2 y=0，y(0)=1y(0)=1，an(x)=∫0xy(t)sin⁡ntdt,n=1,2,⋯a_n(x)=\int_0^x y(t) \sin ^n t \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots (1)求 y(x)y(x) 的表达式 (2) 证明 ∑n=1∞an(1)\sum_{n=1}^{\infty} a_n(1) 收敛
  8. 设 an(x)a_n(x) 满足 an′(x)−n(1+x)ln⁡(1+x)an(x)+ln⁡n(1+x)=0a_n'(x)-\frac{n}{(1+x) \ln (1+x)} a_n(x)+\ln ^n(1+x)=0，x>0x > 0，n=1,2,⋯n=1,2, \cdots，an(1)=0a_n(1)=0 (1)求 an(x)a_n(x) 的表达式 (2) 判别 ∑n=1∞∫01an(x)dx\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 a_n(x) \mathrm{d} x 的敛散性
  9. 设幂级数 ∑n=1∞nan(x+1)n\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x+1)^n 在 x=1x=1 处收敛，则 ∑n=1∞an(x−1)2n\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^{2 n} 的收敛域为
  10. 级数 ∑n=1∞n!nne−nx\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n} e^{-n x} 的收敛域为
  11. 幂级数 ∑n=1∞(−1)n−1⋅xn2n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{\frac{n}{2}}}{n} 的和函数 S(x)=S(x)=
  12. ∑n=1∞1(n+1)2n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) 2^n}=
  13. ∑n=2∞1(n2−1)2n=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^2-1\right) 2^n}=
  14. 求幂级数 ∑n=0∞(−2)n+22n(2n+1)x2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n+2}{2^n(2 n+1)} x^{2 n} 的和函数 S(x)S(x)
  15. (1) 求微分方程 y′(x)+y(x)=(−x)n−13nexy'(x)+y(x)=\frac{(-x)^{n-1}}{3^n e^x} 的通解，其中 nn 为任意正整数 (2)记 an(x)(n=1,2,⋯ )a_n(x)(n=1,2, \cdots) 是(1) 中满足条件 y(0)=0y(0)=0 的特解，求级数 ∑n=1∞an(x)\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)
  16. 设函数 f(x)=x2−x−1x2(x+1)f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)} 的幂级数展开式为 ∑n=0∞an(x−1)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n，x∈(0,2)x \in(0,2)，则 lim⁡n→∞(−1)nann2+1=\lim _{n \to \infty} \frac{(-1)^n a_n}{\sqrt{n^2+1}}=
  17. 设 f(x)f(x) 是以 22 为周期的周期函数，且 f(x)=1−x,x∈[0,1]f(x)=1-x, x \in[0,1]，S(x)=∑n=1∞bnsin⁡nπxS(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x，其中 bn=2∫01f(x)sin⁡nπxdxb_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{d} x，则 S(−52)=S(-\frac{5}{2})=（） A. 18\frac{1}{8} B. 14\frac{1}{4} C. −18-\frac{1}{8} D. −14-\frac{1}{4}
  18. 设 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，若 f(x)=a02+∑n=1∞ancos⁡nx,x∈[0,π]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x, x \in[0, \pi]，则 lim⁡n→∞n2ln⁡(1+a2n)=\lim _{n \to \infty} n^2 \ln (1+a_{2 n})=
  19. 已知 f(x)=∣x∣f(x)=|x|，−π≤x≤π-\pi \leq x \leq \pi (1)将 f(x)f(x) 展开成余弦级数 (2) 求 ∑n=1∞1(2n−1)2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^2}

强化部分​

  1. 设级数① ∑n=1∞1n1+1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}，② ∑n=2∞1n1+1ln⁡n\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{\sqrt{\ln n}}}}，则（） A. ①收敛，②发散 B. ①发散，②收敛 C. ①②均收敛 D. ①②均发散
  2. 若级数 ∑n=1∞∣unvn∣\sum_{n=1}^{\infty}|u_n v_n| 收敛，则（） A. ∑n=1∞n∣un∣\sum_{n=1}^{\infty} n|u_n| 与 ∑n=1∞∣vn∣n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|v_n|}{n} 都收敛 B. ∑n=1∞n∣un∣\sum_{n=1}^{\infty} n|u_n| 与 ∑n=1∞∣vn∣n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|v_n|}{n} 至少一个收敛 C. ∑n=1∞n∣un∣\sum_{n=1}^{\infty} n|u_n| 与 ∑n=1∞vnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n} 都收敛 D. ∑n=1∞n∣un∣\sum_{n=1}^{\infty} n|u_n| 与 ∑n=1∞vnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n} 至少一个收敛
  3. 设数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 满足 0≤an+1≤an+bn,n∈N+0 \leq a_{n+1} \leq a_n+b_n, n \in N_+，则“ {an}\{a_n\} 收敛”是“ ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
  4. 设常数项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 条件收敛，则（） A. 当 ∣r∣≥1|r| \geq 1 时，∑n=1∞anrn\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n 发散 B. 当 ∣r∣≤1|r| \leq 1 时，∑n=1∞a2nr2n\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n} 收敛 C. 当 ∣r∣≥1|r| \geq 1 时，∑n=1∞a2n−1r2n−1\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1} r^{2 n-1} 发散 D. 当 ∣r∣≤1|r| \leq 1 时，∑n=1∞a2nr2n\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n} 发散
  5. 设 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_n 条件收敛，αn=12(un+∣un∣)\alpha_n=\frac{1}{2}(u_n+|u_n|)，bn=12(un−∣un∣)b_n=\frac{1}{2}(u_n-|u_n|)，则关于级数 ∑n=1∞αn\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n 与 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 的结论： (1) 都发散；(2) ∑n=1∞(αn−bn)\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_n-b_n) 发散；(3) lim⁡n→∞∑k=1nαk∑k=1nbk=−1\lim _{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n \alpha_k}{\sum_{k=1}^n b_k}=-1，正确结论的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
  6. 若级数 ∑n=1∞(−1)n+1n+1−nnp\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^p} 条件收敛，则 pp 的取值范围是（） A. (−1,12]\left(-1, \frac{1}{2}\right] B. (−1,1)(-1,1) C. (0,1)(0,1) D. (−12,12]\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
  7. 设数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 满足 ean−e−an=an(ebn+e−bn)e^{a_n}-e^{-a_n}=a_n(e^{b_n}+e^{-b_n})，0<an<10<a_n<1，0<bn<10<b_n<1，n=1,2,⋯n=1,2, \cdots，且 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛，证明： (1) an>bna_n>b_n，n=1,2,⋯n=1,2, \cdots (2) ∑n=1∞(bn−an)\sum_{n=1}^{\infty}(b_n-a_n) 收敛
  8. 已知 ln⁡∣x+2x−1∣−1(1+x)2+1=∑n=0∞anxn(−1<x<1)\ln |\frac{x+2}{x-1}|-\frac{1}{(1+x)^2}+1=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n(-1<x<1)，求 ana_n
  9. 设 nn 为正整数，y=yn(x)y=y_n(x) 是微分方程 xy′−ny=0x y'-n y=0 满足条件 yn(1)=(n+1)(n+3)y_n(1)=(n+1)(n+3) 的解 (1) 求 yn(x)y_n(x) (2) 求级数 ∑n=1∞yn(x)\sum_{n=1}^{\infty} y_n(x)
  10. 设数列 {xn}\{x_n\} 满足 xn+1=a+xn1+xnx_{n+1}=\frac{a+x_n}{1+x_n}，0<a<10<a<1，x1≥0x_1 \geq 0 (1) 证明 ∑n=1∞(xn+1−xn)\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_n) 绝对收敛 (2) 求 lim⁡n→∞∑i=1n(xi+1−xi)\lim _{n \to \infty} \sum_{i=1}^n(x_{i+1}-x_i)
  11. 已知函数 f(x)f(x) 满足 f′′(x)+f′(x)=0f''(x)+f'(x)=0 及 f′′(x)+2f′(x)+f(x)=−1f''(x)+2 f'(x)+f(x)=-1，且 f(0)=0f(0)=0 (1)求 f(x)f(x) 的表达式 (2)设 a>0a>0，判别级数 ∑n=2∞f(n−aln⁡n)\sum_{n=2}^{\infty} f(n^{-a} \ln n) 的敛散性
  12. 若数项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，则幂级数 ∑n=1∞nan(x+2)n\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x+2)^n 在 x=−2x=-\sqrt{2} 处（） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定
  13. 若级数 ∑n=1∞an2n\sum_{n=1}^{\infty} a_n 2^n 发散，∑n=1∞an(−3)n\sum_{n=1}^{\infty} a_n(-3)^n 收敛，则幂级数 ∑n=1∞nan(x+1)n\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x+1)^n 的收敛域为（） A. (−3,1](-3,1] B. [−1,3)[-1,3) C. [−2,2][-2,2] D. [−4,2)[-4,2)
  14. 设 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 与 ∑n=0∞bnxn\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n 的收敛半径均为 r(0<r<+∞)r(0<r<+\infty)，则下列幂级数中收敛半径必为 rr 的是（） A. ∑n=0∞(an+bn)xn\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n) x^n B. ∑n=0∞(an+nbn)xn\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+n b_n) x^n C. ∑n=0∞(an+bn2n)xn\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+\frac{b_n}{2^n}) x^n D. ∑n=0∞(an+bnn+1)xn\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+\frac{b_n}{n+1}) x^n
  15. 设 ana_n 表示由曲线 y=xny=x^n 与 y=xn+1y=x^{n+1} 所围成的平面图形的面积，n=1,2,⋯n=1,2, \cdots (1) 求幂级数 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n 的和函数 S(x)S(x) (2) 求数项级数 ∑n=1∞(−1)nn(n+1)2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1) 2^n}
  16. 设 an=∫01xn1−x2dxa_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \mathrm{d} x，bn=∫0π2sin⁡ntdtb_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n t \mathrm{d} t，n=0,1,2,⋯n=0,1,2, \cdots，计算 ∑n=0∞bn(2n+1)anx2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{(2 n+1) a_n} x^{2 n}
  17. 设 an=∫0+∞xne−xdx,n=0,1,2,⋯a_n=\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \mathrm{d} x, n=0,1,2, \cdots (1)求 ana_n 的表达式 (2) 计算 ∑n=1∞n2an\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{a_n}
  18. 设 an=∫01x2ln⁡nxdx,n=0,1,2,⋯a_n=\int_0^1 x^2 \ln ^n x \mathrm{d} x, n=0,1,2, \cdots (1)求 ana_n 的表达式 (2) 计算 ∑n=0∞ann!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n !}
  19. 设函数 y=f(x)y=f(x) 满足 y′′+2y′+5y=0y''+2 y'+5 y=0，且 f(0)=1f(0)=1，f′(0)=−1f'(0)=-1 (1)求 f(x)f(x) 的表达式 (2)设 an=∫nπ+∞f(x)dxa_n=\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x，求 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n
  20. 设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1,(n+1)an+1=(n+12)ana_1=1,(n+1) a_{n+1}=(n+\frac{1}{2}) a_n，证明：当 ∣x∣<1|x|<1 时，幂级数 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n 收敛，并求其和函数
  21. 设级数 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n 的和函数为 S(x)=∑n=1∞anxnS(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n，数列 {an}\{a_n\} 满足 an=an−1n+1−1na_n=\frac{a_{n-1}}{n}+1-\frac{1}{n}，n=2,3,⋯n=2,3, \cdots，a1=2a_1=2，则 S(x)=S(x)=（） A. ex−e−x1+x\frac{e^x-e^{-x}}{1+x} B. ex−e−x1−x\frac{e^x-e^{-x}}{1-x} C. ex−11+x\frac{e^x-1}{1+x} D. ex−11−x\frac{e^x-1}{1-x}
  22. 当 ∣x∣<1|x|<1 时，∑n=1∞(1+12!+13!+⋯+1n!)xn=\sum_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}) x^n=（） A. ex−e−x1+x\frac{e^x-e^{-x}}{1+x} B. ex−e−x1−x\frac{e^x-e^{-x}}{1-x} C. ex−11+x\frac{e^x-1}{1+x} D. ex−11−x\frac{e^x-1}{1-x}
  23. 将 g(x)=ddx(ex−1x)g(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\frac{e^x-1}{x}) 展开为 xx 的幂级数，并求 ∑n=1∞n(n+1)!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1) !}
  24. 设数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 满足 ∫antan⁡anex2dx=ln⁡(1+bn)bn\int_{a_n}^{\tan a_n} e^{x^2} \mathrm{d} x=\ln (1+b_n)^{b_n}，an>0a_n>0，bn>0b_n>0，n=1,2,⋯n=1,2, \cdots，且 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛，证明： (1) lim⁡n→∞bn=0\lim _{n \to \infty} b_n=0 (2) 级数 ∑n=1∞bn2an2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n^2}{a_n^2} 收敛
  25. 求级数 ∑n=1∞(−1)nn22n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n^2}{2^n}
  26. 设曲线 y=x1ny=x^{\frac{1}{n}} 与其在点 (1,1)(1,1) 处的切线和 yy 轴所围成的平面图形的面积为 ana_n，其中 n=2,3,⋯n=2,3, \cdots (1)求 ana_n 的表达式 (2) 求幂级数 ∑n=2∞anxn\sum_{n=2}^{\infty} a_n x^n 的和函数 S(x)S(x)
  27. 已知函数 y=f(x)=xln⁡x+∑n=0∞xn+2(n+1)⋅(n+1)!y=f(x)=x \ln x+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+1) \cdot(n+1) !}，求 f(x)f(x) 的定义域，证明 y=f(x)y=f(x) 满足微分方程 xy′−y=xexx y'-y=x e^x，且 lim⁡x→0+f(x)=0\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=0
  28. 将函数 f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2} 展开成 x+1x+1 的幂级数，求该幂级数的收敛域，并求 ∑n=1∞n2(x+1)n\sum_{n=1}^{\infty} n^2(x+1)^n
  29. 求幂级数 ∑n=1∞(−1)nx2n+12n+1\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} 的收敛域与和函数
  30. 求数项级数 ∑n=1∞(−1)nn(n+1)2n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n(n+1)}{2^n}
  31. 设 an=∫0+∞e−n2x2dx,n=1,2,⋯a_n=\int_0^{+\infty} e^{-n^2 x^2} \mathrm{d} x, n=1,2, \cdots，求 ∑n=1∞(−1)nanan+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n a_{n+2}
  32. 求级数 ∑n=1∞2n−1n!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{n !}
  33. ∑n=1∞1(n+2)⋅n!=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2) \cdot n !}=
  34. ∑n=0∞x22−nx(x>0)\sum_{n=0}^{\infty} x^2 2^{-n x}(x>0) 的和函数 S(x)=S(x)=
  35. 求级数 ∑n=1∞(−1)nn(2n−1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(2 n-1)}
  36. 求级数 ∑n=1∞[2+(−1)n]nn⋅6n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[2+(-1)^n]^n}{n \cdot 6^n}
  37. 设 f(x)f(x) 是以 2π2 \pi 为周期的连续函数，且满足 f(x+π)=−f(x)f(x+\pi)=-f(x)，则 f(x)f(x) 的傅里叶系数 a2n=a_{2 n}=（） A. −π4-\frac{\pi}{4} B. π4\frac{\pi}{4} C. −π2-\frac{\pi}{2} D. π2\frac{\pi}{2}
  38. 设 f(x)f(x) 是周期为2的周期函数，且 f(x)=1−x,x∈[0,1]f(x)=1-x, x \in[0,1]，若 f(x)=a02+∑n=1∞ancos⁡nπxf(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x，则 ∑n=1∞a2n=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}= _____
  39. 设 f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 上连续且满足 f(x+π)=−f(x)f(x+\pi)=-f(x)，则 f(x)f(x) 的傅里叶系数 a2n=a_{2 n}=，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots
  40. 设 f(x)=1−x2(0≤x≤π)f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)，S(x)=a02+∑n=1∞ancos⁡nx,x∈RS(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x, x \in R，其中 an=2π∫0πf(x)cos⁡nxdxa_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos n x \mathrm{d} x，计算 S(−π)+∑n=1∞(−1)n+1n2S(-\pi)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}