第15章 微分方程

基础部分

1. $x \mathrm{d} y+y \mathrm{d} x=\sin x \mathrm{d} x$ 满足 $y(\pi)=0$ 的特解为
2. 已知曲线上任一点的切线在 $y$ 轴上的截距与法线在 $x$ 轴上的截距之比为3:1，则该曲线方程为__
3. 设 $y_1, y_2$ 是一阶非齐次线性微分方程 $y'+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则（） A. $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ B. $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ C. $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$ D. $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
4. 求微分方程 $(2 x-3 x y^2-y^3) y'+y^3=0$ 的通解
5. 过原点的曲线 $y=y(x)$ 满足 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x+y)^2$，则 $\lim _{x \to 0^{+}}[y(x)]^x=$
6. 微分方程 $y'=(x+1) \sec y-\tan y$ 的通解为
7. 设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y'+\frac{1}{x^2} y=2 e^{\frac{1}{x}}$ 满足 $y(\frac{1}{2})=0$ 的解 (1)求 $y=y(x)$ 的表达式 (2) 求曲线 $y(x)$ 的斜渐近线
8. 以 $yOz$ 面上的平面曲线段 $y=f(z)(z \geq 0)$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成旋转曲面与 $xOy$ 面围成一个无上盖容器，现以 $3 \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s}$ 的速率把水注入容器内，水面的面积以 $\pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$ 的速率增大。已知容器底面积为 $16 \pi \mathrm{cm}^2$，求曲线 $y=f(z)$ 的方程
9. 设 $f(x)$ 有连续导数，$x \in[0,+\infty)$ 且满足方程 $\int_0^{x-1} f(t) \mathrm{d} t - \int_0^x f(t) \mathrm{d} t = x$，求函数 $f(x)$
10. 设 $\varphi(x)$ 为连续函数，$|\varphi(x)| \leq k$（$k$ 为常数），求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=\varphi(x)$ 满足初始条件 $y(0)=0$ 的特解 $y(x)$，并证明当 $x \geq 0$ 时，有 $|y(x)| \leq k(1-e^{-x})$
11. 设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $2 x y'-4 y=2 \ln x-1$ 满足条件 $y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y=y(x)$ 在 $[1,e]$ 上与 $x$ 轴所围平面图形的面积，在区间 $[0,1]$ 上的平均值
12. 设曲线 $y=y(x)(x>0)$ 经过点 $(1,0)$，该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，求 $y(x)$
13. 设曲线 $y=y(x)$ 上点 $P(0,4)$ 处的切线垂直于直线 $x-2 y+5=0$，且该曲线满足微分方程 $y''+2 y'+y=0$ 则此曲线方程为（） A. $y=\frac{9}{2} x e^{-x}$ B. $y=\left(4+\frac{9}{2} x\right) e^{-x}$ C. $y=\left(C_1 x+C_2\right) e^{-x}$ D. $y=2(x+2) e^{-x}$
14. 设曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点处的切线与直线 $2 x+y+6=0$ 平行，而 $y(x)$ 满足微分方程 $y''-2 y'+5 y=0$，则此曲线的方程为（） A. $y=e^x \sin 2 x$ B. $y=-e^x \sin 2 x$ C. $y=e^x(\cos 2 x-\sin 2 x)$ D. $y=e^x(\sin 2 x-\cos 2 x)$
15. 设 $y=y(x)$ 满足 $y''-2 y'+y=0$，且 $y(0)=0$，$y'(0)=1$，则 $\int_{-\infty}^0 y(x) \mathrm{d} x=$
16. 已知某常系数齐次线性微分方程的通解为 $y = C_1 + e^x(C_2\cos2x+C_3\sin2x)$，则该微分方程为
17. 微分方程 $4 y''-12 y'+9 y=e^{\frac{3}{2} x}(3 x^2+2)$ 的特解形式为（） A. $A x^2+B x+C+D e^{\frac{3}{2} x}$ B. $\left(A x^2+B x+C\right) e^{\frac{3}{2} x}$ C. $x\left(A x^2+B x+C\right) e^{\frac{3}{2} x}$ D. $x^2\left(A x^2+B x+C\right) e^{\frac{3}{2} x}$
18. 已知 $y_1=x e^x+e^{2 x}$，$y_2=x e^x+e^{-x}$，$y_3=x e^x+e^{2 x}-e^{-x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则此微分方程为
19. 求微分方程 $y''-2 y'+y=2(3 x^2-2) e^x$ 的通解
20. 求微分方程 $y''+4 y'+5 y=8 \cos x$，当 $x \to -\infty$ 时为有界的特解
21. 欧拉方程 $x^2 y''+3 x y'+3 y=0$ 满足条件 $y(1)=0$，$y'(1)=\sqrt{2}$ 的解为 $y=$ _____

强化部分

1. 微分方程 $x+y y'=y-x y'$ 的通解为
2. 每一个解 $y=y(x)$ 都满足 $\lim _{x \to +\infty} y(x)=0$ 的微分方程是（） A. $y'+\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}=0$ B. $y'-\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}=0$ C. $y'+\frac{y}{\sqrt[4]{1+x^3}}=0$ D. $y'-\frac{y}{\sqrt[4]{1+x^3}}=0$
3. 设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足 $f_u'(u, v)+f_v'(u, v)=u v$，则函数 $y=e^{-2 x} f(x, x)$ 满足条件 $y|_{x=0}=1$ 的表达式为
4. 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且有水平渐近线 $y=b \neq 0$，则（） A. 当 $a>0$ 时，$y'+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\lim _{x \to +\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ B. 当 $a>0$ 时，$y'+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\lim _{x \to +\infty} y(x)=\frac{a}{b}$ C. 当 $a<0$ 时，$y'+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\lim _{x \to +\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ D. 当 $a<0$ 时，$y'+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\lim _{x \to +\infty} y(x)=\frac{a}{b}$
5. 若二阶常系数齐次微分方程 $y''+a y'+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上均有周期性，则（） A. $a<0, b<0$ B. $a>0, b>0$ C. $a=0, b<0$ D. $a=0, b>0$
6. 如果对于微分方程 $y''-(2 k-4) y'+k y=0$ 的任一解 $y(x)$，反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $k$ 的取值范围为（） A. $(-\infty, 1]$ B. $(0,1]$ C. $(-\infty,2)$ D. $(0,2)$
7. 以 $y=x$ 与 $y=x e^{-2 x}$ 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程为（） A. $y'''+2 y''=0$ B. $y'''+4 y''+4 y'-4 y=0$ C. $y^{(4)}+2 y'''=0$ D. $y^{(4)}+4 y'''+4 y''=0$
8. 已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{x y}{1+x^2} \Delta x+o(\Delta x)$，且 $y(0)=1$，则 $y'(1)=$（） A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B. 2 C. $\sqrt{2}$ D. $2 \sqrt{2}$
9. 微分方程 $(x+y) \mathrm{d} y+(y+1) \mathrm{d} x=0$ 满足 $y|_{x=1}=2$ 的特解是
10. 以 $y_1=x^2$ 和 $y_2=x^2-e^{2 x}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
11. 设当 $x \geq 0$ 时，$f(x)$ 有连续的一阶导数，并且满足 $f(x)=-1+x+2 \int_0^x(x-t) f(t) f'(t) \mathrm{d} t$，则 $f(x)=$
12. 设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的连续函数，且对任意 $x>0$ 满足 $x \int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=-2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t+x f(x)+x^4$，$f(1)=0$，求函数 $f(x)$
13. 设函数 $y=f(x)$ 满足 $f'(x)+2 f(x)+2 x \int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t+e^{-x}=0$，且 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的表达式
14. 已知函数 $y=y(x)$ 满足 $y'+2 \sqrt{2} x \sqrt{y}=0$，且其曲线的拐点的横坐标为-2，则 $y(x)=$
15. 若函数 $f(x)$ 满足关系式 $f'(x)+a f(x)=\int_x^0 f(t) \mathrm{d} t, a>0$，求 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$
16. 已知函数 $y=y(x)$ 满足 $x(\ln x-1) y'(x)+(3-\ln x^2) y(x)=0, x>e$，且 $y(e^2)=\frac{e^4}{2}$，求 $y=y(x)$ 的最小值
17. 设 $y=y(x)$ 满足 $y'+2(\ln x+1) y=0$，$y(1)=1$，则 $y(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为
18. 若微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+(a+\sin ^2 x) y=0$ 的所有解都以 $\pi$ 为周期，则 $a=$
19. 当 $x>0$ 时，函数 $f(x)$ 满足关系式 $x^2 f'(x)+(-1+\ln x) f(x)=0$，且 $f(1)=1$，则 $f(x)$ 的最大值为（） A. $e^{-e}$ B. $e^e$ C. $e^{-\frac{1}{e}}$ D. $e^{\frac{1}{e}}$
20. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $f(x)-\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=-\frac{1}{2}+\sin x$ (1)求 $f(x)$ 的表达式 (2) 求曲线 $y=f(x)$ 与 $y=0$ 在 $[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}]$ 上围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积
21. 微分方程 $\mathrm{d} y=\cos (y-x) \mathrm{d} x$ 满足 $y(0)=\frac{\pi}{2}$ 的解为
22. 设 $y \geqslant-2$，则微分方程 $x'-\sqrt{x+y^2}=-2 y$ 满足 $x(0)=1$ 的特解为
23. 微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{1}{x}=e^{-y}$ 的通解为
24. 设曲线 $y=y(x)$ 过原点且在原点处与曲线 $y=\sin x$ 有公共切线，且函数 $y(x)$ 满足方程 $y''+4 y'+4 y=0$ 则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$
25. 设下列 $A, B, C$ 为任意常数，则微分方程 $y''+4 y=\sin ^2 x$ 有特解形如（） A. $A \sin ^2 x$ B. $A \cos ^2 x$ C. $x(A+B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ D. $A+x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
26. 微分方程 $y''-3 y'+2 y=x e^x$ 的通解为
27. 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 $\cos x$ 与 $e^{2 x}$，则该微分方程为（） A. $y'''+2 y''+y'+2 y=0$ B. $y'''-2 y''+y'-2 y=0$ C. $y'''+2 y''-y'+2 y=0$ D. $y'''-2 y''-y'+2 y=0$
28. 设函数 $y(x)$ 满足微分方程 $y^{(4)}-y''=0$，且当 $x \to 0$ 时 $y(x) \sim x^3$ 求 $y(x)$
29. 设 $y=y_1(x)$ 是 $y''+P(x) y'+Q(x) y=0$ 的一个非零特解 (1)证明 $y_2(x)=y_1(x) \int \frac{1}{y_1^2(x)} e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x$ 是与 $y_1(x)$ 线性无关的另一个特解 (2)求 $y''-\frac{1}{x} y'+\frac{1}{x^2} y=0$ 的通解，其中 $y=x$ 是方程的一个解
30. 将以 $y=y(x)$ 为未知函数的微分方程 $y''+(x+e^y+\sin y)(y')^3=0$ 化为以 $x=x(y)$ 为未知函数的形式，并求其通解
31. 设 $y=y(x)$ 满足关系式 $e^{2 x}(y''+y')+y=e^{-x}$ 且 $x=-\ln t,t > 0$，$y(\ln \frac{2}{\pi})=\frac{\pi}{2}$，则 $y(x)=$
32. 设函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)=f(2 x)(x>0)$ (1)证明 $x^2 f''(x)+2 f(x)=0(x>0)$ (2) 令 $x=e^t$，化(1) 中方程为常系数线性微分方程，并求 $f(x)$
33. 设 $u(x, y)=f(x)+g(y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $[1+(\frac{\partial u}{\partial y})^2] \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2 \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+[1+(\frac{\partial u}{\partial x})^2] \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ 又已知 $f''(x) \neq 0$ 求 $u=u(x, y)$ 的表达式
34. 设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，对任意的 $s>0$，$t>0$，均有 $\int_1^{\pi} f(x) \mathrm{d} x+\ln t^s+\ln s^t=\int_1^t[s f(x)+\frac{1}{x}] \mathrm{d} x+\int_1^s[t f(x)+\frac{1}{x}] \mathrm{d} x$ 成立，且 $f(1)=2$，求 $f(x)$ 的表达式
35. 设函数 $y(x)$ 具有二阶导数，曲线 $l: y=y(x)$ 与直线 $y=x$ 相切于原点，且曲线 $l$ 在点 $(x, y)$ 处切线的倾角 $\theta$ 关于 $x$ 的变化率与曲线 $l$ 在该点的切线斜率相等，求 $y(x)$
36. 设平面曲线 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=1$，$y'(0)=0$，且对曲线上任意点 $P(x, y)(x>0)$，沿曲线从点 $(0,1)$ 到点 $P(x, y)$ 的弧长等于该曲线在点 $P(x, y)$ 的切线斜率 (1)求 $y(x)(x>0)$ (2)求 $y(x)$ 与 $x=\ln 2$ 及坐标轴所围平面区域 $D$ 的形心
37. 设曲线 $L: r=r(\theta)$，$P(r, \theta)$ 为 $L$ 上任意一点，$P_0(2,0)$ 为 $L$ 上的一定点，且曲线 $L$ 与极径 $O P_0$，$O P$ 所围成的曲边扇形面积值等于曲线 $L$ 上 $P_0$，$P$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的方程
38. 微分方程 $2 y''=3 y^2$ 满足初始条件 $y(-2)=1$，$y'(-2)=1$ 的特解为
39. 微分方程 $y'=\frac{1}{x y(1+x y^2)}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
40. 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，$f(0)=0$，$f'(0)=1$，且微分方程 $[x y(x+y)-f(x) y] \mathrm{d} x+[f'(x)+x^2 y] \mathrm{d} y=0$ 为全微分方程 (1)求 $f(x)$ (2) 求该全微分方程的通解