第14章 二重积分

基础部分

1. 设$D$为由$x=0,y=0,x+y=\frac{1}{2},x+y=1$所围成的区域，$I_1=\iint\limits_{D}\ln^7(x+y)d\sigma,I_2=\iint\limits_{D}(x+y)^7d\sigma,I_3=\iint\limits_{D}\sin^7(x+y)d\sigma$，则（） A. $I_1<I_2<I_3$ B. $I_1<I_3<I_2$ C. $I_3<I_2<I_1$ D. $I_3<I_1<I_2$
2. 设$I_i=\iint\limits_{D_i}e^{-(x^2+y^2)}d\sigma(i=1,2,3)$，其中$D_1=\{(x,y)|x^2+y^2\leq R^2\}$，$D_2=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 2R^2\}$，$D_3=\{(x,y)||x|\leq R,|y|\leq R\}$，$R>0$，则（） A. $I_1<I_2<I_3$ B. $I_2<I_3<I_1$ C. $I_1<I_3<I_2$ D. $I_3<I_2<I_1$
3. $\lim\limits_{r\to0}\frac{1}{\pi r^2}\iint\limits_{x^2+y^2\leq r^2}e^{x^2-y^2}\cos(x+y)dxdy=$（） A. 0 B. 1 C. $\pi r^2$ D. $\frac{1}{\pi^2}$
4. 设$D$是由曲线$y=x^2-1$和$y=\sqrt{1-x^2}$围成的平面区域，则$\iint\limits_{D}(axy+by^2)dxdy$（） A. 等于0 B. 符号与$a$有关，与$b$无关 C. 符号与$a,b$都有关 D. 符号与$a,b$都无关
5. $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{x}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy=$
6. $\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y^2}\frac{xe^x}{1-\sqrt{x}}dx=$
7. $I=\int_{1}^{e}dy\int_{0}^{\ln y}f(x,y)dx$（其中$f(x,y)$连续）交换积分次序得（） A. $I=\int_{0}^{\ln y}dx\int_{1}^{e}f(x,y)dy$ B. $I=\int_{0}^{1}dx\int_{e^x}^{e}f(x,y)dy$ C. $I=\int_{1}^{e}dx\int_{0}^{\ln y}f(x,y)dy$ D. $I=\int_{e^x}^{e}dx\int_{0}^{1}f(x,y)dy$
8. 设$f(x,y)$是连续函数，则$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}}dx\int_{\sin x}^{1}f(x,y)dy=$（） A. $\int_{\frac{1}{2}}^{1}dy\int_{\frac{\pi}{2}}^{\arcsin y}f(x,y)dx$ B. $\int_{\frac{1}{2}}^{1}dy\int_{\pi-\arcsin y}^{\frac{5\pi}{6}}f(x,y)dx$ C. $\int_{0}^{\frac{1}{2}}dy\int_{\frac{\pi}{2}}^{\arcsin y}f(x,y)dx$ D. $\int_{0}^{\frac{1}{2}}dy\int_{\pi-\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}}f(x,y)dx$
9. 设函数$f(x,y)$连续，且$f(x,y)=f(y,x)=f(-x,y)$，则$\int_{-2}^{2}dx\int_{\sqrt{4-x^2}}^{2}f(x,y)dy=$（） A. $\int_{0}^{2}\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dx+\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{2}f(x,y)dx\right]dy$ B. $2\int_{0}^{2}\left[\int_{\sqrt{4-y^2}}^{2}f(x,y)dy\right]dx$ C. $4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{2}^{2\sec\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$ D. $4\int_{0}^{\arctan\frac{1}{2}}d\theta\int_{2}^{2\sec\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$
10. 已知曲线$L$的极坐标方程为$r=\sin3\theta(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3})$，$D$为曲线$L$围成的区域，则$\iint\limits_{D}\sqrt{x^2+y^2}dxdy=$
11. 设$D$是第一象限内在曲线$y=4x^2$与$y=9x^2$之间的区域，则$\iint\limits_{D}xe^{-y^2}dxdy=$
12. 已知$D=\{(x,y)|(x-a)^2+y^2\leq a^2,y\geq0\},a>0$，则$\iint\limits_{D}(x^2+y^2)dxdy=$
13. 设平面区域$D$由曲线$y=\sqrt{3(1-x^2)}$与直线$y=\sqrt{3}x$及$y$轴所围成，计算二重积分$\iint\limits_{D}(x^2+y^2)dxdy$
14. 设平面区域$D=\{(x,y)|1\leq x^2+y^2\leq4,x\geq0,y\geq0\}$，计算$\iint\limits_{D}\frac{x\cos\sqrt{x^2+y^2}}{x+y}dxdy$
15. 设$D$是由$y=|x|$及$y=1$围成的有界区域，计算二重积分$\iint\limits_{D}\frac{x^2-x\cos y-y^2}{x^2+y^2}dxdy$
16. 计算二重积分$\iint\limits_{D}\sqrt{1-x^2-y^2}d\sigma$，$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq y\}$
17. 设平面区域$D=\{(x,y)|x^3\leq y\leq1,-1\leq x\leq1\}$，$f(x)$是定义在$[-a,a](a\geq1)$上的任意连续函数，求$\iint\limits_{D}[(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)]\sin ydxdy$
18. 计算$I=\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{2y-y^2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{4-x^2-y^2}}dx$
19. 计算$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$，$D=\{(x,y)|x^2+y^2\geq2x\}$，$f(x,y)=\begin{cases}y, & 1\leq x\leq2,0\leq y\leq x\\0, & 其他\end{cases}$
20. 设平面区域$D=\{(x,y)|x+y\leq1,x\geq0,y\geq0\}$，计算$\iint\limits_{D}\frac{e^{-(x+y)}}{\sqrt{xy}}d\sigma$
21. 已知平面区域$D=\{(x,y)|(x-1)^2+y^2\leq1\}$，计算二重积分$I=\iint\limits_{D}(x^2-3y^2)dxdy$
22. 计算二重积分$\iint\limits_{D}(x+y^2)d\sigma$，其中$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq x+y\}$
23. 计算$I=\iint\limits_{D}\sqrt{x^2+y^2}dxdy$，其中$D$是$x^2+y^2\leq a^2$和$(x-\frac{a}{2})^2+y^2\geq\frac{a^2}{4}$的公共部分，$a>0$
24. 计算$\iint\limits_{D}\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}dxdy$，$D$为圆$x^2+y^2=1$所围区域

强化部分

1. $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{(n+i)\sqrt{n^2+j^2}}=$
2. 设$D=\{(x,y)||x|+|y|\leq3\}$，$D_k(k=1,2,3,4)$是$D$的第$k$象限部分，$I_k=\iint\limits_{D_k}\sin(x-y)dxdy$，则（） A. $I_1>0$ B. $I_2>0$ C. $I_3>0$ D. $I_4>0$
3. 设$M=\iint\limits_{D}\ln(x^2+y^2)dxdy$，$N=\iint\limits_{D}[\ln(x^2+y^2)]^2dxdy$，$P=\iint\limits_{D}(x^2+y^2-1)dxdy$，其中$D=\{(x,y)|1\leq x^2+y^2\leq2\}$，则必有（） A. $M\leq N\leq P$ B. $N\leq M\leq P$ C. $M<P<N$ D. $N\leq P<M$
4. 设$f(x)$是$[0,1]$上的连续函数且其在$[0,1]$上的平均值$\bar{f}=\frac{1}{2}$，满足$f(x)+a\int_{1}^{x}f(y)f(y-x)dy=1$，求常数$a$的值
5. 设$I_1=\iint\limits_{\substack{0<x<1\\0<y<1}}(\sin x^2+\cos y^2)d\sigma$，$I_2=\iint\limits_{|x|+|y|\leq\frac{1}{2}}[2+\ln(\sqrt{x^2+y^2}+\frac{1}{2})]d\sigma$，则（） A. $1\leq I_1\leq I_2$ B. $I_1\leq I_2\leq1$ C. $I_2\leq I_1\leq1$ D. $I_2\leq1\leq I_1$
6. $\int_{-1}^{0}dx\int_{(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}}^{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x\cos y)dy+\int_{0}^{1}dx\int_{(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}}^{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x\cos y)dy=$
7. 设有界区域$D$是由圆$x^2+y^2=1$和直线$y=x$以及$x$轴所围成的在第一象限的图形，计算二重积分$\iint\limits_{D}e^{(x+y)^2}(x^2-y^2)dxdy$
8. 设$D=\{(x,y)|4x^2+y^2<1,x\geq0,y\geq0\}$，则积分$I=\iint\limits_{D}(1-12x^2-y^2)dxdy=$
9. 设平面区域$D=\{(x,y)|\frac{1}{\sqrt{3}}x\leq y\leq\sqrt{3}x,1\leq x\leq2\}$，求二重积分$I=\iint\limits_{D}ye^{\frac{y}{x}}dxdy$
10. $\int_{0}^{1}dx\int_{1}^{x}\frac{\tan y}{y}dy=$
11. 设$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq1\}$，则$\iint\limits_{D}(x+y)^2dxdy=$
12. 设$D=\{(x,y)|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1\}$，常数$a>0,b>0,a\neq b$，计算$I=\iint\limits_{D}(x-1)^2+2(y+3)^2dxdy$
13. 计算二重积分$\iint\limits_{D}\frac{x^2+y^2}{|x|+|y|}dxdy$，$D=\{(x,y)|1\leq|x|+|y|\leq2\}$
14. $\int_{-1}^{1}dy\int_{-1}^{y}y\sqrt{1+x^2-y^2}dx=$
15. $\int_{-1}^{1}dx\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}(x+1)ydy=$
16. 计算二重积分$\iint\limits_{D}|x-|y||d\sigma$，其中$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq2x,x\leq1\}$
17. 计算二重积分$\iint\limits_{D}|x^2+y^2-2(x+y)|dxdy$，其中$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq4\}$
18. 设$D=\{(x,y)|0\leq x\leq2,0\leq y\leq2\}$，计算$\iint\limits_{D}|xy-1|d\sigma$
19. 设平面区域$D=\{(x,y)|(x-1)^2+y^2\geq1,(x-2)^2+y^2\leq4,y\geq x\}$，计算$\iint\limits_{D}(x^2+y^2)d\sigma$
20. $\int_{-\sqrt{2}}^{0}dx\int_{-x}^{\sqrt{4-x^2}}(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}dy+\int_{0}^{2}dx\int_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}dy=$
21. 设$D=\{(x,y)|0\leq x\leq\sqrt{\pi},0\leq y\leq\sqrt{\pi}\}$，计算二重积分$\iint\limits_{D}\sin(\max\{x^2,y^2\})d\sigma$
22. $\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{1}\sqrt{x^4-y^2}dx=$
23. $\int_{0}^{1}x^2dx\int_{x}^{1}e^{-y^2}dy=$
24. 设$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq4,(x-1)^2+y^2\geq1,y\geq0\}$，计算$\iint\limits_{D}(xy+y^2)d\sigma$
25. 设平面区域$D=\{(x,y)|(x-1)^2+(y-1)^2\leq1\}$，则$\iint\limits_{D}(x^2+y^2)d\sigma=$
26. 设平面区域$D=\{(x,y)||x|+|y|\leq1\}$，求$\iint\limits_{D}(|x|+|y|)d\sigma$
27. $\int_{0}^{+\infty}dy\int_{y}^{2y}e^{-x^2}dx=$（） A. 1 B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{4}$
28. 已知函数$f(t)=\int_{1}^{t^2}dx\int_{t}^{\sqrt{x}}e^ydy$，则$f'(\pi)=$
29. 设$D=\{(x,y)|(x-1)^2+(y-1)^2\leq2\}$，则$\iint\limits_{D}(x+y)d\sigma=$
30. 设$D=\{(x,y)|0\leq x\leq1,0\leq y\leq2e\}$，计算二重积分$\iint\limits_{D}x|y-e^x|d\sigma$
31. 设$f(x,y)=\max\{\sqrt{x^2+y^2},1\}$，$D=\{(x,y)||x|\leq y\leq1\}$，求$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$
32. 计算$\int_{0}^{1}dx\int_{1}^{x}(e^{-y^2}+e^y\sin y)dy$
33. 设平面区域$D=\{(r,\theta)|r\leq1,r\leq2\cos\theta,\sin\theta\geq0\}$，计算$\iint\limits_{D}r^2(\cos\theta+\frac{1}{2}r\sin2\theta)drd\theta$
34. 设$f(x,y)$在$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq1\}$上连续，$f(x,y)=e^{x^2+y^2}-\iint\limits_{D}\frac{(2x^2+1)f(x,y)}{x^2+y^2+1}dxdy$，求$\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy$
35. 计算$\iint\limits_{D}\frac{2x+y}{x^{\frac{3}{2}}}dxdy$，$D$是由抛物线$y^2=2x$与直线$x+y=4,x+y=12$所围区域
36. 设平面区域$D=\{(x,y)||x|\leq y,x^2+y^2\leq\sqrt{x^2+y^2}+\frac{y}{2}\}$，计算$\iint\limits_{D}\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy$
37. 计算$I=\iint\limits_{D}x^2y^2dxdy$，其中$D$是由直线$y=2,y=0,x=-2$及曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$所围成的区域
38. 设平面区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq1,|y|\leq|x|\}$，计算$\iint\limits_{D}\frac{\sqrt{x^2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}+x^2-y^2}d\sigma$
39. 计算$\iint\limits_{D}\ln(xy)dxdy$，$D=\{(x,y)|1\leq xy\leq2,x\leq y\leq4x,x>0\}$
40. 设$a=\int_{0}^{1}e^{-t^2}dt,b=\int_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-t^2}dt$，求整数$m,n$使得$2\int_{\frac{1}{2}}^{1}(\int_{0}^{x}e^{-y^2}dy)dx=ma-nb+\frac{1}{e}-\frac{1}{\sqrt[4]{e}}$
41. 设平面区域$D=\{(x,y)|2x^2+y^2\leq2\sqrt{x^2+y^2},y\geq x\geq0\}$，若$\iint\limits_{D}\frac{f(x,y)}{\sqrt{1-x^2}}d\sigma=a>0$，$f(x,y)$连续函数，(1)计算$\iint\limits_{D}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d\sigma$；(2)证明：存在$(\xi,\eta)\in D$，使得$|f(\xi,\eta)|\geq\frac{\sqrt{2}}{\pi}a$