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第12章 一元函数积分学的应用(三)——物理应用

基础部分​

  1. 设沿yy轴上的区间[0,1][0,1]放置一长度为1且线密度为ρ\rho的均匀细杆，在xx轴上x=1x=1处有一单位质点，则该细杆对此质点的引力（GG为引力常量）沿xx轴正向的分力为
  2. 边长为aa的正方形平板置于水面下，且一个顶点与水面相齐，其中一条对角线与水面垂直，记水的密度为ρ\rho，重力加速度为gg，则其一侧所受的静水压力为
  3. 将地面上质量为1的物体铅直向上举高，记地球半径为RR，质量为MM，引力常数为GG，则物体摆脱地球引力所做的功至少为
  4. 有一内表面为旋转抛物面的水缸，其深为aa（单位：米），缸口直径为2a2a（单位：米），缸内盛满了水，设水的密度为ρ\rho（单位：千克/立方米），若以每秒QQ立方米的速率将缸中的水全部抽出，问：(1)共需多少时间？(2)需做多少功？
  5. 在一个高为1m1m的圆柱形容器内储存某种液体，并将容器横放，底面圆的方程为x2+y2=1x^2+y^2=1（单位：m），如果容器内存满了液体后，以0.2m3/min0.2m^3/min的速率将液体从容器顶端抽出，(1)当液面在y=0y=0时，求液面下降的速率；(2)如果1m31m^3液体所受重力为1N1N，求抽完全部液体需做多少功？
  6. 设一单位质量细杆的长为1，GG为引力常数，当质量为aa的质点在细杆延长线上距杆右端点的12\frac{1}{2}处移至13\frac{1}{3}处时，引力做功大小为（） A. Galn⁡43Ga\ln\frac{4}{3} B. Galn⁡53Ga\ln\frac{5}{3} C. Galn⁡2Ga\ln2 D. Galn⁡3Ga\ln3
  7. 直角三角板的斜边长度为1，将该直角三角板竖直插入水中，并使其中一个直角边与水面对齐，当三角板受到水的压力最大时，其水平直角边的长度为（） A. 33\frac{\sqrt{3}}{3} B. 55\frac{\sqrt{5}}{5} C. 63\frac{\sqrt{6}}{3} D. 22\frac{\sqrt{2}}{2}

强化部分​

  1. 一三角形平面薄板铅直地浸没于水中，设当该薄板的一条边与水面相平齐时薄板一侧所受的水压力的大小为F1F_1，当倒转薄板使原来与水面相平齐的那条边与水面平行而该边相对的顶点与水面相齐时薄板一侧所受的水压力的大小为F2F_2，则（） A. F2=32F1F_2=\frac{3}{2}F_1 B. F2=43F1F_2=\frac{4}{3}F_1 C. F2=2F1F_2=2F_1 D. F2=3F1F_2=3F_1
  2. 边长为2的等边三角形薄平板铅直沉没在水中，且一条边与水面相齐，记重力加速度为gg，水的密度为ρ\rho，(1)求该平板一侧所受的水压力；(2)当水面开始以0.1的速度上涨时，求平板一侧所受水压力的变化率
  3. 半径为aa的球浸没在与其密度ρ\rho相同的某液体中，球与水面相切，gg为重力加速度，若将球取出，所做的功至少为
  4. 设有半圆形板：x2+y2≤a2,y≥0x^2+y^2\leq a^2,y\geq0，它在点P(x,y)P(x,y)处的密度与点PP到原点的距离成正比，则半圆形板的重心坐标为（） A. (0,πa3)(0,\frac{\pi a}{3}) B. (0,πa2)(0,\frac{\pi a}{2}) C. (0,4a3π)(0,\frac{4a}{3\pi}) D. (0,3a2π)(0,\frac{3a}{2\pi})
  5. 曲线y=exy=e^x与直线x=1,x=−1x=1,x=-1及xx轴所围平面有界区域DD的形心为